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1、北京市西城区20112012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2012.1考生须知1本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。2试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1抛物线的顶点坐标为A B C D2若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A2 B3 C 6 D113在RtABC中， C90，若BC1，AB=，则tanA的值为A B C D2 4如图，在O中，直径AB弦CD
2、于E，连接BD，若D=30，BD=2，则AE的长为A2 B3 C4 D5 5若正六边形的边长等于4，则它的面积等于 A B C D6如图，以点D为位似中心，作ABC的一个位似三角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为 A2， B4， C2， D2，7如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是 A B当时，y随x的增大而增大 C D是一元二次方程的一个根8如图，在平面直角坐标系xOy中，C的圆心为点，半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积
3、的最大值是A2 B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9如图，O是ABC的外接圆，若OCB40，则A= 10将抛物线先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 11如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，AB=4 以斜边AB的中点D为旋转中心，把ABC按逆时针方向旋转角（），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时等于 ，DEG的面积为 12已知二次函数，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是mxn时，函数值y的取值范围恰好是3my3n，则m= ，n= 三、解答题（本题共
4、30分，每小题5分）13计算： 14已知关于的方程有两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根15已知抛物线. （1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标； （2）用配方法将化成的形式 16已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，AED=B （1）求证：ABEDEA； （2）若AB=4，求的值17学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）设矩形的一边AB的长为x米（要求ABAD），矩形ABCD 的面积为S平方米（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大
5、，AB边的长应为多少米？ 18如图，在RtABC中，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E （1）若AD=10，求AC的长和的值； （2）若AD=1，=，参考（1）的计算过程直接写 出的值（用和的值表示）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形的边长为1，将其沿轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形顺时针旋转90得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，第n个正方形设滚动过程中的点P的坐标为 （1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形
6、中的点P的坐标；（2）画出点运动的曲线（04），并直接写出该曲线与轴所围成区域的面积 20已知函数（x 0），满足当x =1时，且当x = 0与x =4时的函数值相等 （1）求函数（x 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）； （2）若表示自变量x相对应的函数值，且 又已知关于x的方程有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围21已知：如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线与 O的交点为D，DEAC，与AC的延长线交于点E （1）求证：直线DE是O的切线；（2）若OE与AD交于点F，求的值22阅读下列材料：题目：已知实数a，x满足a2且x2，试判断与的大小关系，并加以
7、说明.思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再说明y的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题：已知a，b，c都是非负数，a5，且 ，（1）分别用含a的代数式表示4b，4c；（2）说明a，b，c之间的大小关系五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23已知抛物线（其中） （1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为，直接写出的最小值； （3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
8、，随着的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）24已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ，连结MC，NC，MN（1）填空：与ABM相似的三角形是 ，= ；（用含a的代数式表示）（2）求的度数； （3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论 25已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，（其中n0），点B在x轴的正半轴上动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿OABC的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动设点P移动的路径的长为l，POC的面积
9、为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形 （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长； （3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， 求此抛物线W的解析式； 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标 北京市西城区2011 2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678答案ACCBBADC二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号9101112答
10、案5060，（1）；（2）-4，0说明：第10题写成不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分， 第（2）问每空各1分三、解答题（本题共30分，每小题5分）13解：原式= 3分 = 5分14解：（1） 1分 该方程有两个不相等的实数根， 0 2分解得 3分（2）当k为符合条件的最大整数时， 4分此时方程化为，方程的根为5分15 解：（1）抛物线与x轴的交点的坐标为 2分 抛物线与y轴的交点的坐标为 3分 （2）4分 5分图116（1）证明：如图1 四边形ABCD是菱形， ADBC 2分又 B=AED， ABEDEA 3分（2）解： ABEDEA ， 4分 四边形ABCD是菱形，AB =
11、 4， AB =DA = 4 5分17解：（1） 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， CD=AB=x（米） 矩形除AD边外的三边总长为36米， （米）1分 3分 自变量的取值范围是 4分 （说明：由可得）（2），且在的范围内 ， 当时，S取最大值即AB边的长为9米时，花圃的面积最大5分 图218解：（1）在RtACD中，AD=10，（如图2） 1分 DE垂直平分AB， 2分 3分在RtABC中， 4分（2）（写成也可） 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示图3 2分 第三个正方形中的点P的坐标为3分 （2）点运动的曲线（04）如图3所
12、示 4分它与轴所围成区域的面积等于 5分20解：（1） 函数（x0）满足当x =1时， 且当x = 0与x =4时的函数值相等， 解得 ，2分 所求的函数解析式为（x0） 3分 它的函数图象如图4所示4分 （2）k的取值范围是（如图5）5分21（1）证明：连接OD（如图6） AD平分BAC， 1=21分 OA=OD， 1=3 2=3 ODAE 图6 DEAC， AED=90 2分 DEOD OD是O的半径， DE是O的切线3分 （2）解：作OGAE于点G（如图6） OGE=90 ODE=DEG=OGE=90 四边形OGED是矩形 OD=GE4分在RtOAG中，OGA=90，设AG=4k，则OA
13、=5k GE=OD =5k AE=AG+GE=9k ODGE， ODFEAF 5分图722解：（1） ， 消去b并整理，得 1分 消去c并整理，得 2分（2） ， 将4b看成a的函数，由函数的性质结合它的图象（如图7所示），以及a，b均为非负数得a3 又 a5， 3a53分 ， 将看成a的函数，由函数的性质结合它的图象图8（如图8所示）可知，当3a5时， ba 4分 ，a3， 0 ca bac 5分阅卷说明：“ba，bc，ac”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23解：（1）令，则 整理，得 解得
14、， 该抛物线与x轴的交点坐标为， 2分 抛物线的顶点坐标为 3分（2）|n|的最小值为 2 4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为5分 由 可得 所求新函数的解析式为 7分24解：（1）与ABM相似的三角形是 NDA ，； 2分（2）由（1）ABMNDA可得（如图9） 3分 四边形ABCD是正方形， AB=DC，DA= BC， BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角， BCMDNC4分 5分（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是（只猜想答案不证明不给分） 证法一：如图9，将AND绕点A顺时针旋转90得到ABF，连接MF则 ABFADN 6分 ，AF=AN，BF=DN， 又 AM= AM，
15、 AMFAMN MF=MN可得 在RtBMF中， 7分证法二：连接BD，作MEBD，与DN交于点E（如图10） 可知，6分 MEBD， ， 四边形BDEM是矩形 ME=BD，BM=DE在RtMEN中， 7分25解：（1）图2中的m=1分（2） 图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为， ，此时原题图1中点P运动到与点B重合， 点B在x轴的正半轴上， 解得 ，点B的坐标为 2分 此时作AMOB于点M，CNOB于点N（如图12） 点C的坐标为， 点C在直线上又由图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形可知图12中的点C在过点O与AB平行的直线l上， 点C是直线与直线l的交点，
16、且又 ，即AM= CN，可得ABMCON ON=BM=6，点C的坐标为3分 图12中 图11中， 4分 （3）当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PGOB于点G（如图13） O，B两点的坐标分别为， 由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4图13 由可得PG=2 点P的坐标为5分 设抛物线W的解析式为（a0） 抛物线过点， 解得 图14 抛物线W的解析式为6分如图14 i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的边时， 点Q在直线上方的抛物线W 上，点P为抛物线W的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况，点Q与原点重合，其坐标为7分 ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时， 可知BP的中点的坐标为，BP的中垂线的解析式为 点的横坐标是方程的解 将该方程整理得 解得 由点Q在直线上方的抛物线W上，结合图14可知点的横坐标为 点的坐标是 8分 综上所述，符合题意的点Q的坐标是，
