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1、来稿时间：2004.9.18 适应范围：数学高分之路Email:muzegang123高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一)慕泽刚 (重庆市九龙坡区渝西中学 401326)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数f(x)有反函数f-1(x)，若f(x)=f-1(x),则我们称f(x)有不变的反函数，那么下面所给函数中有不变反函数的是( D )A.y=2xB.y=x3C.y=x2D.y=图甲图乙解析：y=2x的反函数为y=x；y=x3的反函数为y=；y=x2没有反函数；y=反函数为y=，故选D.2.设M、P是两个非空集合，
2、若规定：MP=x|xM且xP，则M(MP)等于( B )A.PB.MPC.MPD.M解析：利用韦恩图，图1表示MP，图2表示M(MP)，所以正确答案是（B）.3.设集合I=1，2，3，4，5，A与B是I的子集，若AB=1，2，3，就称集对(A，B)为“好集”，那么所有“好集”的个数( C )A.7B.8C.9D.10解析：由AB=1，2，3，知集合A、B中都必含有1，2，3三个元素，则A=1，2，3或A=1，2，3，4或A=1，2，3，5.B=1，2，3或B=1，2，3，4或B=1，2，3，5.所有“好集”(A，B)的个数为9个，故选C.4.在实数集上定义一个运算“*”，a*b=,则方程lgx
3、*lg(x+3)=的解是( B )A.5B.2C.5或2D.5解析：根据运算的定义，得原方程等价于=，所以lgx(x+3)=1，x2+3x10=0，解得x=5或2，经检验x=2是原方程的解.5.一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式y=x2，值域为1，4的“同族函数”共有( B )A.10个B.9个C.8个D.7个解析：由x2=1或x2=4，得x=1或x=2，则由同族函数的定义知，定义域取法有：1，2、1，2、1，2、1，2、1，2，2、1，2，2、1，1，2、1，1，2、1，1，2，2共有9种，故选B.6.等比数列an中，a1=512，公
4、比q=，用n表示它的前n项之积：n=a1a2a3an，则1，2，中最大的是( B )A.8B.9C.10D.11解析：要使n=a1a2a3an最大，必须an1，an+21且n为奇数，即512()n11，512()n+11，8n10，n=9，故选B.7.对于正数和，其中，定义nm!=(nm)(n2m)(n3m)(nkm)，其中k是满足nkm的最大整数，则= .184!A.B.C.D.解析：184!=(184)(1824)(1834)(1844)=141062，204!=(206)(2026)(2036)=1482，=.8.一组实验数据如下表t1.021.993.014.005.106.12V0.
5、011.504.407.5012.0918.01与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 ( C )A.V=log2t B.V=-log2t C.V=(t2-1) D.V=2t-2解析：从表中取t=4.00，则在A中V=27.5；在B中V=27.5；在C中V=7.57.5；在D V=67.5.故选C.9.定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形 那么在下列图形中： 可以表示A*D、A*C的分别是( C )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(2)、(4)D.(1)、(4)解析：分析已知图，易知A表示竖线，B表示较大正方形，C表示横线，D表示小正方形，则A*D表示的图形(2)，
6、A*C表示的图形是(4).故选D.10.已知函数f(x)=2-x2，g(x)=x.若f(x)*g(x)=minf(x),g(x),那么f(x)*g(x)的最大值是（ D ）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)*g(x)是一个分段函数： f(x)*g(x)=.于是，原问题就是：求这个分段函数的最大值。利用求函数最值的方法可以解决问题。通过函数y=2x2与y=x的图象（如图），可知实线部分即为f(x)*g(x)的图象,于是图中点的纵坐标即为所求，易求得xA=1，故选A.11. 设集合M=x|mxm+，N=x|nxn，且M、N都是集合x|0x1的子集，如果ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合
7、MN的“长度”的最小值是( C )A.B.C.D.解析：集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合x|0x1的“长度”为1，故MN的“长度”的最小值为+1=，故选C.12.给定an=logn+1(n+2)(nN*)，定义使a1a2a3ak为整数的数k(kN*)叫企盼数，则区间1，2003内的所有企盼数的和M=（ D ）A.4074B.4073C.2025D.2026解析：an=logn+1(n+2)(nN*)，a1a2a3ak=log23log34logk+1(k+2)= log2(k+2)，要使log2(k+2)为正整数，则可设k(n)+2=2n+1，即k(n)=2n+12(nN*)，令
8、12n+122003，1n9(nN*)，则区间1，2003内的所有企盼数的和M=k(n)=(2n+1-2)=(22-2)+(22-2)+ (210-2)=(22+23+210)-29=2026，故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上13.经济学中，定义Mf(x)=f(x+1)-f(x)为函数f(x)的边际函数，某企业的一种产品的利润P(x)=-x3+30x2+1000(x10,25且xN*)，则它的边际函数MP(x)=_-3x2+57x+29(x10,25，且xN*)_.解析：由定义，得MP(x)=P(x+1)P(x)=3(x+1)3+30(x+1)2+
9、1000(-x3+30x2+1000)=-3x2+57x+29.14.若数列an满足：（1）an是递增的；（2）当n5时，Sn0；当n5时，Sn0；（3）对nN*，有2an+1=a n+2+a n；(4)点n，an在方向向量为(1，2)的直线上.对符符合条件的数列an为 .(写出一个通项公式即可)解析：这是结论开放题，由题知，an是等差数列，且d=2，由S50，S60，解得5a14，故an=+(n1)2，an=+(n1)2，an=2n，an=2n，.15.已知函数f(x)满足：对任意实数x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，且f(x1+x2)= f (x1)f(x2)，写出一个满足
10、上述条件的函数 y=3x （底数大于1的指数函数均可） .解析：由f(x1+x2)= f (x1)f(x2)易想到指数函数具有此性质，又由当x11时,为使函数f(x)= loga(ax2x)在区间2,4上是增函数,需g(x)=ax2x在区间2,4上是增函数,故应满足，解得 a，又a1，所以a1.当0a1时，函数f(x)=loga(ax2x)在区间2,4上是增函数.20.(本小题12分)已知a0，a1，则P：函数y=loga(x+1)在x(0，+)内单调递减；q：抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围.解析：由题意知p与q有且仅
11、有一个为真命题.当0a1时，函数y=loga(x+1)在(0，+)内单调递减；当a1时，函数y=loga(x+1)在(0，+)内不是单调递减；抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)240，解得a或a.(1) 若p正确，q不正确，即函数y=loga(x+1)在(0，+)内单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点，(2) 因此a(0，1)(，1(1，)，即，1.(3) 若p不正确，q正确，即函数y=loga(x+1)在(0，+)内不是单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点，(4) 因此a(1,+)(0，)(，+)，即(
12、，+)，综上所述，a的取值范围为，1)(，+).21.(本小题12分)对于在区间m,n上有意义的两个函数f(x)和g(x),如果对任意的xm,n,均有|f(x)-g(x)|1,则称f(x)与g(x)在m,n上是接近的，否则称f(x)与g(x)在m,n上是非接近的，现有两个函数f1(x)loga(x-3a)与f2(x）loga(a0,a1),给定区间a+2,a+3.(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间a+2,a+3上都有意义，求a的取值范围；(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间a+2,a+3上是否是接近的.解析：(1)f1(x)loga(x-3a),xa+2,a+3,有，0a1,f2(
13、x）loga,xa+2,a+3,有，a0,a1,f1(x),f2(x)都有意义，应满足0a1.(2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|,令|f1(x)-f2(x)|11loga(x2-4ax+3a2)1，令g(x)=loga(x2-4ax+3a2)=loga(x-2a)2-a2,易知g(x)在a+2,a+3上递减，g(x)min=lg(a+3)=loga(9-6a),g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a),于是成立的条件是：0a,综上，当0a时，f1(x)与f2(x)在a+2,a+3上是接近的；当a，且a1时，f1(x)与f2(x)是非接近的.22.(
14、本小题14分) 定义：若函数f(x)对于其定义域上的某一点x0，f(x0)= x0，有则称x0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0).(1)当a=1，b=-2，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值.解析：(1)f(x)=x2-x-3，由x2-x-3=x，解得 x=3或-1，所以所求的不动点为-1或3.(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x，则ax2+bx+b-1=0 由题意，方程恒有两个不等实根，所以=b2-4a(b-1)0，即b2-4ab+4a0恒成立，则=16a2-16a0，故0a1.(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)(x1x2)，则kAB=1，k=1，所以y=-x+，又AB的中点在该直线上，所以=+，x1+x2=，而x1、x2应是方程的两个根，所以x1+x2=，即=，b=.当且仅当2a=，即a=(0，1)时取等号.所以，所求b的最小值为.作 者：慕泽刚通信地址：重庆市九龙坡区西彭镇：重庆市渝西中学 邮编：401326电话：(023)65816009（宅）E-mail：muzegang123
