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1、硕士学位论文带电粒子在电场和磁场中的运动及电磁力的求解摘 要带电粒子在电场和磁场中的运动对于物理学和科学技术的许多重要领域都有重大意义。例如，质谱仪，示波器，电视显像管，粒子加速器等仪器应用都与之有密切关系。此外，研究带电粒子在电场和磁场中的运动已经成为等离子体物理理论研究的一个重要组成部分。关于带电粒子在电场和磁场中的运动，许多人进行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是从经典电磁场理论和经典力学出发研究带电粒子的经典轨道，也很少有人对存在弹性界面的情况进行分析。本文将考虑存在弹性界面的情况，同时考虑带电粒子的经典运动和相对运动，并通过求解带电粒子的哈密顿正则方程及Mathematica科学
2、计算软件程序包来描绘带电粒子的运动轨迹。 本文还求解了磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程，利用边值问题求解电磁场，并且应用麦克斯韦应力张量来计算某些电磁作用力。本项目的研究成果对开拓和扩展电磁场理论应用的新领域具有一定的参考作用。 本文主要阐述了五个方面的内容。一，带电粒子在电场和磁场中的经典运动；二，带电粒子在电场和磁场中的相对论运动；三，带电粒子在平行电场和磁场及弹性界面附近的运动；四，求解某些磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程；五，应用麦克斯韦应力张量计算某些电磁作用力。关键词：带电粒子，电磁场，洛伦兹力，弹性界面，电势，边值关系The Movemen
3、ts of Charged Particles in Electric and Magnetic Fields and the Solutions of Electromagnetic ForceABSTRACTStudy the movements of charged particles in the electric and magnetic fields with a great significance in many important areas of physics and scientific technology. For example, the applications
4、 of mass spectrometers, oscilloscopes, TV picture tubes, particle accelerators and other equipments are closely related to this study. In addition, study the movements of charged particles in the electric and magnetic fields have become an important component of the theory research in plasma physics
5、. Many people carried out a lot of work about the movements of charged particles in the electric and magnetic fields. Most previous work basically started from the theory of classical electromagnetic field and classical mechanics to study the classical track of charged particles, but few people anal
6、yzed the situation of flexible interface when it existed. This article will both consider the condition of the existence of a flexible interface and the classical and relative motion of charged particles, and then use the quantum theory to solve the particles Schrdinger eigen equation .This article
7、will introduce the solutions of the Laplace equation when the magnetic scalar meet it and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it. This paper also solves the electromagnetic field through the use of boundary value problem and calculates certain electromagnetic force through
8、 the application of Maxwell stress tensor. Research results of this project have a great reference significance to explore and expanse new areas of the application of electromagnetic theory.This article focuses on five aspects, it is arranged as follows:1. The classical movement of Charged particles
9、 in electric and magnetic fields.2. The relative movement of Charged particles in electric and magnetic fields.3. The movement of Charged particles in parallel electric and magnetic fields and near the flexible interface.4. Solutions of the Laplace equation when certain magnetic scalar meet it and t
10、he Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it.5. Calculate certain electromagnetic force by the application of Maxwell stress tensor.key words: Charged particles, Electromagnetic Field, Lorentz force, Flexible interface, electric potential , The relationship between boundary value
11、目 录摘 要IABSTRACTII1引言11.1 课题研究的背景及意义11.2 本论文的主要工作及主要成果12带电粒子在电场和磁场中的经典运动22.1 问题的提出22.2 带电粒子在电磁场中运动方程的分析22.3 普遍情况22.3.1 空间仅存在电场32.3.2 空间仅存在磁场32.3.3 电场与磁场同方向42.3.4 电场与磁场垂直42.4 讨论53带电粒子在电场和磁场中的相对论运动63.1 问题的提出63.2电磁场相对论变换的一种推导63.2.1 和的变换式的推导63.2.2 和的变换式的推导83.3带电粒子在电磁场中的相对论运动的求解103.4讨论144带电粒子在平行电场和磁场及弹性界面
12、附近的运动154.1 问题的提出154.2 理论模型和公式推导154.2.1 带电粒子在平行电场和磁场中的运动方程154.2.2 带电粒子在平行电场和磁场及存在两个弹性界面时闭合轨道形成的条件164.3带电粒子在平行电场和磁场及存在两个弹性界面时闭合轨道的模拟194.3.1 粒子没有碰到任何界面时的闭合轨道194.3.2 粒子只碰到上界面时的闭合轨道194.3.3 粒子只碰到下界面时的闭合轨道204.4 讨论215求解某些磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程235.1 问题与分析235.2 双环电荷的面电荷密度的表象与勒让德函数形式级数展开245.3分区解拉普拉斯方程并用边界条
13、件与边值关系确定系数245.4 特例与拓展265.4.1 特例265.4.1 拓展276应用麦克斯韦应力张量计算某些电磁作用力286.1问题的提出286.2麦克斯韦方程的一种讨论286.3麦克斯韦应力张量336.4 .用应力张量计算磁作用346.5用虚功原理计算单芯偏心电缆单位长度的静电力366.6横截面为透镜形的柱状分布电荷的电场396.7结论437结论与展望44参考文献45致 谢47攻读硕士学位期间发表的论文及科研情况481引言1.1 课题研究的背景及意义带电粒子在电场和磁场中的运动对于物理学和科学技术的许多重要领域都有重大意义。磁场对运动粒子的洛伦兹力有许多实际应用。虽然因为与v垂直而不
14、做功，但它会改变粒子运动的方向。在某些情况下巧妙的配以适当的电场E可以非常有效的控制带电粒子的运动，从而达到各种既定的目的。例如，质谱仪，示波器，电视显像管，粒子加速器等仪器应用都与之有密切关系。此外，研究带电粒子在电场和磁场中的运动已经成为等离子体物理理论研究的一个重要组成部分。关于带电粒子在电场和磁场中的运动，许多人进行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是从经典电磁场理论和经典力学出发研究带电粒子的经典轨道，也很少有人对存在弹性界面的情况进行分析。本文将考虑存在弹性界面的情况，同时既考虑带电粒子的经典运动和相对运动，又通过用量子理论求解带电粒子的哈密顿正则方程。电磁理论早些时候多用于军事
15、领域，其发展和无线电通信，雷达的发展应用密不可分。如今，电磁理论的应用已经很广，涉及到地理科学，材料科学和信息科学等很多科学技术领域。计算电磁场研究的内容涉及面也很广，与电磁场工程，电磁场理论相互联系，相互依赖。对电磁场工程而言，计算电磁场要解决的是实际电磁场工程中越来越复杂的建模和仿真，优化设计等问题。对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供复杂的数值及解析运算的方法、手段和计算结果。近几十年来，电磁理论的发展，无一不是与计算电磁场的发展相联系的。目前，计算电磁场已为电磁理论的深入研究开辟了新的途径，并极大地推动了电磁工程的发展。本项目的研究成果对开拓和扩展电磁场理论应用的新领域具有重要
16、的参考作用。1.2 本论文的主要工作及主要成果本文主要采用解析法与数值计算相结合进行研究。通过哈密顿正则方程求解带电粒子的运动；编制程序及利用Mathematica科学计算软件程序包来描绘带电粒子的运动轨迹；重点阐述利用应力张量和虚功原理对电磁力的求解。2带电粒子在电场和磁场中的经典运动2.1 问题的提出带电粒子在均匀电磁场中的运动是电磁学研究的主要内容之一，其应用又十分广泛。比如，实验室中的阴极射线管，高能物理中常用的回旋加速器、质谱仪等设备都应用和涉及到这方面的规律和知识。文献1中有一个思考题是讨论质子无初速出发，在相互垂直的电磁场中运动的情况。 由于运动从定性的角度很难说清楚，而在文献2
17、5或电磁学教材67中，对带电粒子在电磁场中运动状态的分析，都是针对一些特殊情况进行的，并没有就带电粒子在电磁场中运动的更一般情况进行全面分析。本章拟从带电粒子在一般电磁场中所受到的洛伦兹力出发，系统研究其运动的状态，并针对某些特殊情况，用数值分析方法，研究其运动规律，并给出不同条件下的运动轨迹线。2.2 带电粒子在电磁场中运动方程的分析在不考虑重力且空间同时存在电场 和磁场 的情况下，质量为m、速度为的带电粒子q(0)受到的洛沦兹力为 =q+q (2.2.1)若将的方向取做z轴，与的夹角为，在 x-y平面上的投影与x轴正向夹角 ，根据牛顿定律，粒子运动的方程在直角坐标中的分解式是 (2.2.2
18、)现以上述几式为基础，讨论带电粒子在均匀电磁场中运动的普遍情况。2.3 普遍情况我们假设，在计时开始时，粒子在坐标原点，初速.对(2.2.2)式进行拉普拉斯变换，得： （2.3.1）其中，.由(2.3.1)式，得 （2.3.2）其中,对(2.3.2)式作逆变换，得 (2.3.3)(2.3.3)式可以描述带电粒子在均匀磁场中运动的普遍规律：当电场与磁场之间的夹角确定后，带电粒子在z方向(磁场方向)的运动是匀加速直线运动，加速度是，在与磁场垂直的平面上，粒子呈振荡情形。下面就一些不同条件对(2.3.3)式进行讨论。2.3.1 空间仅存在电场此时，则b=0。重新解(2.2.2)式，得运动方程是 (2
19、.3.4)其中，上式的轨迹是一条空间抛物线。2.3.2 空间仅存在磁场此时，=0，则e=0。由(2.3.3)式，带电粒子的运动方程是 (2.3.5)若令则,可以证明，即在平面上，带电粒子的轨迹是圆周运动，则(2.3.5)式表示的运动轨迹是螺旋线，螺距为,当=0时，运动轨迹是平面上的圆周运动。2.3.3 电场与磁场同方向此时，=0，则e=0。由(2.3.3)式，带电粒子的运动方程是 (2.3.6)与(2.2.2)的分析相同，(2.3.6)式表达的运动轨迹是螺旋线，螺距是,随时间增大。2.3.4 电场与磁场垂直此时，.可适当取坐标，使得沿方向，则有 =0.由(2.3.3)式，带电粒子的运动方程是
20、(2.3.7)当，轨迹是平面内的摆线，周期。如图2.1所示，摆线摆动的方向取决于b的符号（即粒子的正负），图2.1是b0的情况，当0，=0时（即、三者垂直）有两种情况，第一种是情况时，轨迹是平面内的摆线，周期.为了使摆线的方向向右（图形看起来符合习惯）我们取b0.当0，是短幅摆线，如图2.2（a）当，仍是短幅摆线，与图2.2（a）不同的是，摆线在轴的下方，如图2.2（b）.当=，是普通摆线，如图2.2（c），摆线的起始位置与图2.1不同，当，是长幅摆线，如图2.2（d）.第二种是在=情况时，轨迹是平面内的直线，这正式质谱仪的原理，如图2.2(e).图2. 1 普通摆线 图2.2 不同条件下的摆
21、线2.4 讨论我们将文献1中的问题进行了拓展性的讨论，发现带电粒子在相互垂直的电磁场中的运动是一个复杂问题。除了在一般教材中讨论的直线运动、圆周运动、螺旋运动外，还有以摆线作为轨迹的运动。按照条件的不同，摆线的形式也不相同，有一般摆线、短辐摆线和长辐摆线。3带电粒子在电场和磁场中的相对论运动3.1 问题的提出带电粒子在均匀电磁场中运动是一个有趣的问题,初看起来,似乎是带电粒子会在垂直于磁场的平面内作圆周运动,同时沿电场方向作匀加速运动,整个运动是这两种运动的合成。考虑到粒子运动的相对性,通过求解带电粒子在均匀电磁场中的运动方程,可以证明实际的运动并非是简单的两种运动的合成,为了深刻理解发生的原
22、因,我们就在四维闵可夫斯基空间,对带电粒子在均匀电磁场中的相对论运动进行求解。3.2电磁场相对论变换的一种推导在电磁场相对论变换公式的推导中,常用3种方法:第一,由标量和矢量 A的定义,引入四维势矢量,建立电磁场张量,根据四维二阶张量的变换公式导出;第二,由麦克斯韦方程,在满足相对论协变的要求下,据微分运算的相对论变换公式导出。第三,由洛仑兹公式,在满足相对论协变性的要求下,据四维矢量和四维速度矢量的相对论变换公式导出。这三种方法都能导出电磁场矢量和的变换公式,但进一步的导出电位移矢量和磁场强度的变换公式有困难且推导过程也很复杂。下面采用一种简单的方法对和的变换式、和的变换式进行推导。3.2.
23、1 和的变换式的推导电磁场由电场强度和磁感应强度描述,由麦克斯韦方程组,在惯性系中,它们满足如下方程: （3.2.1） （3.2.2）写成分量形式,并加以变形有: （3.2.3）引入四维矢量则有，四维矢量四维矢量0=（0，0，0，0）以上分量方程可用如下一个矩阵方程表示： （3.2.4）其中T是四阶矩阵 （3.2.5）代入（3.2.4）中比较得： （3.2.6）麦克斯韦方程服从相对性原理,是洛仑兹协变的,在一切惯性系中数学形式不变,因此,在沿ox轴正方向相对于以速度匀速运动的惯性系中也有: （3.2.7）其中 （3.2.8）注意到X和0是四维矢量代入（3.2.7）式中有： （3.2.9）其中，
24、是洛伦兹变换矩阵 在式（3.2.3）的两边用的转置矩阵右乘,并记住=I(单位矩阵),可得:和和（3.2.2）式比较有写成分量式 考虑到，则对各分量的变换关系为： 将代入以上各式，最后将得到和的变换关系为更一般的形式为式中和分别表示与速度平行和垂直的分量。实际上,满足变换公式,且的四阶矩阵就是四维二阶张量,因此,我们不仅导出了电磁场矢量和的变换关系,而且还知道了和可按矩阵的方式构成一个四维二阶反对称电磁场张量。3.2.2 和的变换式的推导同样的方法可导出和的变换,推导如下:在惯性系中,由麦克斯韦方程组, 和满足如下方程:其中, J是电流密度,是电荷体密度。上面的方程可用如下一个矩阵方程来表示:
25、（3.2.10）其中, 是四维电流密度矢量,是四阶矩阵。 （3.2.11）在惯性系中，又有： （3.2.12）和X是四维矢量 （3.2.13） （3.2.14）结合（3.2.10）-（3.2.14），并记=I 可得从而得到和的变换公式是：写成更一般的形式为：注意到,因此, 和可按矩阵F的形式构成四维二阶反对称张量。3.3带电粒子在电磁场中的相对论运动的求解我们知道带电粒子的相对论运动方程为：；由质量关系式，能量与动能的关系式：，得到而 (3.3.1)1）当带电粒子仅在磁场中运动时，外力与垂直,则(=0),此时 (3.3.2)带电粒子速度可以分解成与平行的速度和与垂直的速度,若与平行的分速度,则
26、带电粒子的运动轨迹是是轴的螺旋线,若平行的分速度,则带电粒子的运动轨迹是垂直于平面的图(图3.1)。图3.1 带电粒子在磁场中的运动轨迹 2)带电粒子仅在电声场中运动时 (3.3.3)而,所以那么若带电粒子初速度或平行于电场,则带电粒子的运动轨迹是一条直线,若是不平行于电场,则带电粒子的运动轨迹是一条曲线(悬链线)(图3.2)。图3.2 带电粒子在电场中的运动3）当带电粒子在组合的电场和磁场中运动时（图3.3），我们采用的方法是在四维闵可夫斯基空间进行计算，我们知道了粒子在四维空间的运动议程为,， (3.3.4)式中，为粒子四维速度，为原点时间隔，为电磁张量。 图3.3 带电粒子在组合的电场与
27、磁场运动的四维空间在具体问题中，的形式 (3.3.5)将上述的值代入（3.3.4）式便得到四个分量方程： (3.3.6) (3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)式中，初始条件时，x=y=z=ct=0,;而，积分(3.3.6)式，注意初始条件，得： (3.3.10)积分(3.3.9)式，注意初始条件，得： (3.3.11)将(3.3.10) 、(3.3.11)代入(3.3.7)式，当时得到 (3.3.12)此式的一般解为： (3.3.13)式中，为积分常数利用初始条件，可求得： 所以 (3.3.14)将(3.3.14)式代入(3.3.10)式，积分并注意初始条件，得(3.3.15)将(3
28、.3.11)式代入(3.3.10)式求解，并注意初始条件，得(3.3.16)积分(3.3.8)式，注意初始条件，得： (3.3.17)如果从(3.3.16)式将原时表示为时间的显示，代入(3.3.14) (3.3.15)和(3.3.16)式，则得的表达式。当时，只需要注意到及，(3.3.14)、 (3.3.15)、(3.3.16)和(3.3.17)式分别变为：当B=E是，首先将双曲正弦和双曲余弦按级数展开：然后令B=E，则得，的表达式为：3.4讨论通过以上的解,我们可以看出带电粒子在均匀磁场中的运动方程是的双曲函数,由于考虑到粒子运动的相对性,其运动规律不遵守牛顿第二定律，当带电粒子的初速度时
29、,其运动规律就符合牛顿定律,其运动轨迹可以是两种运动的合成,但经过足够长的时间之后,即使带电粒子的初速度很小,其速度也会越来越趋近于光速(不考虑辐射),仍适相对论运动规律。4带电粒子在平行电场和磁场及弹性界面附近的运动4.1 问题的提出关于带电粒子在电场和磁场中的运动轨道的模拟，许多人进行了大量的工作。在前人的工作中，很少有人对存在弹性界面的情况进行分析。最近，D.H.Wang等人对带电粒子在平行电场和磁场及弹性界面存在的情况进行了分析。对于存在两个弹性界面的情况，并没有进行探讨。本章首先从哈密顿正则方程出发推导出了带电粒子在平行电磁场及弹性界面附近的运动方程，然后讨论了存在两个弹性界面时粒子
30、的闭合轨道，最后用计算机对带电粒子的一些闭合轨道进行了模拟。4.2 理论模型和公式推导4.2.1 带电粒子在平行电场和磁场中的运动方程如图1所示，质量为，带电量为-e的粒子，在电场F和磁场B（F/B）中运动。两个弹性界面垂直于Z轴，位于原点两侧，界面距离原点的距离分别为和。图4.1 带电粒子在平行电场和磁场两个弹性界面运动的图示粒子的哈密顿为，矢势A取为7。假定电场和磁场沿z轴方向，则，。若采用柱坐标（），则粒子的哈密顿量用可表示为： (4.2.1)其中，根据哈密顿正则方程，可推导出带电粒子在平行电场和磁场中的运动方程。 (4.2.2) (4.2.3)其中，为带电粒子的出射角，E为带电粒子的能
31、量。4.2.2 带电粒子在平行电场和磁场及存在两个弹性界面时闭合轨道形成的条件下面，我们讨论带电粒子的出射向满足什么条件时，粒子从原点出发后，又返回到原点，即形成一条闭合轨道。我们分几种情况进行讨论；4.2.2.1粒子在运动中没有碰到任何界面就形成闭合轨道（1）当=0时，即粒子沿Z轴出射。当粒子达到最高点时 (4.2.4)此时，。因此，若，则粒子不碰到界面就返回原点形成闭合轨道，粒子的运动周期为。（2）当=0时，由可知：时才可能形成闭合轨道。当粒子运动达到最高点时，由以上分析同理可知，此时： 若，即，则粒子在运动过程中不碰到上界面。若粒子能形成闭合轨道，由得，即，由得：当时，粒子恰好回到原点。
32、由此得粒子运动的初始角满足，且时能开成闭合轨道。4.2.2.2粒子在运动中只碰到一个界面后形成闭合轨道（1）粒子在运动中只碰到上界面后形成闭合轨道a.当=0时，由前面的分析可知，若，则粒子碰到上界面后返回原点形成闭合轨道，粒子碰到上界面时，。由此推出，由对称性可知粒子运动的周期为。b.当时，由可知：时才可能形成闭合轨道，根据前面的分析，当时，粒子在运动过程中碰到上界面，由于界面是完全弹性的，通过分析可以看出只有粒子初次碰到上界面时在处，此时轨道才为闭合的。设碰撞时时时间为。由于为递减函数，所以只要保证即可。若轨道为闭合的，即满足，。解以上方程得： ，周期。（2）粒子在运动中只碰到下界面后形成闭
33、合轨道a.当=0时，若，则粒子不会碰到上界面，粒子碰到下界面后返回形成闭合轨道。b.当时，则粒子沿Z轴负方向出射。此时粒子碰到下界面后才可能返回原点形成闭合轨道。经计算粒子到达下界面的时间。由于对称性，粒子一定能返回到原点。且粒子从碰撞后到原点的时间，故周期c.当时，由于界面是完全弹性的，可以分析看出只有粒子不碰到上界面且初次碰到下界面时在处，此时轨道才为闭合的，设初次碰撞时间为，若轨道为闭合的，即满足， 以上方程，得：，周期。当满足以上条件时粒子只碰到下界面就形成闭合轨道。4.2.2.3粒子在运动中碰到两个界面后才形成闭合轨道若粒子在运动中碰到两个界面后才形成闭合轨道，在此情况下粒子满足：恰
34、好碰第一个界面时时。下面，分几种情况进行讨论：（1）当=0时，即粒子沿Z轴出射。若，则粒子碰到上界面后返回碰到下界面后再返回形成闭合轨道。（2）当时，即粒子沿Z轴负方向出射。由对称性可知，若，则粒子先碰到下界面后返回碰到上界面后再返回形成闭合轨道。（3）时，由公式(4.2.2)，令z=，可知粒子初次到达上界面的时间为： (4.2.5)把带入公式(4.2.3)得。经过上界面的反弹以后，粒子到达下界面，同理可求出到达下界面的时间为 (4.2.6)若此时粒子恰好碰到上界面时在处，则能形成闭合轨道，帮轨道闭合时有： (4.2.7)由上式解出即为形成闭合轨道时的初射角，轨道得周期。（4）时，由公式(4.
35、2.2)，令可知粒子初次到达下界面时间为： (4.2.8)把代入公式(4.2.3)得。经过下界面反弹后，粒子到达上界面，同理可求出粒子到达上界面时间为： (4.2.9) 若此时粒子恰好碰到上界面时在处，则能形成闭合轨道。故闭合时由可解出，此即形成闭合轨道的初射角，周期为。4.3带电粒子在平行电场和磁场及存在两个弹性界面时闭合轨道的模拟在计算中，各参量的取值如下：B=2T，E=0.01eV，F=100V/cm。计算中采取原子单位制，。4.3.1 粒子没有碰到任何界面时的闭合轨道当E=0.01ed，F=100V/cm时，故可以碰到上界面。闭合轨道形成的任何为：。当j=1时，此时粒子的闭合轨道如图4
36、.2（a）所示。当j=2时，此时粒子的闭合轨道如图4.2（b）所示。图4.2 带电粒子在平行电场中没有碰到弹性界面时的闭合轨道当j=3,4,5,6时，经计算均不满足条件，故不存在闭合轨道。4.3.2 粒子只碰到上界面时的闭合轨道I. 当时，粒子沿Z轴出射，此时粒子闭合轨道如图4.3(a)所示。图4.3 带电粒子在平行电场中没有碰到弹性界面时的闭合轨道III. 当时，此时闭合轨道形成的条件为，且。当j=1时，时。此时粒子闭合轨道如图4.3(b)所示。当j=2,3,4时，均不满足条件,故不存在闭合轨道。4.3.3 粒子只碰到下界面时的闭合轨道I. 当时，即粒子沿Z轴负方向出射。此时粒子闭合轨道如图
37、4.4(a)所示。II. 当时，此时闭合轨道形成的条件为：，且。当j=1时，此时粒子闭合轨道如图4.4中(b)所示。当j=2时，此时粒子闭合轨道如图4.4中(c)所示。当j=3,4,5时，故此时不存在闭合轨道。图4.4 带电粒子在平行电场中只与下界面碰撞时形成的闭合轨道4.4 讨论 带电粒子在电磁场中的运动，是一个较为复杂的问题，本章就一种殊情况，电场和磁场平行的情况，从哈密顿正则方程出发讨论了其运动方程。并根据其运动方程讨论了有两个弹性界面时的闭合轨道：通过计算可以看出，当初始条件满足一定关系时，确实能形成闭合轨道，并且轨道的数目与初始条件有关。最后根据讨论的结果运用计算机编程绘出闭合轨道。
38、本章的研究可以使我们更形象更直观的了解带电粒子在电场和磁场中的运动情况。对于很多负离子体系(如H体系) 在均匀强外场中的运动问题，当最外面的电子离原子核较远时，电子与原子核之间的库仑势和电子与强外场之间的作用势相比便可以忽略不计，因此负离子体系在外场中得运动学问题可以简化为电子在强外场中的运动问题。通过对带电粒子在电磁场中运动的分析，可为带电粒子在电磁场中的动力学性质的研究打好理论基础。5求解某些磁标量满足的拉普拉斯方程，电磁矢量满足的亥姆霍兹方程5.1 问题与分析双环静电问题是指真空中任意方向、任意位置处放置的轴线相交的两个均匀带电圆环静电问题，如图5.1所示，求全空间中的电势分布。图5.1
39、 该问题看似很简单，只要把双环各自在周围空间激发产生的电势叠加起来就得到空间电势解表达式了。可事实不然，因为我们所知的只是单环轴对称的电势解表达式，双环时空间已不再具备轴对称性，没法直接引用轴对称电势解简单相加来完成，诚然还有一个办法，那就是进行坐标变换把非对称环在带撇号坐标系中的轴对称解变换到不带撇号坐标系中的电势解，然后再作叠加实现，但坐标变换关系比较复杂不易导出电势解析式。本章我们避开叠加原理与坐标变换而使用均匀带电圆环在球坐标中的特定球面上电荷密度表象、勒让德函数级数展开法、球函数的加法定理、分区分离变量法解电势拉普拉斯方程结合分区界面上的边值关系得到双环电势问题的解析解，并作简单讨论
40、。5.2 双环电荷的面电荷密度的表象与勒让德函数形式级数展开 如图5.1所示，我们以双环轴线的交点为球坐标原点，环1的轴线为Z轴，环1的环心位于球坐标(，0，0)，环1半径为n，带电总量是；环2轴线方向在直角坐标OXYZ相应的球坐标经纬角为和上，环2的环心位于球坐标(，)，半径为，带电总量为。于是由几何关系有,R1=, R1= (5.2.1)而由于环1在OXYZ直角坐标相应的球坐标(r,)中半径为的球面上的电荷面密度表象为 (5.2.2)环2在直角坐标相应的球坐标（）中的半径的球面上的电荷面密度表象是 (5.2.3)把(5.2.2)、(5.2.3)两式在各自球坐标中按勒让德函数展开，即得 (5
41、.2.4) (5.2.5)而，所以由球函数的加法定理有 (5.2.6)用连带勒让德函数表示，即代入得 (5.2.7)把(5.2.7)代入(5.2.5)得 (5.2.8)5.3分区解拉普拉斯议程并用边界条件与边值关系确定系数建立如图1所示OXYZ直角坐标对应的球坐标系（）下分离变量解电势拉普拉期议程并应用自然边界条件有 （） (5.3.1) (5.3.2) (5.3.3)注意到在分区球面上电势应满足边值关系即 (5.3.4) (5.3.5)比较(5.3.4)、(5.3.5)式中的球谐函数的系数或应用球谐函数正交性有 (5.3.6) (5.3.7)同样在球面上电势应满足边值关系故 (5.3.8) (5.3.9)比较球谐函数系数，从而有 (5.3.10) (5.3.11)解(5.3.6)、(5.3.7)、(5.3.10)和(5.3.11)式得 (5.3.12) (5.3.13) (5.3.14) (5.3.15)（r） (5.3.1
