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1、三次函数再探讨-对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数（)是奇函数，其图象关于对称，三次函数()的图象关于点对称，那么对于一般的三次函数有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是。在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数的图像关于点对称，则在证明：设是图像上任意一点，则A关于点的对称点也在函数图像上，即, 又，所以定理2：三次函数的对称中心是证明1：设是图像上任意一点，只要能证明点也在函数图像上。所以所以三次函数的对称中心是证明2：因为的对称中心是(0,0),所以的对称中心为,即而的图象关于对称。证明3：设函数的对称中心为（
2、m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以-2n=0化简得：上式对恒成立，故得，。所以，函数的对称中心是（）。定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设为的导方程，判别式,设两极值点为 所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数的拐点。定理4：是可导函数，若的图像关于点对称，则的图像关于直线对称证明：的图像关于对称，则由图像关于直线对称。三次函数的对称中心是（）。所以其导函数的图像关于直线对称。定理5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条证明：设三次函数，一直线与三次曲线切于点Q（），且直线过点（）。直线方程可写为：又 化简为：这说明切点就是对称中心。经典例题欣赏：1. 求的对称中心。2. 求的极值和对称中心。3. （2004年重庆高考题）设函数, （1） 求导函数,并证明有两个不同的极值点（2） 若不等式成立，求a的取值范围。4. 已知（1） 求证（2） 若是R上的增函数，是否存在点P使的图像关于点P 中心对称？如存在，请求出P点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。
