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1、三角形四心与向量的典型问题分析资料一三 角 形 的“四 心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。性 质：1. 外心到三顶点等距，即。2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即.3.。二、三角形的心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的心，即切圆圆心。的心一般用字母表示，它具有如下性质：性 质：1.心到三角形三边等距，且顶点与心的连线平分顶角。2.三角形的面积三角形的周长切圆的半径3.；三角形的周长的一半。4.
2、，。三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性 质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即。2. 的垂心为，的垂心为，的垂心为。四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性 质：1.顶点与重心的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。即3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值即.4. 向量性质：（1）； （2），5.。五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点为所在的平面一点，满足， 则点为的垂心。结论2：若点为ABC所在的平面一点，满足， 则点为的垂心。结论3：若点满足，则点为的重心。结论4
3、：若点为所在的平面一点，满足， 则点为的重心。结论5：若点为所在的平面一点，并且满足（其中为三角形的三边），则点为ABC的心。结论6：若点为所在的平面一点，满足，则点为的外心。结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的心。资料二 向量和心一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M 图图 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理
4、可证，是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的心，如图.
5、四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。资料三向量与三角形心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）心角平分线的交点（切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆
6、心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的心为的心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令 （)化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的中点./点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平
7、面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B心 C重心 D垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.练习：1已知三个顶点及平面一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，
8、若，则是的（ ）A外心 B心 C重心 D垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 如图设高AD，CE，相交于H，从B作直径BF，在三角形AOH中，向量OH=OA+AH，（1）ADBC，FCBC,则FC/AD，同理FA/CE，四边形AHCF是平行四边形，向量AH=FC，FC=FO+OC，FO=OB，代入（1），OH=OA+OB+OC，m=1.解：作直径BD，连接DA、DC，于是有向量OB=-向量OD易知，H为ABC的垂心CHAB,AHBCBD为直径DAAB，DCBCCH/AD，AH/CD故四边形AHCD是平行四边形向量AH=向量DC又 向量DC=向量OC-向量OD=向量OC+向量OB于是，得向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+向量DC=向量OA+向量OB+向量OC对比系数，得到m=1.7（06）已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
