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1、数学解题中的“和谐”策略【摘要】和谐策略在高中数学解题中的应用【关键词】和谐近年来，随着数学新课改的深入发展，创新题在考卷中频频出现。这类考题的特点是：试题给出一段材料，考生往往需要对所提供的材料进行观察、实验、猜想、调整，就其本质进行归纳、加工提炼，然后作出解答。这种根据材料提供的信息现场阅读、理解和运用的新题型，知识背景较为宽广，知识跨度大，包含的信息也较多，它综合考查了考生的阅读理解、数据处理、分析推理、文字概括和书面表达及知识迁移等诸多方面的能力。这类题贴近实际，可以引导考生关心社会，强化考生的数学应用意识。但学生创新题得分率普遍较低，其主要原因有：、长期在人们头脑中形成的学科思想意识
2、，导致学生在数学学习中无阅读习惯，不愿阅读或不能从阅读中发现信息；、归纳、抽象、概括能力差；、不敢也不会大担地猜测、假设，不会尝试论证；、不会构建数学模型。这些方面形成的来源，是来自长期传统的“以教师为中心、讲解为主、以题练题”的数学教学思想意识、和教学氛围。那么，针对数学创新题的特点，数学教师只有从归纳此类题型来进行方法引导。笔者通过演练近几年各地数学考题中的创新题，并挖掘和扑捉出题人的意图，吸收同行在此方面的见解，发现数学解题中，只有解题方法达到一定程度的和谐，那么，不管如何的题目都会迎刃而解！1 特殊与一般的和谐一般性寓于特殊之中, 反之, 通过对特殊规律的观察又可发现发现一般规律，从而
3、使特殊与一般达到和谐统一。例1.求证:2n n2 ( n 4) .这一规律的探索、发现可通过特殊发现一般的策略: 这是先猜想, 后证明. 先猜后证的数学思想应该是探索性学习的主要指导思想. 2 反面与正面的和谐正如方程与函数、常量与变量、相等与不等、直与曲、有限与无限.都是正面与反面,既互相对立, 又可相互转化, 有时可出奇制胜地解决问题. 如解方程cos2x + 3| cos x | + 2 =0 , 要去绝对值符号、显得繁琐 , 若从其反面添绝对值符号 , 使其方程转化为| cos x|2 +3| cos x | + 2 = 0 , 它丝毫无损于原方程的同解性 ,但从(| cos x |
4、+ 2) ( | cos x | + 1) = 0 ,分解因式,却巧妙地解出了三角方程, 这是典型的反面与正面达到和谐境界的体现。例2 设ABC 的三边a 、b、c 成等差数列,则它的三内角中至少有两个角不超过分析：满足以上条件的三角形三内角中至少有两个角不超过,换句话说,至多只有一个角能超过，正面证明此论断无从下手,采取反面切入求解“有两个角超过 ”,因为题设有a 、b、c 成等差数列, b =( a + c) , 不妨设a b c 推出A B C , 要使结论成立, 只要证明B ,这时用反证法,假设B 推出cosB a2 + c2 - ac ,代入b =得出,得出3 a2 + 3 c2 -
5、 6 ac 0 ,即3 ( a - c) 2不可能, 所以B ,得出ABC 至少有两个角不超于3熟悉与陌生的和谐解题时, 遇到陌生的数学问题, 必须用激活策略,用与陌生问题有内在联系的熟悉问题的解题经验、方法与技巧去处理陌生问题, 以便使经验、方法、技巧迅速迁移.例3（2004年北京市高考试题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前n项和的计算公式为 。分析：这是一个新定义问题，题目对于每一位同学都是陌生的，重点在于考查学生学习应用新知识的能力和由
6、“等差”到“等和”的类比能力。根据试题提供的材料不难得出： 4 具体与抽象的和谐抽象是数学的一大特点,抽象又是具体的一面镜子, 愈抽象的数学材料空间形式、数量关系,愈有可能应用到更广泛的领域之中去,这就是具体激活抽象的理论基础.例4 已知一元二次方程ax2 + bx + c = 0( a 0 且a c) 的两个根为tan、tan, 求tan (+) 的值.分析：用韦达定理的根与系数的关系容易得出tan(+) =这是相对具体的数学问题,是教材上的原型题,在和角的正切公式中,分子中有两根之和,分母中有两根之积,这是下面的抽象的变式题的构造特征,读者可看出具体可以激活抽象的变式题.例4变式： tan
7、与为二次方程x 2+ px + q = 0 的两根,且tan: = 32 ,求p 、q 的值.解: +- =。则tan=q - p = 1. 又=,推出关于tan的一元二次方程2tan2+ 5tan- 3= 0 tan=或tan= - 3 ,得=或=-2与结合.联立解出或具体的原型题与抽象的变式题相比较,具体激活了抽象.5 简单与复杂的和谐复杂是由简单构造而成的,只要找到与复杂问题在结构、性质、关系等方面相似的简单问题, 再对这些简单的类比问题看透彻了, 钻研深刻了,则简单数学类比题可以激活复杂的数学题,复杂数学题可以迎刃而解.例5 设x , y , z (0 , 1) , 求证: x (1
8、- y)+ y (1 - z ) + z (1 - x ) 1.如果读者对此题难以下手,那么可构造简单类比题: 设x , y ( 0 , 1) 求证: x ( 1 - y )+ y (1 - x) 0 , f (1) = 2 y - 1 + (1 - y)= y 0.由于一次函数f ( x ) 的图象是一条直线,所以当0 x 0 成立,故原不等式成立.例5 的证明:设f ( x ) = 1 - x (1 - y) +y (1 - z ) + z (1 - x ) = ( y + z - 1) x + ( yz +1 - y - z ) ,由于0 y 1 ,0 z 0.f (1) = yz 0
9、, f ( x ) 是将y 、z 视为常量,而将x 视为变量, 故f ( x ) 这个一次函数图象是一条直线, 当0 x 0 成立,故原不等式成立.简单类比题的确可以激活复杂问题,华罗庚教授说:“要善于退, 足够地退, 退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍”. 其原因也是简单类比题可激活复杂数学题.6 局部与整体的和谐整体是由局部组成的, 反之, 几个局部便组合成为整体. 在具有轮换对称的式子中, 可以将对整体的研究转化为几个局部的研究,而这几个局部又都是对称式,只要研究一个局部就可以“以逸代劳”地研究整体了,这就是局部激活整体的理论基础.例6 设a 、b、c 、d 均为正数
10、,求证:a + b + c + d.分析:左边每个分式都只含有三个字母,而与第四个字母无关, 为了用局部激活整体,将右边也分解成四个同型项: ,能否只证一个不等式就可激活整体了呢? 回答是肯定的.因为a 、b、c 均为正数故上面不等式等价于3 ( a2 + b2 + c2) ( a + b + c) 2 ,即2 ( a2 +b2 + c2) 2 ( ab + bc + ca) ,故推出( a - b) 2 +( b - c) 2 + ( c - a) 2 0 ,可见式也成立.这一证明非同小可,下面三个不等式同样成立: 从而原不等式成立. 要了解以上六个方面, 不是彼此孤立的,而是相互联系的,如
11、例6 ,既可以用局部激活整体,也可以用简单激活复杂, 同样可用于已知激活未知,或特殊激活一般.例6 的简单类比题是a 、b、c 均为正数,求证: +a+b+c总之, 激活既有微观激活概念激活,又有宏观激活方法与策略激活,更有解题原则的激活,激活策略应该是数学解题的一大诀窍. 考生在考试过程中遇到这类试题时，要沉着冷静地仔细研读试题提供的材料，找准突破口，和自己已有的知识建立起实质性的联系，和谐地运用所学的数学知识和数学思想方法解决新问题。参考文献1. 汪安圣. 认知心理学. 北京大学出版社,19992，郑毓信 数学方法论 广西教育出版社 20033赵卫国 巧用局部调整法证明三角不等式 中学数学研究 2005/02
