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1、打破常规 另辟蹊径对图象的挖掘高中数学第二册（上）(人教版)第70页有这样一道例题，摘录如下：点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k（k0），求点M的轨迹方程该题同样出现在人教版的平面解析几何第25页上这道题的常规解法，我们都很自然地以这两条互相垂直的直线作为x轴、y轴，得到点M的轨迹方程为但如果改成求点的轨迹，我们能不能说出它是什么呢？由此引发我们的思考笔者第三次讲授该例题，体会较多，今一一列举，请同行指点 一、不妨换个角度建系，得到轨迹是双曲线如果我们简单从入手考虑问题，可能时间耗尽却收效甚微那么请不妨换个角度，让建系来得不简单点吧！Oxy图（1）解：如图(1)，分别以这两条互相垂直的
2、直线的角平分线作为x轴、y轴，则 l1：x-y=0 ，l2：x+y=0 设动点M(x,y)，由题意可得 =k，|x2-y2|=2k2 ，-=1 或 -=1对于两条确定的直线l1和l2，点M的轨迹是确定的由于建系的不同，我们求得的轨迹方程形式上也不同，但这不会改变图象的形状，故课本中求得的曲线xy=k（k0）也是两条双曲线，而且是一对共轭双曲线这里我的感触颇深，这种建系方法一般我们不会考虑，但其实如此建系不也一般嘛，中间的运算量也不算大，最主要地是轻松解决了我们的问题这个“不简单”好啊！ 二、内容的引伸和难点的突破发现了上述特点，接下来的思考便是顺理成章，耐人寻味我们不难发现直线l1、l2是求得
3、的两条双曲线的渐近线，于是我们得到：与两条相交直线的距离的积是常数k（k0）的点的轨迹是一对共轭双曲线，这两条相交直线是它们的渐近线图(2)OyACBDx证明：如图(2)，以AB、CD的交点为原点，以AOD角平分线所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设动点M(x，y)，AB：y=mx CD：y= mx (m是常数，m0) ，由题意可得，=k，化简得 =1 或=1这两条双曲线是共轭双曲线，且渐近线是y=mx，求证结论成立双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积是常数图（）证明：如图(3)，选择双曲线：=1(a0,b0)研究双曲线这一几何性质，渐近线：bxay=0设M(x,y)是双曲线： =1(
4、a0,b0)上任一点，则得 b2x2a2y2=a2b2点M到双曲线的两条渐近线的距离之积=，求证结论成立综合可得：（）与两条相交直线的距离的积是常数k（k0）的点的轨迹是一对共轭双曲线，这两条相交直线是它们的渐近线该结论可作为共轭双曲线的定义和双曲线渐近线的定义，对教材中双曲线渐近线的描述性定义进行了突破，前者更可用于对曲线形状的判断（）双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积为常数这一关系反映了双曲线的一个几何性质，也反映了双曲线和它的渐近线之间的紧密联系三、联系函数内容，进行难点再突破从函数y=x+(x0)，到函数y=x+，再到一般函数y=ax+(x0)，其中(a0，b0，a、b是常数)
5、，我们在研究完它的单调性后，对其函数图象形状或者避而不谈，或者直接通过函数的一些性质画草图，对图象的本质归属问题总是存在一定的欠缺通过(二)的两个结论的探讨，现在我们可以大声地说，函数的图象是双曲线！函数y=ax+和y=ax-(a0，b0，a、b是常数)的图象是一对共轭双曲线，直线y=ax和x=0是它们的两条渐近线xyO图(4)证明：设M(x，ax+)是函数y=ax+(x0)上任一点，点M到直线x=0的距离d1=|x|，M到直线y=ax的距离d2=点M到直线x=0和直线y=ax的距离之积d1d2=为常数同理可证，函数y=ax也具有以上性质由(二)的两个结论可知：函数y=ax+ 和y=ax(a0
6、，b0，a、b是常数)的图象是一对共轭双曲线，直线y=ax和x=0是它们的两条渐近线，突破了对以上两个函数图象形状确定的难点四、沟通解析几何与函数的关系图（）平面解析几何是一门用代数方法研究几何问题的学科，代数式子与几何图形水乳交融，合为一体而函数在代数中扮演着十分重要的角色，函数与函数图象也是密切联系，如影随形数学的学习是一个从“特殊一般特殊”不断演变，不断发展的过程，上述两者之间的关系可通过“函数解析法y=f(x) (xA)的表示”与“曲线及其方程概念的理解” 来加以区别从这一点上来看，我们可以说函数内容是平面解析几何内容的特殊情况，形象地用韦恩图加以描述，如图（）作为一线教师，笔者认为，无论是我们教师自身的学习还是指导学生的学习应该源于课本，又高于课本对于问题的思考不是浅尝辄止，拘泥于某些定性思维，而是倡导创新思维，敢于打破常规分析问题，另辟蹊径解决问题我们应经常有意识地鼓励学生对一些看起来“风马牛不相及”知识内容进行深入挖掘，使之融会贯通，进一步达到思维的升华，这对于帮助他们积极主动地学习，树立辩证唯物主义世界观大有裨益
