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1、高中数学案例浅谈启发式教学在高中数学课堂中的应用“函数的奇偶性”教学案例一、案例背景叶圣陶先生说：“教者，盖在于引导、启发。” 新课程标准的实施也要求教师从传统的“填鸭式”教学方法向“启发式”教学方法转变。教师把自己视为教学的指导者、促进者和帮助者，是“带着学生走向知识”而不是“带着知识走向学生”。基于此，课堂上教师可以精心组织教材，恰当的设计提问，引导，启发学生自主地去寻找，归纳，掌握知识。下面就以函数的奇偶性为例讲讲启发式教学在高中数学课堂上的应用。二 、情景再现函数是高中数学中学生首次接触的较为抽象的概念，而函数的奇偶性又是函数的一个重要性质 , 它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力
2、和探索精神，在高中数学中有广泛的应用，本节课研究的主要知识点有： 1 、函数奇偶性的定义。2 、利用奇、偶函数的定义判断某些简单函数的奇偶性。3 、若 f1(x) 为 R上的奇函数， f2(x) 为 R 上的奇函数， g(x) 为 R 上的偶函数， h(x) 为 R 上的偶函数，探究 f1(x).h(x),f1(x)f2(x),g(x)h(x) 的奇偶性。4 、奇函数，偶函数的图像的特点 探究一 : 师：根据课本上函数奇偶性的定义：一般地，如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域D内的任意一个x,都有f(-x
3、)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。若D是函数的定义域，如果对 D 内的任意一个 x, 必有一个 -x 也在 D 内，这可以得到什么启示？ 生：这说明如果这个函数具有奇偶性，那么首先它的定义域一定关于坐标原点对称。 师：回答得很好！请同学们再思考一下，如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么这个函数还会是奇函数或偶函数吗？ 生：一定不会，因为首先定义域没有关于原点对称，失去了是奇函数或偶函数成立的前提条件。这个函数肯定既不是奇函数也不是偶函数。师：非常正确！探究二：师：下面同学们根据奇函数，偶函数的定义判断下列函数的奇偶性： （ 1 ） f（x） = 3x （2）f（x） =-x
4、 2+2（3）f（x）= x+1（4）f（x）= x(x2 +1) 师：这四道题目中的定义域是什么？生：这四小题中的定义域都是xR，关于原点对称。师：如何根据奇函数，偶函数的定义去判断函数的奇偶性？生一： f（x） = 3x是奇函数; 是偶函数 ;生三：同理，(3) 既不是奇函数也不是偶函数 （4）是奇函数 . 师：完全正确！如果我将（2 ）f（x） = -x 2+2加上条件x ,那么（2）中的f（x） 还是偶函数吗？生：不是，因为定义域x没有关于原点对称。师：所以判断函数的奇偶性应该先看什么？生：定义域有没有关于原点对称！师：很好。以上的四个函数都是较为简单的函数，而且定义域都是能够直接得到
5、的，若我们把（1）改成：，（2）改成 判断它们的奇偶性有什么变化？生：先求定义域生一：（1）既不是奇函数，也不是偶函数，因为它的定义域变成了，没有关于原点对称，所以不具有奇偶性。生二：（2）仍然是偶函数，因为它的定义域变成了，还关于原点对称，一样是偶函数。师：由此，请同学们自己归纳一下：判断函数的奇偶性可以分成几个步骤？生：可以分成三个步骤：第一步先看定义域（没有直接给出的要先求出定义域）有没有关于原点对称，第二步，代入-x，求出f(-x),第三步，把f(-x)和f(x)比较得出结论。师：很好。学习了用定义法去判断一些简单函数奇偶性的步骤后，请同学们思考一下一次函数f(x)=kx+b(k 0)
6、 的奇偶性？请同桌之间展开讨论。 生 1一：有可能是奇函数，如当 b=0 时， f(x)=kx(k 0) 满足 f(-x)=-f(x) 。 生 二 ：他说的正确，但我认为 f(x)=kx+b(k 0) 一定不是偶函数，因为 f(-x) f(x). 师：你们总结的很好，当 b=0 时， f(x)=kx(k 0) 满足 f(-x)=-f(x) ；当 b 0 时， f(-x) f(x) ， f(-x) -f(x),f(x)=kx+b(k 0) 既不是奇函数，也不是偶函数。 那同学们再思考二次函数 f(x)=ax2 +bx+c(a 0) 是否具有奇偶性呢？ 生三：可能具有也可能不具有，特别的当 b=0
7、 时， f(x) 是偶函数； b 0 时既不是奇函数，也不偶函数。 师：好。对于我们熟悉的一次函数 f(x)=kx+b（k 0）, 当 b=0 时为奇函数，否则既不是奇函数，也不偶函数；二次函数 f(x)=ax2 +bx+c(a 0), 当 b=0 时为偶函数，否则既不是奇函数，也不偶函数，希望同学们理解并记住。 探究三：师：下面同学们根据以上例题，再想一想 f(x)=x(x 2 +1) 可看成一个函数g(x)=x和函数h(x)= x 2 +1 的乘积，函数g(x)=x是什么函数？，函数h(x)= x 2 +1是什么函数？函数f(x)=x(x 2 +1)又是什么函数？生：函数g(x)=x是奇函
8、数，函数h(x)= x 2 +1是偶函数，函数f(x)=x(x 2 +1)是奇函数。师：这三者之间有什么联系？生：这说明若f(x)是一个奇函数 g(x) 和一个偶函数 h(x) 的乘积，即f(x)=g(x).h(x) 则f(x)为奇函数。师：好，那么如果 g(x) 和 h(x) 同为偶函数或奇函数呢？ 生一： f(x) 为偶函数。因为当g(x) 和 h(x) 同为偶函数f(-x)=g(-x).h(-x)=g(x).h(x)=f(x)；当g(x) 和 h(x) 同为奇函数时，f(-x)= g(-x).h(-x)=-g(x).-h(x)=g(x).h(x)= f(x) 生二：也就是说奇函数乘以偶函
9、数结果为奇函数。同奇同偶的两个函数相乘仍然是偶函数 师：同学们总结的非常好，如果我们将这个问题再深入分析下去，想一想，奇函数加上或减去奇函数会是什么函数？偶函数加上或减去偶函数会是什么函数？请同学们按照刚才的方法自己在纸上举例推断一下。生（推算）：奇函数加上或减去奇函数仍是奇函数，偶函数加上或减去偶函数仍是偶函数。师：同学们能不能把这些性质归纳一下？生：偶函数的和、差、积仍为偶函数，奇函数的和、差仍为奇函数。一奇一偶的函数相乘为奇函数，同奇同偶的函数相乘为偶函数。师：很好！得到了这些性质，那么我们以后在解题中除了用定义法，还可以用性质法去判断函数的奇偶性。遇到多个函数相乘时，就可以分析每一个函
10、数的奇偶性来判断整个函数的奇偶性，但同时不要忘记，判断函数奇偶性，首先要看定义域有没有关于原点对称。如果定义域没有关于原点对称，则不论f(-x)= -f(x)或者f(-x)= f(x)是否成立此函数都不是奇函数或者偶函数。探究四： 师：接下来我们一起来研究奇函数或偶函数的图象有何特点？请同学们分别作出 y =-2x 和 y=x2 的图象，并观察有何特点？ 生一：奇函数 y=-2x 的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；生二：偶函数 y=x2+1 的图象是一条抛物线，顶点是（ 0 ，0 ）、开口方向向上，且关于 y 轴对称。 师：回答得太棒了！大家再作出 y=3x 和 y=-x2
11、 +1的图象，观察是否有类似的规律？ 生： y=3x和y=-2x 的图象一样也是关于原点成中心对称图形； y=-x2 +1 与 y=x 2 的图象一样也关于 y 轴对称。 师：那么我们可以猜想：奇函数的图象有什么特点？偶函数的图象有什么特点？生：奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，师：对极了。反之亦然。如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数。如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。生：噢，原来如此。 师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数 y=1/x2 的图象？ 生一 ：该函数的定义域为（ 0 ， +
12、 ）（ - ， 0 ），又是偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，只需作出 y=1/x2 在（ 0 ， + ）上的图象，然后对称过去就好了。但我不知该怎样做？ 生 二 ：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据关于y轴对称做出（ - ， 0 ）的图象。 生（全体）：对了！ 师：好。若将题目改成作出函数y=x3的图象，又将如何操作？生（全体）：先用描点法作出函数y=x3在 0 ，+ ）上的图象，再根据函数y=x3是一个奇函数，它的图象关于原点对称，作出（ - ， 0 ）部分的图象。师：回答的都很正确。奇函数，偶函数图象的特点不仅可以帮助我们解决相关类型的题目，而且我们还可以图像法去判断函数的奇偶性。因为
13、一个奇（偶）函数的充要条件就是它的图像关于原点（y轴）对称。课堂总结：师：同学们，这节我们要掌握的就是奇函数，偶函数的概念，判断函数的奇偶性可以用定义法、性质法、图像法等去判断。特别要注意的是，不管用哪一种方法判断一个函数的奇偶性，首先要看这个函数的定义域有没有关于原点对称，还要学会并牢记奇函数，偶函数图象的特征并能够灵活应用。此外给大家留一个思考题：运用函数奇偶性的定义及步骤去判断分段函数的奇偶性，并写出证明过程。三、案例反思：学生在学习数学中因为高中数学的概念抽象，内容枯燥，往往对数学心生厌烦，没有好感。所以教师在传授新课时，就可以结合教材的特点，由浅入深的设计课堂提问去吸引学生，使学生一
14、听到问题，就都想一试锋芒。促使学生自己去动脑筋解决，从而激发学生的学习热情，达到教而不教的目的。本节课就是通过设置一系列有层次的问题来驱动“函数奇偶性”的教学，不仅突破了教学难点，而且让学生在解决问题的过程中明白了奇偶性定义形式化的必要性，深化了对于奇偶性本质的深刻理解全国特级教师于漪谈自己的教学经验时说：“教学过程实质上就是教师有意识地使学生自己去生疑再解疑的过程。在此循环往复、步步推进的过程中，学生掌握了知识，获得了能力。”青少年的本性就是好奇好胜，利用他们的这种心理特点，用“启发”的方法去“钓”他们的学习“胃口”。把学生的士气鼓起来，使他们摩拳擦掌，跃跃欲试。这样才能引导学生参与到课堂教学，自主地寻求解题途径，从而培养他们学习的“主人翁”意识，发展他们探索新知分析问题归纳结论的能力。
