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1、例谈利用几何法巧解曲线相交问题圆锥曲线是中学数学的重要内容之一，求解一类直线与圆锥曲线相交问题时，若用代数法（判别式法）解，其计算；量非常大，而通过分析图象特征，利用数形结合思想，则计算量大大减少。一：含参数的无理方程问题一类含参数的无理方程根据它的实数解情况来讨论参数范围问题，往往可把它转化为讨论直线与曲线的一部分的相交问题。例1：方程 =mx+1有且只有一个实数根，求m。解：令y=，则 x+y=1 （y0）它的图象是以原点为圆心，1为半径的圆在x轴上方部分的图象，再令y=mx+1,它的图象是过定点（0，1）斜率为m的直线。如图（1） 图1方程 =mx+1有且只有一个实数根，即直线y=mx+
2、1与半圆x+y=1 （y0）只有一个交点，由图可得m=0或m1或m0)总有公共点，求a,b满足的条件。解：直线y=mx+b恒过定点（0，b）双曲线（x-1）-ay=a即=1的中心在（1，0），顶点x轴上，要使直线与双曲线总有公共点，则点（0，b）必须在双曲线内或双曲线上。如图（5） 图5双曲线与y轴必有交点，即当x=0时，y=0得出0a1，双曲线与y轴交点为（0，），-b即|b|a1a,b满足的条件为0a1且a1例6：已知A（-3，4），B（4，4），若线段AB与椭圆x+=m没有公共点，求正数m的取值范围。解：分两种情况（1） 当线段AB在椭圆外时如图（6）只需要椭圆与 y轴正半轴的交点在线段AB的下方，2m4得出0m2由（1）（2）得0m2 图6 图7
