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1、高中数学常用公式及结论大全(新课标)必修11、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征，例如2、常用数集及其表示方法（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、（2）正整数集N*或N+ ：1、2、3、（3）整数集Z：-2、-1、0、1、（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集R：全体实数的集合（6）空集：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于，不属于例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA4、集合与集合的关系：子集、真子集
2、、相等（1）子集的概念BAA,B(图1)或如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，记作（2）真子集的概念BA(图2)若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2). AB或BA.（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.5、重要结论（1）传递性：若，则（2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.AB6、含有个元素的集合,它的子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有1个(即不计空集)；非空的
3、真子集有2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xBAB（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集记作AB（读作A并B），即AB=x|xA，或xB（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合， A叫做A在U中的补集，记作, 注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了的情况。8、映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x
4、)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如 10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）分式的分母不为零；偶次方根的被开方数大于或等于零；对数的底数大于且不等于；对数的真数大于；指数为的底不能为零；,则11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足， 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足， 偶函数的图象关于y轴对称； 注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; 若奇函数在原点有定义,则根据奇偶性可将函数分为四类：
5、奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当时，都有，则在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当时，都有，则在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数在某区间上是增函数或减函数，那么说在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间13、一元二次方程 （1）求根公式: （2）判别式：（3）时方程有两个不等实根；时方程有一个实根；时方程无实根。（4）根与系数的关系韦达定理:，14、二次函数：一般式； 两根式xy0（1）顶点坐标为；（2）对称轴方程为：x=；（3）当时，图象是开口向上的抛物线，在x=处取得最小值 当时，图象是开口向下的抛物线，
6、在x=处取得最大值（4）二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系： 时，有两个交点；时，有一个交点（即顶点）；时，无交点。15、函数的零点使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。注：函数有零点 函数的图象与轴有交点 方程有实根16、函数零点的判定：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有。那么，函数在区间内有零点，即存在。17、分数指数幂 （，且）（1）.如；(2) . 如；（3）；xy01y图象10x性质（1）定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数（4）当为奇数时，； 当为偶数时，.18、有理指数幂
7、的运算性质（）（1）； （2）； （3）19、指数函数（且），其中是自变量，叫做底数，定义域是R20、若，则 叫做以 为底的对数。记作：（，）其中，叫做对数的底数，叫做对数的真数。注：指数式与对数式的互化公式：21、对数的性质（1）零和负数没有对数，即中；（2）1的对数等于0，即 ；底数的对数等于1，即22、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：自然对数：以e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为：23、对数恒等式：24、对数的运算性质（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;(3) （注意公式的逆用）25、对数的换底公式 (,且,且, ).推论或； .26、对数函数（
8、，且）：其中，是自变量，叫做底数，定义域是图像x1y01x0性质定义域：(0, )值域：R过定点（1，0）增函数减函数取值范围0x1时，y1时，y00x0 x1时，y 0时，有. 小于取中间或.大于取两边(2)、解一元二次不等式 的步骤：求判别式 求一元二次方程的解： 两相异实根 一个实根 没有实根画二次函数的图象 结合图象写出解集解集 R解集 注：解集为R 对恒成立 （3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)（4）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。如解分式不等式 ：先移项 通分直线再除变乘，解出。87、线性规划：（1）一条直线将平面分为三
9、部分（如图）：（2）不等式表示直线某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0）。（3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数，最大的为最大值。选修1-188、充要条件 （1）若，则是充分条件，是必要条件.（2）若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.89、逻辑联结词。“p或q”记作：pq; “p且q”记作：pq; 非p记作：p 90、四种命题： 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p否命题：若p，则q 逆否命题：
10、若q，则p注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系； （2）p是指命题P的否定，注意区别“否命题”。例如命题P：“若，则”，那么P的“否命题”是：“若，则”，而p是：“若，则”。91、全称命题：含有“任意”、“所有”等全称量词（记为）的命题，如P：特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为）的命题，如q：注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如上述命题p和q的否定：p：， q：92、椭圆定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且(为常数)则P点的轨迹是椭圆。标准方程：焦点在x轴: ； 焦点在y轴: ； 长轴长=，短轴长=2b 焦距：2c 恒
11、等式：a2-b2=c2 离心率：93、双曲线定义：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。图形：如图标准方程：焦点在x轴: 焦点在y轴: 实轴长=，虚轴长=2b， 焦距：2c 恒等式：a2+b2=c2 离心率：渐近线方程：当焦点在x轴时，渐近线方程为；当焦点在y轴时，渐近线方程为等轴双曲线：当时，双曲线称为等轴双曲线，可设为。94、抛物线 定义：到定点F距离与到定直线的距离相等的点M的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH）。F准线FMH 图形：方程 焦点： F F F F准线方程： 注意：几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；95导数的几何意义：表示曲线在处的切线的斜
12、率； 导数的物理意义：表示运动物体在时刻处的瞬时速度。96、几种常见函数的导数(1) （C为常数）. (2) .(3) . (4) . (5) ；. (6) ;. （7）97、导数的运算法则（1）. （2）. （3）.98函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间（a , b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。 注：若函数在这个区间内单调递增，则 若函数在这个区间内单调递减，则极大值99、判别是极大（小）值的方法(1)求导；极小值（2）令=0，解方程，求出所有实根（3）列表，判断每一个根左右两侧的正负情况：如果在附近的左侧，右侧，则是极大值； 如果
13、在附近的左侧，右侧，则是极小值.100、求函数在闭区间a , b上的最值的步骤： （1）求函数的所有极值； （2）求闭区间端点函数值； （3）将各极值与比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即，千万不能写成导数值。 （2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。选修1-2101、复数，其中叫做实部，叫做虚部(1)复数的相等 .（） (2)当a=0,b0时,z=bi为纯虚数;(3)当b=0时,z=a为实数;(4)复数z的共轭复数是(5)复数的模=.(6)i2 =-1, （-i）2 =-1.(7) 复数对应复平面上的点
14、，102、复数的四则运算法则 (1)加：;(2)减：;(3)乘：;类似多项式相乘(4)除：（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”）103、常用不等式：（1）重要不等式:若，则(当且仅当ab时取“=”号)（2）基本不等式:若，则 (当且仅当ab时取“=”号) 基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等 当为定值时，有最小值，简称“积定和最小” 当为定值时，有最大值，简称“和定积最大”104、推理：（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）（2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊
15、情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断）105、证明：（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）（2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。极点O极径点M)极角极轴yx坐标系与参数方程106、极坐标系：其中 （1）如图，点M的极坐标为（2）极坐标与直角坐标的互化公式：; ，107、参数方程形如（*）参数方程是借助参数，间接给出之间的关系,而普通方程是直接给出与的关系，如（1）圆的参数方程是（2）椭圆的参数方程（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。 消去参数
16、的方法有：公式法：用公式等 代入法：方程（*）中，由解出，代入 加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数请同学们试着将圆的参数方程，化为圆的标准方程_，说说你用的是什么方法？提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。几何证明选讲108平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰109平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延
17、长线），所得的对应线段成比例110判定两个三角形相似的方法：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似判定定理1：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边111相似三角形的性质定理：1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比2）相似三角形周长的比等于相似比3）相似三角形面积的比等于相似比的平方CABD112直角三角形的射影定理如图ABC中，CD是斜边AB上的高，则（1） （2）（3）；113圆周
18、角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角114圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点1（2 推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线115弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 如图：116与圆有关的定理：（1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
