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1、2010年北京市各区二模高考数学模拟试题分类解析及高频考点透析一、 集合（必修一）1.（西城二模1） 设集合，则CU等于( )A B C D2（海淀二模1）已知集合，则( B )A B C D3.（朝阳二模1）已知集合，则等于（ B ）（A） （B） （C） （D）4.（宣武二模1）集合的元素个数有（ B ）A1个 B2个 C3个 D无数个5（昌平二模1）设集合A=x|x2-40,B=x|，则( B )Ax|x2 B.x|x-2 C.x|x2 D.x|xf(b)g(b) B f(x)g(a)f(a)g(x) C f(x)g(b)f(b)g(x) D f(x)g(x)f(a)g(a)4.（西城二
2、模14）已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：对于任意，函数是上的减函数；对于任意，函数存在最小值； 存在，使得对于任意的，都有成立；存在，使得函数有两个零点其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）、5.（东城二模20）已知函数() 若函数在上为单调增函数，求的取值范围；() 设，且，求证：解：() 3分 因为在上为单调增函数，所以在上恒成立即在上恒成立当时，由，得 设，当且仅当，即时，有最小值所以 所以所以的取值范围是7分()不妨设，则要证， 只需证，即证 只需证11分设由()知在上是单调增函数，又，所以所以14分6.（西城二模18）已知，函数设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点
3、是，为坐标原点（）证明：；（）若对于任意的，都有成立，求的取值范围解：（）对求导数，得，故切线的斜率为， 2分由此得切线的方程为 4分令，得. 5分（）由，得. 6分所以符合题意， 7分当时，记，对求导数，得, 8分令，得.当时，的变化情况如下表：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，从而函数的最小值为. 11分依题意， 12分解得，即的取值范围是. 13分综上，的取值范围是或.7（海淀二模18）已知函数，其中a为常数，且.（）若，求函数的极值点；（）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.解法一：（）依题意得，所以，1分 令，得，2分 ，随x的变化情况入下表：x0+0极小值极大值4分 由
4、上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. 5分（） , 6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 7分当时，显然对任意恒成立；8分 当时，等价于，因为，不等式等价于,9分 令， 则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，所以在上的最小值为，.11分由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.13分解法二：（）同解法一（）,6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立，7分 当时，显然对任意恒成立；8分 当时，令，则函数图象的对称轴为，9分 若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需
5、且只需，解得，所以 若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为. 13分8.（朝阳二模18）已知函数，（为自然对数的底数）（）求函数的递增区间；（）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为，求证：解：（）函数的定义域是.当时，由，解得； 当时，由，解得；当时，由，解得，或所以当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是， 8分（）因为，所以以为切点的切线的斜率为；以为切点的切线的斜率为又因为切线过点，所以；. 解得， ，. 则.由已知所以， 13分9.（崇文二
6、模18）设函数（）（）当时，求的极值；（）当时，求的单调区间. 解：（）依题意，知的定义域为. 当时， 令，解得. 当变化时，与的变化情况如下表：0单调递增极大单调递减由上表知：当时，；当时，. 故当时， 取得极大值为.-5分（）若，令，解得：；令，解得：.若，当时， 令，解得：； 令，解得：或. 当时， 当时， 令，解得：； 令，解得：或.综上，当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为，； 当时，的减区间为,无增区间；当时，的增区间为，减区间为，.14分 10.（宣武二模19）已知函数.（I）判断函数的单调性；（）若+的图像总在直线的上方，求实数的取值范围；（）若函数与的图像有
7、公共点，且在公共点处的切线相同，求实数的值.解：（）可得.当时,为增函数;当时,为减函数.4分（）依题意， 转化为不等式对于恒成立 令， 则 当时，因为，是上的增函数， 当时，是上的减函数， 所以 的最小值是，从而的取值范围是. 8分 （）转化为，与在公共点处的切线相同由题意知 解得：，或（舍去），代人第一式，即有.4分11.（昌平二模18）已知函数,其中为大于零的常数.（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线平行，求的值；（II）求函数在区间1，2上的最小值.解：() .4分 （I）因为曲线在点（1，）处的切线与直线平行，所以，即6分 (II)当时，在（1，2）上恒成立，这时在1，2上为增函数
8、 .8分 当时，由得，对于有在1，a上为减函数， 对于有在a，2上为增函数，11分当时，在（1，2）上恒成立，这时在1，2上为减函数， .综上，在1，2上的最小值为当时，,当时，当时， .13分12（丰台二模18）已知函数.（）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1)处的切线方程；（）若f(x)在R上单调，求a的取值范围；（）当时，求函数f(x)的极小值。解:（）当a=0时，,2分,函数f(x)的图像在点A(1,f(1)处的切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0 4分（）,考虑到恒成立且系数为正，f(x)在R上单调等价于 恒成立.(a+2)2-4(a+2)0,-
9、2a2 ，即a的取值范围是-2，2，8分（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）（）当时, ,10分令，得，或x=1，令，得，或x1，令，得. 12x,f(x)的变化情况如下表X1)+0-0+f(x)递 增极大值递 减极小值递 增所以，函数f(x)的极小值为f(1)= 14分 四、定积分（选修2-2）五、三角函数（必修四）1（海淀二模2）函数图象的对称轴方程可以为( A )A B C D2.(崇文二模4)把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为( B )（A） （B） （C） （D）3.（东城二模13）在
10、函数的一个周期内，当时有最大值，当时有最小值，若，则函数解析式= 4（海淀二模13）在中，角,所对应的边分别为,，若，则的最大值为 .5.（宣武二模9）函数的值域是 . 6.（朝阳二模13）上海世博园中的世博轴是一条1000长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 .CB世博轴 A中国馆120解法1：设中国馆到世博轴其中一端的距离为，所以，.则. 解得.所以中国馆到世博轴其中一端的距离为.解法2：设中国馆到世博轴其中一端的距离为，所以，.则，解得.所以中国馆到世博轴
11、其中一端的距离为.CB世博轴 A中国馆D解法3：设中国馆到世博轴其中一端的距离为，所以，.过点做的垂线，垂足为.因为，所以得到，且，.所以. 解得.所以中国馆到世博轴其中一端的距离为.7如右图，在倾斜角150(CAD=150 )的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（BC），在A处测得塔顶B的仰角为450（BAD=450），则塔顶到水平面的距离（BD）约为 米（保留一位小数，如需要，取) 40.58.（东城二模15）在中，角，所对的边分别为， （）求的值；（）若，求的值解：（）因为，又，所以3分所以 7分（）由余弦定理，得11分 解得13分ABCD9.（西城二模15）如图，在四边形中，.（
12、）求的值；（）求的面积.解：（）已知，由余弦定理得，解得， 3分由正弦定理，所以. 5分. 7分（）在中，所以， 9分因为，所以， 11分所以，的面积. 13分10.（朝阳二模15）设函数（）求函数的最小正周期； （）当时，求函数的最大值及取得最大值时的的值.解：（）因为，所以. 函数的最小正周期为. 7分（）因为，所以 所以，当，即时 函数的最大值为1. 13分11.（崇文二模15）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点已知的横坐标分别为（）求的值；（）求的值 解：（）由已知得：为锐角 -6分（） 为锐角， 12分北2010ABC12.（宣武二模15）
13、如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里处的乙船.（）求处于处的乙船和遇险渔船间的距离；（）设乙船沿直线方向前往处救援，其方向与成角，求的值域.解：（）连接BC,由余弦定理得=202+10222010COS120=700.=10. 5分（）， sin =是锐角，=的值域为. 13分13.设函数.(I) 求函数的单调递增区间；(II) 设A,B,C为ABC的三个内角，若AB=1,sinB=， ，求AC的长.解： =.3分（I）令，则函数f(x)的单调递增区间为.6分（II）由已知，.7分因为所以，
14、sinC =10分在ABC中，由正弦定理，得14（丰台二模15）已知函数f(x)=(其中A0,)的图象如图所示。（）求A，w及j的值；（）若tana=2, ,求的值。解：（）由图知A=2, 1分T=2()=p,w=2, 3分f(x)=2sin(2x+j)来源:Z|xx|k.Com又=2sin(+j)=2, sin(+j)=1, +j=,j=+,(kZ),j= 6分由（）知：f(x)=2sin(2x+)，=2sin(2a+)=2cos2a=4cos2a-29分tana=2, sina=2cosa,又sin2a+cos2a=1, cos2a=,= 12分 六、数列（必修五）1.（西城二模5）数列满
15、足，（），则等于（ A ）A B C D2.（宣武二模3）若为等差数列的连续三项，的值为（ A ） A1023 B1025 C1062 D20473（海淀二模12）已知数列满足，（N），则的值为 484.（东城二模14）已知数列中，是其前项和，若，且，则_，_ _，5（东城二模19）已知数列的前项和为，设 （）证明数列是等比数列；（）数列满足，设， 若对一切不等式恒成立，求实数的取值范围证明：（）由于， 当时， 得 所以 2分又，所以因为，且，所以所以故数列是首项为，公比为的等比数列6分（）由（）可知，则（） 9分由，得即所以所以11分设，可知在为减函数，又，则当时，有所以故当时，恒成立13分
16、6（海淀二模15）记等差数列的前n项和为，已知.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和.解：（）设等差数列的公差为d，由， 可得 ，2分 即， 解得，4分 ， 故所求等差数列的通项公式为.5分（）依题意， ，7分 又， 9分 两式相减得11分 ，12分 .13分7.（朝阳二模20）已知是递增数列，其前项和为，且，（）求数列的通项；（）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；（）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值解：（），得，解得，或由于，所以因为，所以.故，整理，得，即因为是递增数列，且，故，因此则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以
17、. 5分（）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，则整理，得， 显然，左边为整数，所以式不成立故满足条件的正整数不存在9分（），不等式可转化为设，则 .所以，即当增大时，也增大要使不等式对于任意的恒成立，只需即可因为，所以，即.所以，正整数的最大值为8 14分8.（宣武二模18）设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有 (I) 求，的值； (II) 求数列的通项公式； （III）令，（），求数列的前 项和解：(I) 当时，当时，； 3分(II) ，相减得：是正数组成的数列， ，；8分（） =1+ =1+=. 13分9.（昌平二模20）设函数，数列满足(I)求数列的通项
18、公式；(II)设，若对恒成立，求实数的取值范围；(III)在数列中是否存在这样一些项：，这些项能够构成以为首项，为公比的等比数列，.若存在，写出；若不存在，说明理由解：（I）因为，所以2分因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列所以4分(II)当时，6分当时，8分所以要使对恒成立，只要使只要使，故实数的取值范围为10分(III)由，知数列中每一项都不可能是偶数如存在以为首项，公比为2或4的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列12分当时，显然不存在这样的数列当时，若存在以为首项，公比为3的数列，则，所以存在满足条件的数列，且14分10（丰台二模19）已知数
19、列的前n项和为，,等差数列中，且，又、成等比数列.（）求数列、的通项公式；（）求数列的前n项和.解：（）， ， ， 2分 而，数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 4分， 在等差数列中，。又因、成等比数列，设等差数列的公差为d，（） 6分解得d=-10,或d=2, ，舍去d=-10，取d=2， b1=3, bn=2n+1， 8分（）由（）知 10分 -得12分 ， 14分七、不等式（必修五）1.（崇文二模1）“关于的不等式的解集为”是“”( A )（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件2.（西城二模3）若，则下列不等式中正确的是（ C ）AB
20、 C D八、极坐标、参数方程（选修4-4） 第一部分 极坐标1（丰台二模3）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（ D ）A（） B（） C（） D（）2.（崇文二模12）若直线的参数方程为（为参数），则直线的斜率为 ； 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为_，3（海淀二模9）在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则 . 14.（宣武二模14）以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题：与曲线无公共点；极坐标为 (，)的点所对应的复数是-3+3i；圆的圆心到直线的
21、距离是； 与曲线相交于点,则点坐标是.其中假命题的序号是 . 5.（昌平二模9）圆的圆心的直角坐标是_;若此圆与直线相交于点则 . （0，-2）； 第二部分 参数方程1.（东城二模12）在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线 （为参数），则直线与圆相交所得的弦长等于 2.（崇文二模12）若直线的参数方程为（为参数），则直线的斜率为 ； 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为_，3.（西城二模12）圆（为参数）的半径为_, 若圆与直线相切，则_ _. ，或4.（朝阳二模10）已知圆（为参数），直线，则圆心到直线的距离为 . 九、常用逻辑用语（选修2-1）1.（东城二模9）命题“”的否
22、定是 ， 2.（西城二模2）“”是“”的（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.（宣武二模5）已知命题(1) ，使成立；(2) ，使 成立；(3) ，有成立； (4)若是的内角，则“”的充要条件是“”其中正确命题的个数是（ B ） A1 B2 C3 D43.（昌平二模3）已知命,，下列结论正确的是( A ) A命题“”是真命题 B.命题“（”是真命题 C.命题“”是真命题 D.命题“”是真命题4（丰台二模4）设p、q是简单命题，则为假是为假的（ B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件十、平面向量（必修四）1.（东城
23、二模2）对于非零向量，“”是“”的（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2.（崇文二模6）若非零向量满足，则( C )(A) (B) （C） （D）3.（朝阳二模2）已知向量，如果与垂直，那么实数的值为（ D ）（A） （B） （C） （D）4（丰台二模2）已知向量（1，），（，1），若与的夹角为，则实数的值为( C )A B C D 5.（西城二模13）设为单位向量，的夹角为，则的最大值为_. 6（海淀二模11）已知向量a=，b=，若，则 ； . 2 ；7.（昌平二模10）已知平面向量，且 . 2十一、线性规划、直线与圆的方程（必修二） 第一部分 线
24、性规划1（东城二模5）已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（ A ） A. B. C. D. 2（海淀二模5）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为( A ) A1 B C1或 D03.（朝阳二模9）不等式组所表示的平面区域的面积等于 . 4 第二部分 直线与圆的方程1.（崇文二模8）已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于( A )（A） （B） （C） （D）2（海淀二模8）已知动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，若直线与圆C有公共点，则圆C的面积( A ) A有最大值为 B有最小值为 C有最大值为 D有最小值为3（
25、丰台二模2）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（ B ） A相切 B直线过圆心 C直线不过圆心但与圆相交 D相离十二、圆锥曲线（选修2-1）1（东城二模7）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点 是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A. B. C. D. 2.（西城二模8）如图，在等腰梯形中，且. 设，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则（ B ）A随着角度的增大，增大，为定值B随着角度的增大，减小，为定值 C随着角度的增大，增大，也增大D随着角度的增大，减小，也减小3.（朝阳二模7）已知
26、椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的一个焦点. 若，则该椭圆的离心率为（ B ） （A） （B） （C） （D）4.（宣武二模8）如图抛物线： 和圆: ，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为（ A ）ABCDABDC5.（崇文二模5）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为( B )（A）3 （B） （C） （D）6.（昌平二模11）若抛物线 上一点M到该抛物线的焦点F的距离，则点M到x轴的距离为 。47（丰台二模11）椭圆的焦点为,过F2垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么|PF1|的值是 。 8（东城二模18）已知抛物
27、线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为 （）求抛物线的标准方程；（）求的值；（）求证：是和的等比中项（）解：由题意可设抛物线的方程为因为点在抛物线上，所以又点到抛物线准线的距离是，所以，可得所以抛物线的标准方程为3分（）解：点为抛物线的焦点，则依题意可知直线不与轴垂直，所以设直线的方程为 由 得因为过焦点，所以判别式大于零设，则，6分由于，所以切线的方程为， 切线的方程为 由，得8分则所以10分（）证明：由抛物线的定义知 ，则所以即是和的等比中项13分9.（西城二模19）如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与
28、轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点，.（）若，求直线的方程；（）设直线的斜率分别为，若，求的值.ADCBxOylEF解：（）设，由得， ， 2分由已知，又，所以 4分所以，即， 5分所以，解得， 6分符合题意， 所以，所求直线的方程为或.7分（），所以， 8分平方得， 9分又，所以，同理，代入上式，计算得，即，12分所以，解得或， 13分因为，所以异号，故舍去，所以. 14分10（海淀二模19）已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.（）写出抛物线的标准方程；（）若，求直线的方程；（）若坐标原点关于直线的对称点在
29、抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.解：（）由题意，抛物线的方程为：，2分（）设直线的方程为：.联立，消去，得 ，3分显然，设，则 4分又，所以 5分由 消去，得， 故直线的方程为或 .6分（）设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得，8分将其代入抛物线方程，得：，所以，. 9分联立 ，消去，得：. 10分由，得，即，12分将，代入上式并化简，得，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为. 13分11.（朝阳二模19）已知动点到点的距离，等于它到直线的距离（）求点的轨迹的方程；（）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一
30、个定点；（）在（）的条件下，求面积的最小值解：（）设动点的坐标为，由题意得，化简得，所以点的轨迹的方程为4分（）设两点坐标分别为，则点的坐标为由题意可设直线的方程为 ，由得. 因为直线与曲线于两点，所以， 所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点综上所述，直线恒过定点10分（）可求的，所以面积.当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为 13分12.（崇文二模19）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为 （）（）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； （）若椭圆
31、上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；（）设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值解：（）（） 圆过椭圆的焦点，圆：， ， ， ， （）由及圆的性质，可得， ， 6分（）设，则 整理得 方程为：，方程为：， ,直线方程为 ，即 令，得，令，得， 为定值，定值是 14分13.（宣武二模20）已知，动点到定点的距离比到定直线的距离小.（I）求动点的轨迹的方程；（）设是轨迹上异于原点的两个不同点，,求面积的最小值；（）在轨迹上是否存在两点关于直线对称？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由.解：（）动点到定点与到定直线的距离相等 点的轨迹为抛物线，轨迹的方程为：. 4分（）设 =当且仅当时取等
32、号，面积最小值为. 9分（）设关于直线对称，且中点 在轨迹上 两式相减得：在上，点在抛物线外在轨迹上不存在两点关于直线对称. 14分14.（昌平二模19）已知椭圆C:的长轴长为，离心率. （I）求椭圆C的标准方程； （II）若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），且OBE与OBF的面积之比为，求直线的方程.解：（I）椭圆C的方程为，由已知得 .3分 解得所求椭圆的方程为 5分(II)由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 ，将代入，整理得，由得.7分设，则 8分由已知， ， 则 由此可知，即.9分代入得，消去得解得，满足即.12分所以，所求直线的方
33、程为.13分15(丰台二模20)已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于x轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点（）求证：，三点的横坐标成等差数列；（）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值解：（）由已知，得，显然直线的斜率存在且不得0，则可设直线的方程为（）， 由消去，得，显然.所以，. 2分由，得，所以，所以，直线的斜率为，所以，直线的方程为，又，所以，直线的方程为 。4分同理，直线的方程为 。5分-并据得点M的横坐标，即，三点的横坐标成等差数列。7分（）由易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）()。所以，则直线MF的方程为， 8分设C(x3,y3),D(x4,y4)由消去，得，显然，所以，。 9分又。10分。11分因为，所以 ， 所以，当且仅当时，四边形面积的取到最小值。13分十三、排列、组合及二项式定理（选修2
