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1、上海市普陀区2012届高三第二学期4月质量调研数学试卷（文科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分.1设函数的反函数为，则_.2设集合，集合，则_.3方程的解是_.4若复数满足（其中是虚数单位），则_.5抛物线的准线方程是_.6.若变量满足条件，则的最大值为_.7在二项式的展开式中，的系数为，则的值是_.8.角的终边经过直线与曲线的交点，则_.9行列式的值在上恒小于，则实数的取值范围是_.10 在中，且与的夹角为，则边上的中线的长
2、为_.第12题图11.在北纬圈上有两点，若该纬度圈上两点间的劣弧长为为地球的半径，则两点间的球面距离是 .12.如图，已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交双曲线的左支于点.若直线直线，则的值为_.13.点是函数图像上任意一点，点，则两点之间距离的最小值是_.14由个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是，则可能成为样本数据中的最大整数是_.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题选对得5分.15“”是“函数在上是增函数”的 （ )A.充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 ； D.
3、非充分非必要条件.16下列命题中，正确的是 （ ）A. 若，则或； B. 若，则或；C. 若，则或 ； D. 若、都是非零向量，则.17已知函数满足对恒成立，则 （ ）A. 函数一定是偶函数 ； B. 函数一定是偶函数；C函数一定是奇函数； D. 函数一定是奇函数.18某银行有一自动取款机，在某时刻恰有N个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为 （ ） A. ； B. ； C ； D. .三、解答题（本大题满分74分）第19题图19（本题满分12分） 已知一个几何体的主视图和左视图均如图1，俯视图如图2，试描述该几何体的形状，并求
4、出该几何体的体积.20（本题满分12分，其中第一小题6分，第二小题6分） 已知向量和向量，且.（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）已知的三个内角分别为，若有，求的长度.21（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分） 由等式是虚数单位成立的所有正整数，按从小到大顺序排列所形成的数列记为，是数列的前项和，且数列满足关系：N.（1）试求数列和的通项公式；（2）若甲数列的每一项都是乙数列的项，且乙数列中至少有一项不是甲数列的项，则称甲数列是乙数列的真子数列.试证明：数列是数列的真子数列.22.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分） 以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆
5、称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆”的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，试求直线交“准圆”所得的弦长；（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于两点，试问弦是否为“准圆”的直径？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.23（本题满分18分，其中第一小题5分，第二小题6分，第三小题7分）输入开始输出结束第23题图是否 已知数列是仅从这三个整数中取值所得到的数列，为常数，经过右框图中的程序处理，输出和. （1）若输入及一个确定的值，且输出的和分别满足，.试求总体的标准差； （
6、2）若输入，且输出的和分别满足，.试求满足条件的数列的个数； （3）已知数列中恰有项的值为，且输出的的值为，若对于任意的都有恒成立，试求数列的项数的最小值. 2011学年第二学期高三数学质量调研参考答案 （PT） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（文）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）（文）；（12）（文）；（13）；（14）.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题选对得5分.15161718ACAD三、解答题（本大题满分74分）19（文）该几何体的上部是一个底面对角线和侧棱长均为的正四
7、棱锥，下部是一个底面直径和母线长均为的圆柱。 因而该几何体的体积为：.（方法二）：以为坐标原点、以分别为轴、轴、轴正向，如图3，建立空间直角坐标系。由底面于，斜交底面于，则就是侧棱与底面所成的角，即。设，得，；、；中点为，则、，设异面直线与所成的角为，向量与的夹角为，则， 异面直线与所成角大小为.20. （1）由条件得，得.则函数的周期为，最大值为2.（2）由得，即，由正弦定理得，又，则.21. （1）解：由，由复数相等的条件得因而数列的通项公式为由得：，即（2）即对任意的，注意到必为偶数，记，这表明对任意的，必存在，使得，则数列的每一项都是数列的项；而对于，若存在使得，则，此方程的在上无解，
8、这表明数列中至少有第三项不是数列中的项，因而数列是数列的真子数列.22（理） （文23） 由框图知 （1）由得，即总体均值为，从而总体标准差为 （2）设中取值为的分别有个，则 解得 从而数列共有个。 （3）设中取值为的分别有个，则由得 即 将 代入，得 整理得 ，此不等式对一切恒成立当时 所以，又因为 得 为偶数，则满足条件的的最小值为.故数列至少有项.22（文）解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为 .（2）依条件直线不垂直于轴，且过点，可设直线：，且与椭圆的交点，联列方程组 代入消元得： 而 由可得 由得，即 所以，则点到直线的距离为.
9、所以所求的弦长为. （3）射线与椭圆的“准圆”交于点，易知过点且与椭圆只有一个交点的直线不垂直于轴，设直线方程为，联列方程组，代入消元整理得：,因为只有一个公共点，所以，即. 直线的斜率是关于的方程的两个根，所以，得，即因为点在“准圆”上，所以为“准圆”的直径.23（理）解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为 .（2）证明：当弦轴时，交点关于轴对称，又则，可设，得，此时原点到弦的距离；当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组 代入消元得： 由可得 由得即 ， 所以此时成立，则原点到弦的距离综上得原点到弦的距离为，则，因此弦
10、的长为定值. （3） 选择 即 作四条直线围成四边形为以为顶点的“准圆”的内接矩形，记为，由椭圆性质可知：椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界).选择 即解法一：存在这样的矩形设“准圆”与坐标轴的交点分别为，顺次连结这四点得到矩形，下面证明椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。 不妨设椭圆上的点，线段上的点，则因为 所以 ，即点在点的下方。根据对称性可知，椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。解法二：存在这样的矩形过点作直线,分别与椭圆有且只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点、，延长交“准圆”于点，连接,四边形就是所求的矩形。依条件过点且与椭圆C有且只有一个公共点的直线的斜率
11、存在，设其方程为，将代入椭圆的方程消去得到，因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，所以，解得.则直线，因为点在准圆上，所以是准圆的直径，又因为也是准圆的直径，所以四边形为矩形。根据对称性可知，椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。选择射线与椭圆的“准圆”交于点，作图方法：过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点、，延长线段交“准圆”于点，连接，四边形就是所求的矩形。证明：易知过点且与椭圆只有一个交点的直线不垂直于轴，设直线方程为，联列方程组，代入消元整理得：因为只有一个公共点，所以，即. 直线的斜率是关于的方程的两个根，所以，得，即因为点在“准圆”上，所以为“准圆”的直径，得到同理，由于也是直径，故.所以四边形为矩形；因为都与椭圆只有一个公共点，根据对称性（与、与、椭圆、“准圆”都是关于原点对称），得:也都与椭圆只有一个公共点.综上所述：存在满足条件的矩形且四边形就是所求的矩形.
