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1、2013高考试题解析分类汇编（理数）14：导数与积分 一、选择题 （2013年高考湖北卷（理）已知为常数,函数有两个极值点,则（）AB CD【答案】D本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。函数有两个极值点，则有两个零点,即方程有两个根,有数形结合易知且.因为在上递增，所以，即，所以.故选D. （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知函数,下列结论中错误的是（）AR,B函数的图像是中心对称图形C若是的极小值点,则在区间上单调递减D若是的极值点,则【答案】C若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数
2、的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-, ）单调递减是错误的，D正确。选C. （2013年高考江西卷（理）若则的大小关系为（）AB CD【答案】B，本题考查微积分基本定理。,，。所以，选B. （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）设函数（）A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【答案】D由已知，。在已知中令，并将代入，得；因为，两边乘以后令。求导并将（1）式代入，显然时，减；时，增；并且由（2）式知，所以为的最小值，即，所以，在时得（仅在x=2时，f（x）的导数为零），所以为增函数
3、，故没有极大值也没有极小值。 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（）AB是的极小值点 C是的极小值点D是的极小值点 【答案】DA，错误是的极大值点，并不是最大值点B是的极小值点错误相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点C是的极小值点错误相当于关于x轴的对称图像，故应是的极小值点跟没有关系D是的极小值点正确相当于先关于y轴的对象，再关于x轴的对称图像故D正确 （2013年高考湖北卷（理）一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离
4、(单位;)是（）ABCD 【答案】C本题考查微积分的基本应用。由v(t)=7-3t+=0，解得，所以所求的路程为，选C. （2013年高考北京卷（理）直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）AB2CD【答案】C 抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），因为直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，所以直线l的方程为y=1，由 ，可得交点的横坐标分别为2，2所以直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x）|=故选C （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）已知为自然对数的底数,设函数,则（）A当时,在处取得极小值B
5、当时,在处取得极大值 C当时,在处取得极小值D当时,在处取得极大值 【答案】C 当k=2时，函数f（x）=（ex1）（x1）2求导函数可得f（x）=ex（x1）2+2（ex1）（x1）=（x1）（xex+ex2），所以当x=1，f（x）=0，且当x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，故函数f（x）在（1，+）上是增函数；在（，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值对照选项故选C二、填空题 （2013年高考江西卷（理）设函数在内可导,且,则_【答案】2本题考查导数的基本运算如求值。令，则，所以函数为，即，所以，即。 （2013年高考湖南卷（理）若_.【答案】3本题考查积分的基本运
6、算。,即，解得.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）若曲线在点处的切线平行于轴,则_.【答案】 求导得,依题意,所以.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）当时,有如下表达式:两边同时积分得:从而得到如下等式: 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:【答案】 由两边同时积分得：从而得到如下等式：（2013年高考新课标1（理）若函数=的图像关于直线对称,则的最大值是_.【答案】16. 因为函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，所以将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x2）的图象
7、关于x=0对称，可得f（x2）=1（x2）2（x2）2+a（x2）+b是偶函数设g（x）=f（x2）=x4+（8a）x3+（12ab23）x2+（2811a+4b）x+8a4b因为g（x）=g（x），所以，解之得因此，f（x）=（1x2）（x2+8x+15）=x48x314x2+8x+15求导数，得f（x）=4x324x228x+8令f（x）=0，得x1=2，x2=2，x3=2+当x（，2）时，f（x）0；当x（2，2）时，f（x）0； 当x（2，2+）时，f（x）0； 当x（2+，+）时，f（x）0所以f（x）在区间（，2）、（2，2+）上是增函数，在区间（2，2）、（2+，+）上是减函数又
8、因为f（2）=f（2+）=16所以f（x）的最大值为16（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）若函数在是增函数,则的取值范围是(A) (B) (C) (D)【答案】D 因为在（，+）上是增函数故0在（，+）上恒成立即a2x在（，+）上恒成立令h（x）=2x，则h（x）=2当x（，+）时，h（x）0，则h（x）为减函数所以h（x）h（）=3所以a3故选D三、解答题（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知函数.()设是的极值点,求,并讨论的单调性;()当时,证明.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（
9、理）试题（WORD版）已知函数(I)求证: (II)若恒成立,求实数取值范围.【答案】 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分16分.设函数,其中为实数.(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.卷 附加题部分答案word版选做题第21题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解:(1)由即对恒成立, 而由知1 由令则 当时时0, 在上有最小值 1 综上所述:
10、的取值范围为 (2)证明:在上是单调增函数 即对恒成立, 而当时, 分三种情况: ()当时, 0 f(x)在上为单调增函数 f(x)存在唯一零点 ()当0 f(x)在上为单调增函数 0 f(x)存在唯一零点 ()当0时,令得 当00;时,0时,0,有两个零点 实际上,对于0,由于0 且函数在上的图像不间断 函数在上有存在零点 另外,当,0,故在上单调增,在只有一个零点 下面考虑在的情况,先证时,设 ,则,再设 当1时,-20,在上是单调增函数 故当2时,0 从而在上是单调增函数,进而当时,0 即当时, 当0e时,0 且函数在上的图像不间断, 函数在上有存在零点,又当时,0故在上是单调减函数函数
11、在只有一个零点 综合()()()知:当时,的零点个数为1;当0时,的零点个数为2 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.【答案】() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. () ,令,得, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值
12、. （2013年高考江西卷（理）已知函数,为常数且.(1)证明:函数的图像关于直线对称;(2)若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;(3)对于(2)中的和, 设x3为函数f(f(x)的最大值点,A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(x3,0),记ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.【答案】(1)证明:因为,有, 所以函数的图像关于直线对称. (2)解:当时,有 所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点. 当时,有 所以有解集,又当时,故中的所有点都不是二阶周期点. 当时,有 所以有四个解,又, ,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求
13、 的取值范围为. (3)由(2)得, 因为为函数的最大值点,所以或. 当时,.求导得:, 所以当时,单调递增,当时单调递减; 当时,求导得:, 因,从而有, 所以当时单调递增. （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.【答案】 （2013年高考四川卷（理）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.()指出函数的单调区间;()若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;()若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为, 由导数的几
14、何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有. 当时,对函数求导,得. 因为,所以, 所以. 因此 当且仅当=1,即时等号成立. 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1 当或时,故. 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ,即 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ,即. 两切线重合的充要条件是 由及知,. 由得,. 设, 则. 所以是减函数. 则, 所以. 又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是. 故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是 （2013年高考湖南卷（理）已知,函数.(I)记求的表达式;(II)是否存在,使函数在区间
15、内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.解: () (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且. 不妨设 所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直. （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.解:函数的定义域为,. ()当时, , 在点处的切线方程为, 即. ()由可知: 当时,函数为上的增函数,函数无极值; 当时,由,解得; 时,时, 在
16、处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. （2013年高考新课标1（理）(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线()求,的值;()若-2时,求的取值范围.【答案】()由已知得, 而=,=,=4,=2,=2,=2; ()由()知, 设函数=(), =, 有题设可得0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,则-20,当时,0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而=0, 当-2时,0,即恒成立, (2)若,则=, 当-2时,0,在(-2,+)单调递增,而=0, 当-2时,0,即恒成
17、立, (3)若,则=0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数. () 设a 0,m 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 由, 则 h(x)在 h(x). 所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下: 当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; () 设 令. ,且 . 所以 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设函数(=2.71828是自然对数的底数,).()求的单调区间、最大值; ()讨论关于的方程根的个数.解:(), 由,解得, 当时,单调递减 所以,函数的单调递增区间是,单调递
18、减区间是, 最大值为 ()令 (1)当时,则, 所以, 因为, 所以 因此在上单调递增. (2)当时,当时,则, 所以, 因为,又 所以 所以 因此在上单调递减. 综合(1)(2)可知 当时, 当,即时,没有零点, 故关于的方程根的个数为0; 当,即时,只有一个零点, 故关于的方程根的个数为1; 当,即时, 当时,由()知 要使,只需使,即; 当时,由()知 ; 要使,只需使,即; 所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2; 综上所述: 当时,关于的方程根的个数为0; 当时,关于的方程根的个数为1; 当时,关于的方程根的个数为2. （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（
19、纯WORD版）已知,函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.解:()由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; ()由已知得到:,其中,当时, (1)当时,所以在上递减,所以,因为; (2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ; (3)当,即时, ,且,即2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以,且 所以, 所以; 由,所以 ()当时,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ,又因为,所以,所以,所以 ()当时,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 当时,所以,所以此时; 当时,所以,所以此时 综上所述:. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版
20、数学（理）WORD版含答案（已校对）已知函数(I)若时,求的最小值;(II)设数列 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知函数. () 求函数f(x)的单调区间; () 证明: 对任意的t0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有. （2013年高考北京卷（理）设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解: (I)设,则.所以.所以L的方程为. (II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于. 满足,且. 当时,所以,故单调递减; 当时,所以,故单调递增. 所以,(). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解:即变形为,记,则, 所以当时,在(0,1)上单调递减; 当时,在(1,+)上单调递增. 所以.)
