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1、2013高考数学一轮复习单元练习-空间向量与立体几何I 卷一、选择题1点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0,0，2)B(0,0，3)C(0,0，) D(0,0，1)【答案】B2在空间四边形ABCD中，若，则等于 ( ）ABCD【答案】D3四棱柱中，AC与BD的交点为点M，设，则下列与相等的向量是 ( ）AB CD【答案】4在三棱柱中，设M、N分别为的中点，则等于 ( ）ABCD【答案】B5平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成角的余弦值是()A BC D【答案】C6 空间任意四个点A、B、C、D，
2、则等于 ( ）ABCD【答案】C7以下命题中，不正确的命题个数为() 已知A、B、C、D是空间任意四点，则ABCD0若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若Oxyz(其中x，y，zR)，则P、A、B、C四点共面A0B1C2D3【答案】B8已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4,0,3)B(3,1,3)C(1,2,3)D(2,1,3)【答案】B9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方
3、体内一动点(包括表面)，若xyz，且0xyz1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A1B C D【答案】D10在90的二面角的棱上有A、B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，BD4，则CD()A5 B5 C6D7【答案】A11如图ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是()A BC D【答案】A12如图所示，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A BC D【答案】CII卷二、填空题13 设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a46i4
4、j5k，其中i，j，k是空间向量的一组基底，试用a1，a2，a3表示出a4，则a4_.【答案】a12a2a314平面经过点A(0,0,2)且一个法向量n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_【答案】(2,0,0)15在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_【答案】6016已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_【答案】三、解答题17如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值【答案】如图
5、，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线OA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ。(2)依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，即即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n故二面角QBPC的余弦值为18如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，ABC120，E为线段AB的中点
6、，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点.(）求证：BF平面ADE;(）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值.【答案】()取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FGCD，FG=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形.所以BF平面ADE.()在平行四边形ABCD中，因为AB2BC，ABC=120，设BC=4，作MGAB于G，则.如图所示建立空间直角坐标系Mxyz，则，所以.设平面ADE的法向量为，由得，所以.设直线FM与平面ADE所成角为，则.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.1
7、9如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.(）求证：平面； (）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【答案】（）四边形ABCD是正方形，ACBD.，PDAC.AC平面PDB.平面.(）设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角.O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，.又，OE底面ABCD，OEAO.在RtAOE中，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设则，(），.ACDP，ACBD，AC平面PDB.平面.(）当且E为PB的中点时，设，则，连结OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO
8、为AE与平面PDB所成的角.，即AE与平面PDB所成的角的大小为.20已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC4，AA14，点M是棱D1C1的中点求直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)于是，M(0,1,4).(0,1,4)，(4,0,4)，(0,2,4)设平面DA1M的法向量为n(x，y，z)，则，即取z1，得x1，y4.所以平面DA1M的一个法向量为n(1,4，1)设直线AB1
9、与平面DA1M所成角为，则sin ，所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为21如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABCD，ADCD，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明：SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小【答案】方法一(1)证明如图所示，连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DGGCBG1，即DBC为直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD，所以BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K为垂足因为平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE，即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，所以DE平面SBC，
10、所以DEEC，DESB.又DB，SB，DE，EB，SESBEB，所以SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知 AE1.又AD1.故ADE为等腰三角形取ED中点F，连结AF，则AFDE，AF连结FG，则FGEC，FGDE.所以AFG是二面角ADEC的平面角连结AG，AG，FGcosAFG所以二面角ADEC的大小为120.方法二(1)证明以D为坐标原点，线段DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的直角坐标系Dxyz，设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)S(0,2，2)，B(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a，b，c
11、)，由nS，nB，得nS0，nB0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设S(0)，则E，D，D(0,2,0)设平面CDE的法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面DEC平面SBC，得mn所以mn0,20，2.故SE2EB.(2)解由(1)知，取DE中点F，则F，故0，由此得FADE.又，故0，由此得ECDE，向量F与E的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cosF，E，所以二面角ADEC的大小为120.22如图142，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知B
12、A1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求二面角AA1BC的余弦值图142【答案】 (1)如图，设A1Dt(t0)，取AB的中点E，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由10，知AC1CB，又BA1AC1，BA1CBB，所以AC1平面A1BC.(2)由3t20，得t设平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，(0,1，)，(2,2,0)，所以设z1，则n(，1)再设平面A1BC的法向量为m(u，v，w)，(0，1，)，(2,0,0)，所以设w1，则m(0，1)故cosm，n因为二面角AA1BC为锐角，所以可知二面角AA1BC的余弦值为
