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1、热点难点突破之一、集合的创新考查面面观以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力1创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题典例1若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A1B3 C7 D31解析具有伙伴关系的元素组是1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个
2、：1，.答案B题后悟道该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决2创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的典例2设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log2x1，Qx|x2|1，那么PQ()Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|1x2 Dx|2x3解析由log2x1，得0x2，所以Px|0x2；由|x2|1，得1x3，所以Qx|1x3由题意，得PQx|0x1答案B题后悟道解决创新集合新运算问题常分为三
3、步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点3创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题典例3对于复数a，b，c，d，若集合Sa，b，c，d具有性质“对任意x，yS，必有xyS”，则当时，bcd等于()A1 B1 C0 Di解析Sa，b，c，d，由集合中元素的互异性可知当a1时，b1，c21，ci，由“对任意x，yS，必有xyS”知iS，ci，di
4、或ci，di，bcd(1)01.答案B题后悟道此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素热点难点突破系列之二、多法并举 求函数值域不犯难函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的作用求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等1数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为
5、我们熟悉的模型是解答此类问题的关键典例1对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的值域是_解析f(x)由图象知函数的值域为.答案题后悟道利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：(1)直线的斜率：可看作点(x，y)与(0,0)连线的斜率；可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(2)两点间的距离： 可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离针对训练1函数y的值域为_解析：函数yf(x)的几何意义为：平面内一点P(x,0)到两点A(3,4)和B(5,2)距离之和由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B(5，2)连接AB交x轴于一点P即
6、为所求的点，最小值y|AB|10.即函数的值域为10，)答案：10，)2判别式法对于形如y(a1，a2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程，由判别式0，求得y的取值范围，即为原函数的值域典例2函数y的值域为_解析法一：(配方法)y1，又x2x12，0，y1.函数的值域为.法二：(判别式法)由y，xR，得(y1)x2(1y)xy0.y1时，x，y1.又xR，(1y)24y(y1)0，y1.函数的值域为.答案题后悟道本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，若xR，则0，从而确定函数的最
7、值；再检验a(y)0时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)0时y的值的取舍针对训练2已知函数y的最大值为7，最小值为1，则mn的值为()A1B4 C6 D7解析：选C函数式可变形为(ym)x24x(yn)0，xR，由已知得ym0，所以(4)24(ym)(yn)0，即y2(mn)y(mn12)0，由题意，知不等式的解集为1,7，则1、7是方程y2(mn)y(mn12)0的两根，代入得，解得或所以mn6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)热点难点突破系列之
8、三、攻克抽象函数的五类问题抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律1抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解典例1已知函数yf(x)的定义域是0,8，则函数g(x)的定义域为_解析要使函数有意义，需使即则1x0，函数f(x)单调递增；当x(1,3)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的极小值为f(3)24，极大值为f(1)8；而f(2)1，f(5)8，函
9、数图象大致如图所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点，只需函数f(x)在2,5内的函数图象与直线ym有3个交点故即m1,8)答案D题后悟道解决此类问题主要依据函数图象的特征，利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响如该题中f(2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x)f(x)m在x2,5上的零点个数，若m8或24m8或m0)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，则的值为_解析由题意，得，即函数f(x)的周期为，则2.答案2题后悟道解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f(x)在(kZ)上单调递增”
10、与“函数f(x)的单调递增区间为(kZ)”，二者是不相同的针对训练1(2012荆州模拟)若函数y2cos x在区间上递减，且有最小值1，则的值可以是()A2B. C3 D.解析：选B由y2cos x在上是递减的，且有最小值为1，则有f1，即2cos1，即cos，检验各选项，得出B项符合2根据三角函数的奇偶性求解参数典例2已知f(x)cossin(x)为偶函数，则可以取的一个值为()A. B. C D解析f(x)22cos2cos，由f(x)为偶函数，知k(kZ)，即k(kZ)，由所给选项知只有D适合答案D题后悟道注意根据三角函数的奇偶性求解参数：函数yAcos(x)B(A0)为奇函数k(kZ)
11、且B0，若其为偶函数k(kZ)针对训练2使f(x)sin(2xy)cos(2xy)为奇函数，且在上是减函数的y的一个值是()A. B. C. D.解析：选Df(x)sin(2xy)cos(2xy)2sin为奇函数，f(0)0，即sin ycos y0，tan y，故排除A、C；又函数f(x)在上是减函数，只有D选项满足3根据三角函数的周期性求解参数三角函数的参数问题，还可利用三角函数的周期，最值求解如本节以题试法3(2)就是利用周期求参数a，解题时要注意x的系数是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时需加绝对值热点难点突破系列之六、合理转化 将三角函数最值问题化难为易解决这一类问题的基本途
12、径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略. 1配方转化策略对能够化为形如yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的三角函数最值问题，可看作是sin x或cos x的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决典例1求函数y5sin xcos 2x的最值解y5sinx2sin2x5sin x122.1sin x1，当sin x1，即x2k，kZ时，ymin26；当sin x1，即x2k，kZ时，ymax24.题
13、后悟道这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x或cos x的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是1,12有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如yAsin(x)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值这是解决三角函数最值问题常用的策略之一典例2(2012重庆高考改编)设函数f(x)4cossin xcos(2x)，其中0.求函数yf(x)的最值解f(x)4sin xcos 2x2sin xcos x2sin2xcos2xsin2xsin 2x1，因为1sin 2
14、x1，所以函数yf(x)的最大值为1，最小值为1.题后悟道求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值3单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略对于三角函数来说，常常是先化为yAsin(x)k的形式，再利用三角函数的单调性求解典例3函数f(x)sin在上的最大值为_，最小值为_解析由x，得x.因为f(x)sin在上是减函数，在上是增函数，且f()f，所以当x时，f(x)有最小值为sin.当x时，f(x)有最大值2.答案2题后悟道这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于
15、函数的单调性，确定所求三角函数的最值4数形结合转化策略对于形如y的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将y视为定点(a，b)与单位圆上的点(cos x，sin x)连线的斜率来解决典例4求函数y(0x)的最小值解将表达式改写成y，y可看成连接点A(2,0)与点P(cos x，sin x)的直线的斜率由于点(cos x，sin x)的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小设过点A的直线与半圆相切于点B，则kABy1时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n1个等式中等号两
16、端分别相乘，整理得an.综上可知，an的通项公式an.题后悟道对形如an1anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出与n的关系式3构造新数列典例3已知数列an满足a11，an13an2；则an_.解析an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.答案23n11题后悟道对于形如“an1AanB(A0且A1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联
17、系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人热点难点突破系列之八、由题定法 揭开数列中探索性问题的面纱探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求这类问题不仅考查考生的探索能力，而且给考生提供了创新思维的空间，所以备受高考的青睐，是高考重点考查的内容探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等典例已知数列an的首项a1，an1，nN*.(1)求证：数列
18、为等比数列；(2)记Sn，若Sn100，求最大正整数n；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am1，as1，an1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由解(1)证明：因为，所以1.又因为10，所以10(nN*)，所以数列为等比数列(2)由(1)，可得1n1，所以2n1.Snn2n2n1，若Sn100，则n1100，所以最大正整数n的值为99.(3)假设存在，则mn2s，(am1)(an1)(as1)2，因为an，所以2.化简，得3m3n23s.因为3m3n223s，当且仅当mn时等号成立又m，s，n互不相等，所以3m3n23s不成立，所以不存在
19、满足条件的m，n，s.题后悟道本题属于存在探索性问题，处理这种问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用解决数列探索性问题基本方法：(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知条件入手，执果索因，导出所需的条件(2)对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调
20、性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法(3)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论针对训练已知数列an中，a11，且点P(an，an1)(nN*)在直线xy10上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Sn表示数列bn的前n项和，试问：是否存在关于n的关系式g(n)，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由解：(1)由点P(an，an1)在直线xy10上，即an1an1，且a11，即数列an是以1为首项，1为公差的等差数列则an1(
21、n1)1n(nN*)(2)假设存在满足条件的g(n)，由bn，可得Sn1，SnSn1(n2)，nSn(n1)Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21，2S2S1S11.以上(n1)个等式等号两端分别相加得nSnS1S1S2S3Sn1n1，即S1S2S3Sn1nSnnn(Sn1)，n2.令g(n)n，故存在关于n的关系式g(n)n，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立热点难点突破系列之九、研透两种题型，突破含参变量的线性规划问题含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧，增加了解题的难度参变量的设置形式通常有以下
22、两种：(1)条件不等式组中含有参变量；(2)目标函数中设置参变量典例1(2012福建高考)若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A1B1 C. D2解析可行域如图阴影所示，由得交点A(1,2)，当直线xm经过点A(1,2)时，m取到最大值为1.答案B题后悟道由于条件不等式中含有变量，增加了解题时画图的难度，从而无法确定可行域，要正确求解这类问题，需有全局观念，结合目标函数逆向分析题意整体把握解题的方向，是解决这类题的关键针对训练1(2012“江南十校”联考)已知x，y满足记目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为()A1，4 B1，3 C2，1 D
23、1，2解析：选D由题意知，直线xbyc0经过直线2xy7和直线xy4的交点，经过直线2xy1和直线x1的交点，即经过点(3,1)和点(1，1)，所以解得b1，c2.典例2(2012深圳调研)已知变量x，y满足约束条件若目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围为()A(3,5) B. C(1,2) D.解析如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线yax0，要使目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值(即直线zyax仅当经过该平面区域内的点(3,0)时，相应直线在y轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a.答案B题后悟道此类问题旨在增加探索问题的动态性
24、和开放性解决此类问题一般从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法针对训练2(2012温州适应性测试)已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为()A2 B1 C0 D1解析：选B依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.热点难点突破系列之十、类比推理三法宝 观察分析比较类比是数学中发现概念、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域、创造新分支的重要手段，类比在数学中应用广泛，数与式、平
25、面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的典例(2012陕西师大附中模拟)若数列an是等差数列，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdn Ddn待添加的隐藏文字内容2解析若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列答案D题后悟道1.解决此类问题的方法是从我们已经掌握的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，以旧的知识作基础，推测新
26、的结果，具有发现的功能进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征2类比推理是由特殊到特殊的推理，在类比时要善于观察、分析、比较，又敢于联想，从而提高解题能力针对训练(2012长春市调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)AB C D解析：选B经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，又S
27、(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选B.热点难点突破系列之十一、补形法破解体积问题某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.1对称补形典例1(2012湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3C. D6解析 由三视图
28、可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V1243.答案B题后悟道“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助2联系补形(2012辽宁高考)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析由PA底面ABCD，且ABCD为正方形，故可补形为长方体如图，知球心O为PC的中点，又PA2，ABBC2，AC2，PC4，OAOB2，即AOB为正三角形，S3.答案3题后悟道三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于
29、底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求热点难点突破系列之十二、解答立体几何中探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.典例(理)(2012福建高考改编)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由解如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由解(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，所以DE平面BCP.(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形
