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1、2016年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集U=R，M=x|x1，P=x|x2，则U（MP）=（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1或x22数列an的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（）A5B6C7D83若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A3B2C1D14在ABC中，cosA=，cosB=，则sin（AB）=（）ABCD5在（x+a）5（其中a0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A2B1C1D26函数f（x）=lnxx+1的零点个数是（）A1B2C3D47如图，
2、在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A6，4+4B4，8C4，8D6，128直线l：ax+y1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD其中，所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知=1i，其中i为虚数单位，aR，则a=10某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动
3、时间在610小时内的人数为11如图，A，B，C是O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E若BAC=80，则BED=12若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by1=0的距离的取值范围是13已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinx的图象上，则正数的最小值为14正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以PQR为底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=三、解答题（共6小题，满分80分）15已知函数
4、f（x）=2sinxcos2x（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值16某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周 第二周第三周 第四周第五周 A型数量（台） 11 10 15 A4 A5 B型数量（台） 10 12 13 B4 B5 C型数量（台） 158 12C4 C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= x1）2+（x）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据
5、销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望17如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2将AED和BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点（1）求证：GH平面DEM；（2）求证：EMCN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小18已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ea在a，+）上有解，求实数a的取值范围；（3）
6、若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围（只需直接写出结果）19已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1x2）是曲线y2=4x（y0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2（）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（）记OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：20已知集合n=X|X=（x1，x2，xi，xn），xi0，1，i=1，2，n，其中n3X=x1，x2，xi，xnn，称xi为X的第i个坐标分量若Sn，且满足如下两条性质：S中元素个数不少于4个；X，Y，ZS，存在m1，2，n，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；
7、则称S为n的一个好子集（1）S=X，Y，Z，W为3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n1；（3）若S为n的一个好子集，且S中恰有2n1个元素，求证：一定存在唯一一个k1，2，n，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是12016年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集U=R，M=x|x1，P=x|x2，则U（MP）=（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1或x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出MP，从而求出其补集即可【解答】
8、解：M=x|x1，P=x|x2，MP=x|x1或x2，U（MP）=x|1x2，故选：A2数列an的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（）A5B6C7D8【考点】数列递推式【分析】由题意可得an+1=an，分别代值计算即可【解答】解：数列an的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，an+1=an，a2=a1=22=4，a3=a2=4=6，故选：B3若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A3B2C1D1【考点】参数方程化成普通方程【分析】由题意可得：，解得a即可得出【解答】解：，解得a=1故选：D4在ABC中，cosA=，cosB=，则sin（AB）=
9、（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可【解答】解：0A，0B，cosA=，cosB=，sinA=，sinB=，sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=故选：B5在（x+a）5（其中a0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A2B1C1D2【考点】二项式系数的性质【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a0）的展开式中通项Tk+1=x5kak，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论【解答】解：在（x+a）5（其中a0）的展开式中，通项Tk+
10、1=x5kak，x2的系数与x3的系数相同，a3=a2，又a0，a=1，故选：C6函数f（x）=lnxx+1的零点个数是（）A1B2C3D4【考点】函数零点的判定定理【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数【解答】解：f（x）=1=，当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=01+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1故选：A7如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A6，4+4B4，8C4，8D6，12【考点】平面向量数量积的运算【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建
11、立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且2x0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在2，0上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；直线AD方程为：；设，（2x0）；，；=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；2x0；4816（x+1）2+4864；即；的范围为故选：C8直线l：ax+y1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1
12、的交点为C，D，给出下面三个结论：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】当a1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论正确；当a1时，反证法可得结论错误；由三角形的面积公式可得SCOD=sinAOC，可得结论正确【解答】解：当a1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，SAOB=a=，故结论正确；当a1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+ya=0，圆心O到l的距离d=，故|CD|2=4（1d2）=41（a2+），假设|AB|CD|，则|AB|2|CD
13、|2，即a2+4（1），整理可得（a2+）24（a2+）+40，即（a2+2）20，显然矛盾，故结论错误；SCOD=|OA|OC|sinAOC=sinAOC，故a1，使得SCOD，结论正确故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知=1i，其中i为虚数单位，aR，则a=1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可【解答】解：=1i，a+i=a=i=i=1故答案为：110某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在610小时
14、内的人数为58【考点】频率分布直方图【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在610小时外的频率；利用频率和为1，求出在610小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在610小时内的同学的人数【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）2=1，a+b=0.29，参加实践活动时间在610小时内的频率为0.292=0.58，这100名学生中参加实践活动时间在610小时内的人数为1000.58=58故答案为：5811如图，A，B，C是O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E若BAC=80，则BED=
15、60【考点】与圆有关的比例线段【分析】由弦切角定理可得EBC=A，再由圆的圆周角定理，可得BCE=A，在BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得EBC=A=80，由D是劣弧的中点，可得BCE=A=40，在BCE中，BEC=180EBCBCE=1808040=60故答案为：6012若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by1=0的距离的取值范围是，1【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by1=0的距离为，结合的几何意义得答案【解答】解：由约束条件作出可行域
16、如图，原点O到直线ax+by1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，原点O到直线ax+by1=0的距离的取值范围是，1故答案为：，113已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinx的图象上，则正数的最小值为4【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数的最小值，从而得出结论【解答】解：若只有A、B两点在函数f（x）=sinx的图象上，则有sin（）=，sin（）=1，sin0，则，即，求得无解若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（x）的图象上，则有sin（）=，
17、sin（）=0，sin（）1，故有，即，求得的最小值为4若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinx的图象上，则有sin，sin=1，sin=0，故有，即，求得的最小正值为10，综上可得，的最小正值为4，故答案为：414正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以PQR为底面作正三棱柱若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半【解答】解：
18、连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG由中位线定理可得PEA1C，QFA1C，RGA1C又A1C平面PQR，三棱柱PQREFG是正三棱柱三棱柱的高h=PE=A1C=故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）15已知函数f（x）=2sinxcos2x（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可（2）将f（x）化简，由此得到最大值【解答】解：（1）f（）=，f（）=，f（）f（），（2）f（x）=2sinxcos2x=2sinx1+2sin2x
19、，=2（sinx）2，函数f（x）的最大值为316某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周 第二周第三周 第四周第五周 A型数量（台） 11 10 15 A4 A5 B型数量（台） 10 12 13 B4 B5 C型数量（台） 158 12C4 C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= x1）2+（x）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随
20、机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望【考点】极差、方差与标准差【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= 2（c4）+，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量 的可能取值为 0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=101515812=15，又S2= （1510）2+（810）2+（1210）2+（c410）2+（c510）2，化简得到S2= 2（c4）+，因为c4N，
21、所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量 的可能取值为 0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=+=，P（X=2）=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0+1+2=17如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2将AED和BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点（1）求证：GH平面DEM；（2）求证：EMCN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直
22、线与平面平行的判定【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GHEN，于是GH平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EMCN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos|，从而得出所求线面角的大小【解答】证明：（1）连结NG，EN，N，G分别是MD，MC的中点，NGCD，NG=CDH是EF的中点，EFCD，EF=CD，EHCD，EH=CD，NGEH，NG=EH，四边形ENGH是平行四边形，GHEN，又GH平面DEM，EN平面DEM，GH平面DEM（2）
23、ME=EF=MF，MEF是等边三角形，MHEF，取CD的中点P，连结PH，则PHDE，DEME，DEEF，MEEF=E，DE平面MEF，PH平面MEF以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，1）=（，1，0），=（，1）=+1+01=0EMNC（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，1），=（，1），=（0，0，2），=（，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即令y=1得=（，1，0），cos=直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，直线GH与平面NFC所成角为18已知函数f（x）=ex
24、（x2+ax+a）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ea在a，+）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）当a=1时，f（x）=ex（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ea在a，+）上有解，即x2+ax+aeax，在a，+）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=eax，研究两个函数的在a，+）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得
25、a的范围；（3）由f（x）的导数f（x）=ex（x+2）（x+a），当a2时，函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex（x2+x+1），则f（x）=ex（x2+3x+2），令f（x）0得x1或x2；令f（x）0得2x1函数f（x）的单调增区间（，2）与（1，+），单调递减区间是（2，1）；（2）f（x）ea，即ex（x2+ax+a）ea，可变为x2+ax+aeax，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=eax，当a0时，在a，+）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在a，+）上增，t（x）在a，+）上减，欲使
26、x2+ax+aeax有解，则只须r（a）t（a），即2a2+a1，解得1a，故0a；当a0时，在a，+）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在a，+）上先减后增，t（x）在a，+）上减，欲使x2+ax+aeax有解，只须r（）t（），即+ae，当a0时，+ae显然成立综上知，a即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是a|a2，aR19已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1x2）是曲线y2=4x（y0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2（）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（）记OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求
27、证：【考点】抛物线的简单性质【分析】（）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（）法一：设直线AD的方程为y=kx+mM（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围【解答】解：（）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=
28、2，则x2x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（）证法一：设直线AD的方程为y=kx+mM（0，m），则由，得k2x2+（2km4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k0，m0，所以=，因为=1616km0，所以0km1，所以证法二：设直线AD的方程为y=kx+m由，得k2x2+（2km4）x+m2=0，所以，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k0，m0，所以，因为=1616km0，所以0km1，所以20已知集合n=X|X=（x1，x2，xi，xn），xi0，1，i=1，2，n，其中n3X=x1，x2，xi，xnn，称xi为X的第i个坐标分量若Sn，且满
29、足如下两条性质：S中元素个数不少于4个；X，Y，ZS，存在m1，2，n，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为n的一个好子集（1）S=X，Y，Z，W为3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n1；（3）若S为n的一个好子集，且S中恰有2n1个元素，求证：一定存在唯一一个k1，2，n，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1【考点】命题的真假判断与应用【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为n的一个好子集，考虑元素X=（1x1，1x2，1xi，1xn），进行判断证明即可（3）根据好子集的定义
30、，证明存在性和唯一性即可得到结论【解答】解：（）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），2分（）对于X，考虑元素X=（1x1，1x2，1xi，1xn），显然Xn，X，Y，X，对于任意的i1，2，n，xi，yi，1xi不可能都为1，可得X，X不可能都在好子集S中4分又因为取定X，则X一定存在且唯一，而且XX，且由X的定义知道，X，Y，X=YX=Y6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合n中元素个数的一半，而集合n中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n1；8分（）X=x1，x2，xi，xn，Y=y1，y2，yi，ynn，定义元素X，Y的乘积为：XY=x1y1，x2y2，xiyi，xny
31、n，显然XYn，我们证明：“对任意的X=x1，x2，xi，xnS，都有XYS”假设存在X，YS，使得XYS，则由（）知，（XY）=1x1y1，1x2y2，1xiyi，1xn1yn1，1xnynS，此时，对于任意的k1，2，n，xk，yk，1xkyk不可能同时为1，矛盾，所以XSS因为S中只有2n1个元素，我们记Z=z1，z2，zi，zn为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道=z1，z2，zi，znS，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设zk=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 11分下面再证明k的唯一性：若还有zt=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n2个，矛盾所以结论成立13分2016年9月3日
