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1、上海市2014届高考数学模拟试卷(理)考生注意：1每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚；3本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）1复数的共轭复数的虚部为 2.幂函数的图象过点，则的值_3. 一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为 4.若直线平行，则_5. 己知函数f(x)则不等式的解集为 6
2、已知数列等于 7. 在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 8.已知集合的非空子集具有性质:当时,必有.则具有性质的集合的个数是 9. 在棱长为1的正方体中，四面体的体积为 10. 在中，是边的中点，则 11.设点A为圆上动点，点B（2，0），点为原点，那么的最大值为 12. 己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m个红球与10-m个白球，盒子B中有10-m个红球与m个白球(0m0且)在(，+)上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是 A B C D17. 若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为A. B C D
3、18.已知函数的周期为2,当时,如果，则函数的所有零点之和为 A2 B4C6D8三、解答题（本大题满分74分，共5小题）19.(本题满分12分）第（1）小题8分，第（2）小题4分.如图：在四棱锥中，底面是正方形，点在上，且.（1）在证明出平面后，建立空间直角坐标系求二面角的余弦值（2）证明：在线段上存在点，使平面，并求的长.20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.在一个六角形体育馆的一角 MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点(1) 若BC=a=20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若AB=AC=
4、10,在折线内选一点，使，求四边形储存区域DBAC的最大面积.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知为锐角，且，函数，数列的首项.（1）求函数的表达式； （2）求数列的前项和.22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆” 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；来源:（2）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一
5、个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为 参考答案 一、填空题（本题满分56分，共14小题，每小题满分4分）1 2. 16 3. 8 4. -1 5. 63 7. 8. 9. 10. 11. 45 12. 1或9 13. 14. 4三、 选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5
6、分）15. D 16. C 17. A 18. D三、解答题（本大题满分74分，共5小题）19.(本题满分12分）第（1）小题8分，第（2）小题4分.（1）证明：，同理又，平面.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则平面的法向量为，设平面的法向量为 ，由，取 ，设二面角的平面角为，二面角的余弦值为.（2）假设存在点，使平面，令， 由平面，解得存在点为的中点，即20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分. (1)设由，得. 即 (2) 由，知点在以，为焦点的椭圆上，要使四边形DBAC面积最大，只需的面积最大，此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点由，得短半轴长面积的最大值为.
7、因此，四边形ACDB面积的最大值为21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解： 又为锐角 （2） ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列。 可得， 所以，下面先求的前项和两式相减，得22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分（1）由题意得：，半焦距 则椭圆C方程为 “伴随圆”方程为 （2）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：， 则整理得所以，解 又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得 联立解得，所以，则 （3）当都有斜率时，设点其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去得到 即， ， 经
8、过化简得到：， 因为，所以有，设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足方程，因而，即直线的斜率之积是为定值 23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.（1）当时，；当时， 所以；综上所述， （2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在； 当时，设，则，所以， 令，得，此时， 所以，所以；综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.（3）作如下构造：，其中，它们依次为数列中的第项，第项，第项，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形由的任意性，这样的三角形有无穷多个 下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：若三角形和相似，且，则，整理得，所以，这与条件相矛盾，因此，任意两个三角形不相似故命题成立
