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1、 密 封 装 订 线 密 封 线 内 不 要 答 题 学校 班级 姓名 河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试数学试卷（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第卷1至2页，第卷3至6页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！ 第卷（选择题 共40分）注意事项：1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。2.本
2、题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知变量满足约束条件 则的最大值为（ ）A 3B 0C1D33某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（ ）A26B57C120D2474函数在定义域内的零点的个数为（ ）A0B1C2D35下列说法正确的是个数为（ ） 是直线与直线互相垂直的充要条件 直线是函数的图象的一条对称轴 已知直线：与圆：，则圆心到直线的距离是 若命题P：“存在R，”，则命题P的否定：“任意，”A1B2C3D46已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为
3、顶点的椭圆的离心率等于（ ） ABCD17在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）ABC D8若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）A1个B2个C3个D4个河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试数学试卷（理工类）第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）9一支田径队有男运动员 56 人，女运动
4、员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为 人10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 图311如右图3，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，于D，若AD=1，则圆O的面积是 .12函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 13在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为 14在中，是边上一点，则 三、解答题：（本大题6个题，共80分）15. （本小题满分13分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间16. （本小题满分13分）甲，乙，丙三位学生独立地
5、解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， ()，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0123（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求，的值；（3）求的数学期望.17. （本小题满分13分）BCED图5图4ABCDE等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图4）将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、 （如图5）（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由18.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列an的前n项的和为Sn，且对任意的nN*，都有2Sn=+an（
6、1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足b1=1，2bn+1-bn=0，（nN*）.若cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn19. （本小题满分14分）已知函数（1）当密 封 装 订 线密 封 线 内 不 要 答 题（2）当时，讨论的单调性20. （本小题满分14分）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，满足，的周长为12（1）求椭圆的方程；（2）求的最大值和最小值；（3）已知点，是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由河东区2014年高考一模试卷数 学 答 案（理工类）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的
7、四个选项只有一个符合题目要求。题号12345678答案DCBCAACB二、填空题:每小题5分，共30分.9. 12 ，10.108+3，11. 4 ，12. 4 ，13. ，14. 三、解答题：本大题6个题，共80分 15. 解：（1）解： 的最小正周期为 （2）， ， 的值域为 的递减区间为 16. 解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知， . （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是. （2）由题意知， ， 整理得 ，.由解得，. （3）由题意知 ， =，的数学期望为=. 17. 证明：（1）因为等边的边长
8、为3，且，所以，在中，由余弦定理得因为，所以折叠后有因为二面角是直二面角，所以平面平面又平面平面，平面，所以平面 （2）解：由（1）的证明，可知，平面 以为坐标原点，以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图 BCEDHxyzP设，则， 所以，所以因为平面，所以平面的一个法向量为因为直线与平面所成的角为，所以10分，解得即，满足，符合题意 所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时18. 解：（1）当n=1时，由2a1=2S1=，a10，得a1=1 当n2时，由2an=2Sn-2Sn-1=(+an)-() 得（an+an-1）(an-an-1-1)=0因为an+an-10，
9、所以an-an-1=1故an=1+(n-1)1=n(2)由b1=1，得bn=，则cn=n因为 Tn=，所以 得 =2-（n+2）所以 Tn=4-（n+2）19. 解：（1） 当所以 因此，即 曲线又 所以曲线 （2）因为 ，所以 ，令 （1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（，）上单调递减；函数在（，）上单调递增；当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减，20.解：（1）由题意得：，所以，所以椭圆方程为：；（2）因为，设P（x，y）则=，因为，所以，所以最大值为12，最小值为8；（3）当直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点；所以假设直线斜率为k，则，联立得，由0得，；设交点中点，因为，所以，因为，所以，因为，所以，方程无解，所以不存在直线使结论成立。
