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1、一节“生”动的立体几何课-必修22.3.2平面与平面垂直的判定课例本课例是人教版普通高中课程标准实验教科书数学（A版）必修2第二章2.3.2平面与平面垂直的判定，课堂按照“提出问题建立概念生成判定新知运用归纳总结”的认知过程展开教学。学生将在问题的驱动下，进行主动的思维活动，构建平面与平面垂直合理定义和有效判定，并为平面与平面垂直的性质以及二面角打下基础。一、教学设计（一） 类比已知，提出问题问题1:直线和平面间存在哪几种平行关系？又存在哪几种垂直关系？设计意图：以学生原认知出发，通过直线与平面间平行关系类比，提出面面垂直，又在实际中让学生说出模型，调动学生的学习兴趣，领悟面面垂直学习的必要性
2、。师生活动：学生思考、分析寻找实物模型，教师给以引导评价，并追问：数学中如何定义面面垂直呢？问题2:对比直线和直线垂直，直线和平面垂直，平面与平面垂直如何合理定义？设计意图：以学生已有的知识和经验出发，通过对条件的对比，让学生参与建立面面垂直的概念，体验知识的形成过程及合理性。师生活动：学生思考、分析寻找实物模型，教师给以评价，并引导学生可以以手头书本为学习工具去探索。（二）埋下铺垫 建立概念通过模型观察、思考分析，对比已知，师生共同完成下列表格内容：构成图形垂直线线角射线 点 射线二面角半平面 棱 半平面问题3:类比异面直线所成的角，直线和平面所成的角，如何度量二面角的大小？设计意图：让学生
3、通过类比体验空间角的大小都是通过平面角来度量，体现把空间的问题转化为平面的问题重要数学思想。师生活动：（1）学生思考、分析、交流，师生一起完成二面角的平面角的定义。（2）让学生动手操作实验，初步体验二面角的度量方法，获得二面角的平面角的直接经验。（3）生成概念2：二面角的平面角。（三）归纳概括，构建新知问题4：当二面角的平面角为直角时，此时两平面处于什么位置？设计意图：承上启下，引导学生观察，直观感知两平面的垂直位置关系，获得两个平面互相垂直的直观体验。师生活动：学生举一些身边的例子如：墙壁所在的平面与地面垂直，书页与桌面相互垂直，教室的门与地面相互垂直等；老师给予肯定、鼓励。并一起给出两个平
4、面垂直的定义：如果两个平面相交且所成二面角为直二面角，则称这两个平面互相垂直。（四）提炼知识，给出判断问题5：类比平面与平面平行判定，除定义外，是否也有方法判定平面与平面垂直呢？设计意图：启发学生象面面平行判定一样，去寻找除定义外，有效判定两个平面是否垂直的办法，并让学生从线面垂直着手，去探究，去感悟面面垂直的判定。师生活动：学生思考、模拟、交流。教师到学生中去倾听学生的想法。并追问：（1）若两个平面垂直，其中一个面内是否存在直线垂直于另一个平面？（2）若两个平面相交但不垂直，其中一个面内是否存在直线垂直于另一个平面？（3）上述问题的解决，你能得出什么结论？并追问经过平面的一条垂线能做多少个平
5、面，都跟已知平面垂直吗？问题6：你能在生活实际中找到模型吗？举例说说判定定理在实际中的应用吗？设计意图：联系生活实际，学以致用。师生活动：学生思考、讨论、交流，教师点评。（五）初步应用，巩固新知例题：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。 探究：（1）三棱锥P-ABC中，共有几对面互相垂直？编题意图：拓展学生思维，考察学生思维严密性，在较繁杂问题中抓住面面垂直判定的关键是线面垂直。（2）平面PBC与平面ABC垂直吗，为什么？编题意图：拓展学生思维，能从定义和判定定理说明两个平面不垂直。（3）过点A作,垂足为H，求证：
6、 。编题意图：变式训练，让学生抓住问题本质和出题思路。练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， （1）求证：平面PAD平面PCD.（2）求证：平面PMC平面PCD.编题意图：通过变题、改题巩固面面垂直判定定理的运用。师生活动：学生独立解题，并交流。教师点评归纳。二、课堂实录（一）课题引出问题1:直线和平面间存在哪几种平行关系？又存在哪几种垂直关系？学生：线线平行，线面平行还有面面平行。教师：又存在哪几种垂直关系？学生：线线垂直，线面垂直还有面面垂直。教师：面面垂直现实中有哪些事例？学生：教室内墙面和地面，正方体的侧面和底面等。教师：大家说的很好
7、，那数学中如何定义两个平面垂直呢（幻灯）？（二）概念建立问题2:对比直线和直线垂直，直线和平面垂直，平面与平面垂直如何合理定义？学生：应该可以通过所成的角是直角定义，并用书本摆出模型。教师：你摆出的角与线线角有何区别，这个角组成元素是什么？学生：是两个平面所成的角。教师：与线线角对比下，给出二面角的定义。问题3:类比异面直线所成的角，直线和平面所成的角，如何度量二面角的大小？学生：用平面角来度量。教师：对，把空间的角转化为平面角，即把未知转化为可知。那如何寻找合理的平面角能客观反映二面角的大小？请大家打开的书本表示二面角，用两只笔表示两条线，去模拟，同桌合作、探究、交流。问题4：当二面角的平面
8、角为直角时，此时两平面处于什么位置？学生：两个平面位置相互垂直。教师：非常直观，板书两个平面垂直的定义。（三）判定形成问题5：类比平面与平面平行判定，除定义外，是否也有方法判定平面与平面垂直呢？学生：应该从线面垂直着手。教师：那我们就从这里探究，若两个平面垂直，其中一个面内是否存在直线垂直于另一个平面？学生：一定存在。教师：请你给出模型。并追问若两个平面相交但不垂直，其中一个面内是否存在直线垂直于另一个平面？学生：找不到。教师：经过上述问题的探究解决，你能得出什么结论？并追问经过平面的一条垂线能做多少个平面，都跟已知平面垂直吗？学生：如果一个平面内有直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。师生
9、：共同完成平面与平面垂直判定定理的描述。教师：请大家作出图形，用符号语言表示，并给予证明。学生：学生思考动笔，教师查看学生完成情况（部分学生对证明困惑）。教师：在现在我们有什么依据说明两个平面是否垂直？学生：（恍然大悟）定义。教师：定义如何，如何证明。学生（个别作答）：过交点在平面做一直线垂直棱。教师：点评该判定定理的作用，即证明面面垂直转化为线面垂直。也就是说在其中一个面内找到另一个面的一条垂线即可。问题6：你能在生活实际中找到模型吗？举例说说判定定理在实际中的应用吗？学生：小组交流，并发表自己见解。教师：点评启发，同时给出一些参考实例。（四）初步应用例题：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于
10、圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。 学生：学生独立解题（足够时间）。教师：巡视学生答题情况，提问并板书学生答案。同时小结该题解题思路关键是在其中一个面内找到一条直线垂直另一个平面，依据判定定理转化为线面垂直。探究：（1）三棱锥P-ABC中，共有几对面互相垂直？学生：（思考片刻）2对，3对，4对等。教师：如何不重不漏，关键在哪里？学生：线面垂直。教师：先找出存在那些线面垂直，再检验。并板书结果。（2）平面PBC与平面ABC垂直吗，为什么？学生：应该不垂直。教师：为什么？依据什么说明不垂直？引导学生从定义和判定定理两个角度说明。（3）过点A作,垂足为
11、H，求证：。学生：学生独立思考，并请个别板书。教师：点评，并启发学生如何编题。练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， （1）求证：平面PAD平面PCD.（2）求证：平面PMC平面PCD.学生：课堂练习，并解后交流心得体会。教师：再次点评强调面面垂直判定定理的条件。三、课后反思 3.1理解教材 把握重点 本节课的核心内容是面面垂直的定义及判定，而面面垂直的定义需要用到“二面角”，而二面角是空间中不同于平面角，而且度量二面角的大小即二面角的平面角的定义都是学生的难点，本节课的处理是引人二面角是为面面垂直的定义服务，对于二面角大小的度量，让学生合理
12、给出即可，本节对如何求二面角的大小，不做展开探讨，以突出面面垂直这一核心内容。3.2 类比思想贯穿始终本节课是在学生学习线面间的平行关系和直线与平面垂直的判定基础上，新学习的知识，是属于学生最近发展区的知识，跟原有认知即现在发展区进行类比，有助于知识同化，把未知转化为已知，把不会转化成会，把不能转化为能的过程。3.3 动手体验贯穿始终从面面垂直实际存在开始，到二面角的定义以及度量，都让学生动手操作感知，形成面面垂直的定义，再让学生联系生活实际，举例说明，都让学生有直观体验。再有学生动手操作，寻找有效判断面面垂直的办法，让学生感悟知识形成的过程，让学生体会数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展
13、都是自然的。知识的形成是一种合理、实在的有客观意义的结果。3.4 有效问题贯穿始终 问题是数学的心脏，有效设问是一节课成败关键，学生能否有效探究的前提，问题必须具有关键性、指向性，本节课共设六次提问，每个问题简洁，指向性明确，围绕面面垂直的定义以及判断展开，各个问题具有可探究、可操作性，每个问题解决都是掌握本节课内容的关键，所有问题有形成本节课主干知识。四、课例点评4.1重基础，重语言教师1(青年骨干)：在教学中，始终注重训练学生三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的表述，比如平面与平面垂直定义以及平面与平面垂直的判定先让学生符号语言归纳，作图，再用文字语言表示，培养学生数学语言表达能力。
14、4.2抓重点、破难点教师2(青年骨干)：本节课教师紧扣面面垂直这一核心概念展开教学，紧紧围绕中心，对于二面角知识的处理，理解到位，使其成为面面垂直定义所需要的概念，是定义面面垂直所需要用到的概念，对如何求二面角的大小，不在此节课展开应用，这样处理是合理的，而对于刻画二面角的大小即平面角，是学生一个难点，教师让学生自己动手操作、观察、分析、探讨，让学生体验平面角的定义以及合理性和唯一性。4.3问题精，可探究教师3(教研组长)：本节课教师共提出六个关键问题给学生探究，每个问题紧扣面面垂直这一核心内容，是本节课的脉络和线索，而且每个问题指向性明确，学生可探究性强，能充分调动学生的积极性，激发学生思维
15、和空间想象能力和逻辑思维能力，动手操作能力，让学生在问题驱动下探究，体验了知识生成的过程。4.4 一点商榷教师4(市坛中坚)：由于本节课有两个概念和一个定理，教学任务相对比较重，面面垂直定义出来后，能否直接问学生，实际生活中，建筑个人砌墙时，为什么用一根铅垂线紧贴砌墙面，能否转化为数学问题，并给予证明，组内有一部分教师表示了认同，还有一部分教师觉得本节课放手给学生体验教好，让学生参与知识生成过程，这样学生印象会深刻，理解会透彻。参考文献1.高中数学教科书（必修2）M. 人民教育出版社，20072.高中数学教学参考书（选修2）M. 人民教育出版社，20093. 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）M.北京：人民教育出版社，20034余文森著.听课评课与教学断想,浙江教育出版社.2011
