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1、不等式的若干证明方法定理的应用Some of the inequality proof methodprove the existence of high-dimensionalimplication function theorem专 业：数学与应用数学作 者： 指导老师： 二一二年五月 摘 要无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明
2、中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.关键词：不等式；比较法；数学归纳法；函数等等Abstract No matter in elementary maths or higher in mathematics, inequality is very important content. The inequa
3、lity proof is an important part of the inequality knowledge. In this paper, I summarized some mathematical proof of inequality technique. In elementary mathematics inequality for the evidence is often used as a comparison, the commercial law, analysis and synthesis, mathematical induction, reduction
4、, zooming method, in yuan method, discriminant method, function method, geometric method, etc. In the higher mathematics inequality for often use the evidence of the mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some famous inequality, such as: mean, inequality cauchy inequality, Jason,
5、 inequality holder inequation, etc. So that inequality proof of the method is more perfect, be helpful for our further research and study of the inequality proof. By studying the identification method, can help us solve some practical problems, cultivate logical reasoning ability and the abstract th
6、inking ability, and develop thinking, good at thinking of the good study habits. Keywords: inequality; Comparison method; Mathematical induction; Function and so on .目录摘要1Abstract20引言 41利用函数证明不等式 1.1函数极值法5 1.2单调函数法5 1.3中值定理法6 1.4利用拉格朗日函数法62利用著名不等式 2.1利用均值不等式8 2.2利用柯西不等式9 2.3利用赫尔德不等式9 2.4利用詹森不等式103利用
7、积分不等式的性质 3.1积分不等式的性质11 3.2积分不等式的证明12参考文献20致谢210引言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不
8、等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.1 利用函数证明不等式1.1函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的.例1 设，求证：.证明 当时， 当时， 故 .1.2单调函数法当属于某区间，有，则单调上升；若，则单调下降.推广之，若证，只须证及即可.例 2 证明不等式 ，证明 ： 设则故当时，严格递增；当严格递减.又因为f在处连续，则当时， 从而证得 1.3中值定理法利用中值定理：是在区间上有定义的连续函数，且可导，则存在，
9、满足来证明某些不等式，达到简便的目的.例3 求证：.证明： 设 ，则故 .1.4利用拉格朗日函数例 4 证明不等式 其中为任意正实数.证明 ：设拉格朗日函数为对 对L求偏导数并令它们都等于0，则有，由方程组的前三式，易的把它代入第四式，求出从而函数L的稳定点为为了判断是否为所求条件极小值，我们可把条件看作隐函数（满足隐函数定理条件），并把目标函数看作与的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：当时，由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式令则代入不等式有或 2 利用著名不等式证明2.1利用均值不等式 设是n个正实数，则，当且仅当时取等号.
10、例5 证明柯西不等式 证明： 要证柯西不等式成立，只要证 （1）令 （2） 式中则（1）即 即 （3）下面证不等式(3),有均值不等式，即 ，同理 ， ，.将以上各式相加，得 (4)根据（2），（4）式即 .因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证.2.2利用柯西不等式例6 设，求证：证明： 由柯西不等式两边除以即得说明：两边乘以后开方得当为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均2.3利用赫尔德不等式例7 设为正常数，求证： 证明: = = 即 .2.4利用詹森不等式例 8 证明不等式 其中均为正数.证明: 设 由的一阶和二阶导数可见，在时为严格凸函数.依詹森不等式有从而即又因所以 3利
11、用积分不等式的性质3.1积分不等式的性质性质1 函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和其中都是常数 性质2 如果在区间 上,则性质3 如果在区间上，则性质4 如果在区间 上有则性质5 性质6（估值定理） 如果和分别是在区间上的最大值和最小值,则有 性质7 如果函数在区间上可积,是内的一点,则函数在及上也可积,并且性质7 的证明：对于的任意划分,在插入一个分点,得到一种新的分划,在这些心的分划中,点永远是一个分点,因而有令,上式两端同时取极限,就得到积分中值公式 如果函数在闭区间 上连续,则在积分区间上至少存在点,使得证明: 因为在闭区间 上连续，故在上可积，且有最大值及最小值,即于是,由定
12、积分的估值定理,有注意,将上面各式除以,得可见确定的数值介于连续函数在闭区间 上最大值与最小值之间.根据闭区间上连续函数的介值定理，在 上至少存在一点，使得，即亦即 这个公式叫做积分中值公式（积分第一中值定理）,叫做函数在区间上积分平均值性质8 若都在上可积,则在 上也可积性质9 特别的性质10 （积分第二中值定理）：若是 上单调函数,为可积函数,则,使得性质11 (柯西不等式)牛顿莱布尼兹公式（重要公式）若函数在上连续,为的一个原函数,即,且变限积分 设在上可积，对于任给,在和上均可积,分别称和为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分.若在上连续,则其变限积分作为关于的函数,在 上处处可
13、导,且更一般的有3.2积分不等式的证明例9设在上有一阶连续导数,且,证明：(1)(2) 分析：(1)该不等式实际上给出了左边积分的一个界.若令,则有,即给出了导数的界，再加条件,估计出,进而估计出积分的界. (2)不等式两边分别有和，而等式可将两者联系起来,这里要根据具体问题具体选择,本题中容易想到证明：(1)令,由积分中值定理知从而所以(2) ,则故例10比较定积分与的大小 解：(用性质3)设,我们只需判别在的正负号,因 ,故所以例11.设函数定义在区间上,且对于区间上任意二点，有.证明:（1） 对于内每一点,是连续函数；（2） 如果在上可积,则证明：（1）任给,由题设知于是当时,故连续(2
14、)当时,有,即两边积分,可得即故有例12设在上有二阶连续导数,证明： 方法1：由泰勒公式有两边在上积分并注意到得,从而得 方法2：令,则且 （牛顿-莱布尼兹公式），由泰勒公式有： （1） （2）由（1）-（2）得所以 例13.设为上的非负单调非增连续函数（即当时,）证明:对于,有下面的不等式成立证法1：（用积分中值定理）由题设及中值定理有从而因此可得又因,所以,故。证法2：（用性质3）分析：可化为将换成,于是辅助函数令 (因为单调递减)所以单增,又因为所以 ,即故例14.设,函数在上连续可微,证明：证法1： 因为在上连续可微 所以积分存在,且 因为所以证法2：因为连续,由积分中值定理,存在,使
15、得 又因为所以例15.设为上的连续递增函数,则不等式成立： （1） 证明：（用性质10）要证（1）式只要证明 （2）由于单调递增,利用积分第二中值定理（性质10）,则存在,使 故（2）成立,原不等式成立例16柯西不等式的证明 证明:柯西不等式为。设显然在上连续,在内可导,且 所以在上单调减少,则,即 得到结论 例17.设的一阶导数在上连续,且 ,求证：证明：由于 因此有积分中值定理及基本积分不等式,有 而,所以例18函数在上有定义且单调不减,证明：对于任何,有 证明：(分析:用换上限法)由,对,有.又由于在上单调不减,有,从而例19.设是的连续函数,而且是非负和下凸的,求证：证明：令,则，由于
16、下凸的,故所以,在上单调增加,从而即,其中特 别,当时,例20.设在上二阶可导,且,求证：证明：令,则 ， 所以 ,特别的有.即.例21.求证：分析：只要证,利用三角函数之间的相互转换及定积分的性质证之.证明：设，在中，令，则，即，故等式不成立.例22.设在连续,且满足：,证明：.证明：令,由题意得,则又,故,即：,故不等式成立. 例23.设在上连续,且单调减少,求证：分析：将结论变形为,可发现等号俩端结构相似,从而构造函数.证明：设,则：,由在单调减少,得,即故在单调减少,得,即：故不等式成立.致 谢：在我的毕业论文设计之时，有幸得到我的最敬爱的指导老师的细心指导，衷心的感谢老师对我一直以来
17、的关心和帮助.参考文献1数学分析.华东师范大学数学系(第三版)M.北京:高等教育出版社,1999,87. 2施咸亮.与几何平均有关的两个不等式J.浙江师范大学学报,1980,1(1):21-25.3李家熠.用均值不等式证明不等式J.数学教学通讯,2005,11(4):130-133.4霍连林.著名不等式M.北京:中国物质出版社,1994,123-124.5 Tom M. Apostol. Mathematical Analysis (Second Edition)M .BeiJing: China Machine Press,1994,17-19. 6Yang Bicheng. On an Extension of Hardy-Hilberts Inequality J.Chinese Ann. Math.(Ser. A ),2002,23(2)：247-254.7Gao Mingzhe.On Heisenbergs InequalityJ.J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.8 钱吉林等主编 数学分析题解精粹M 武汉：崇文书局，2003.9 王国灿 郑成德编著大连交通大学数学系 数学分析M，大连：大连交通大学出版社，2007.
