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1、含参不等式恒成立问题的八大转化策略No.01.2012语数外学习YuShuWaiXueXi2012年第1期例4,设函数,()=21,对任意了2,+)一4mz)一1)+4f(m)恒成立,求实数m的取值范围.解:依据题意得一14m2(一1)(一1)一1+4(m一1)在,+)上恒定成立,即一4m一一+1在E,+*)上恒成立.当=时函数,=一3一了2+1取得最小值一丁5,所以誊扣m巩解每营瞎孚.司故实数m的取值范围是(一,一孚u,+m).数【评注】本题中的不等式两边都有m,若直接求解,则不太学容易,因此可将参数从不等式中分离出来,使得原题转化为求教不等式一一_2+l,即.厂()型恒成立的问题,于是古.
2、将恒成立问题转化为求函数最值问题,大大降低了求解难度.l五,主元变更转化策略质求另一参数的取值范围.I恒成立,求的取值范围.I一3)口+(一6x+9),则原问题转化为,()>0对.E一1,1f恒成立.I若=3时):0,不符合题意.I所以s,则问题等价于.解得4或2.L2删取值艄,z+.【评注】有些含参不等式恒成立问题,在分离参数遇到要分类讨论的麻烦或者即使能分离出参数与变量,但函数的最值难以求出,此时可以适当地变更主元,即把习惯上的主元变量与参量的地位交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可以避免不必要的分类讨论,或是问题降维,简化,往往会取得出奇制胜的效果.六,正难则反转化策略某些
3、含参不等式恒成立问题从正面解决比较棘手时,我们可以从反面入手,这种正难则反的策略运用的是补集思想.其一般转化原理是:VED,使得f(,m)>g(,171,)恒成立,先求出否命题jED,使得f(,m)g(,m)成立时参数tT$的取值范围,然后取其补集即可.例6,已知不等式Ia>一,对0,2恒成立,求n的取值范围.解:命题不等式lal>一,对E0,2恒成立的否定为:0,2,使得laI一x成立,于是2x口.因为当一(2x)=2x一2x0时存在a,所以12,当E0,2时,(2xz)a(),所以0n4,故a的取值范围是(一*,0)U(4,+).【评注】值得注意的是在求解过程中原命题应看
4、成是全称命题,其否命题是特称命题.七,集合观点转化策略某些含参不等式易于求出解集,此时可以考虑逆向运用集合观点转化.其一般转化原理是:若,m)>g(,m)的解集是,则VD,使得,m)>g(,小)营D.例7,已知不等式la一2xl>一1,对0,2恒成立,求n的取值范围.解:原不等式可化为a一2x>一1或a一2x<1一,即<或>一1.因为原不等式对于0,2恒成立,所以0,2是不等式<或x>a-l的解集的并集的子集,于是号>2或a-1<0或>口一1,解得>5或<2.故a的取值范围是(一,2)u(5,+.).【评注】此
5、题在求解过程中<或>.一1对0,2恒成立不能理解为<对o,23恒成立,或>o一1对E0,2恒成立,要理解为对0,2中任意一个,.27<和>.一1至少有一个成立.八,数形结合转化策略对于形如)g()(或八)g()含参(下转第4页)数学教育No.O1.2Ol2语数外学习YuShuWajXueXj2012年第1期于直线y=及其下方时,满足Efo,下qrI,即m=n或m<n两,厶J种情况.点A(m,n)的总个数为6x6个,而位于直线Y=的点A(m,n)有6个;位于直线y=下方的点A(DT,n)有l+c+c+c:+cl_15个,故所求概率iZl=吉,因此选择C.
6、六,概率与不等式的交汇题例6,(O7联赛)将号码分别为1,2,9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为n,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,号码为b.则使不等式a一2b+10>0成立的事件发生的概率是多少?解析:基本事件的总数为9X9=81,记事件A为不等式n一26+10>0成立.其等价于口>2b一10.下面进行分类讨论:(1)当b=1,2,5时,均可取19,共5X9=45种;(2)当b=6时,口>2有7种;(3)当6=7时,>4有5种;(4)当b=8时,>6有3种;(5)当b=9时,>8有1种.所以事件A
7、1发生包含61种,P(A)=.七,概率与集合的交汇题例7,(07山东文12)设集合A=1,2,B=1,2,3,分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(口,b),记点P(n,b)落在直线+y=n上为事件C(2n5,nEN),若事件C的概率最大,则n的所有可能值为().A.3B.4C.2和5D.3和4解析:对n进行分类讨论:当rl,=2时,落在直线+y=2上的点为(1,1);当n=3时,落在直线+),=3上的点为(1,2),(2,1);当n=4时,落在直线y=4上的点为(1,3),(2,2);当n=5时,落在直线+Y:5上的点为(2,3);l显然当=3,4时,事件C的概率最大为
8、,因此选择D.j八,概率与数阵的交汇题例8,将2个口和2个6共4个字母填在如图所示的l6个小方格内,每个小方格内至多填一个字母,则相同字母既不同行也不同列的概率是多少?解析:基本事件总数.记事件A为相同字母既不同行也不同列.使2个.既不同行也不同列的填法有c:=72种,同样使2个6既不同行也不同列的填法也有A:=72种.根据乘法原理,这样的填法共有72种,其中不符合要求的情况有2种:(1)2个所在的方格内都填有6的情况有72种;(2)2个n所在的方格内仅有一个填有b的情况有clA;种.所以事0件A包含的情况有72一72一clA;=3960种,JD(A)=署.7I通过以上八种题型的分析,我们可以
9、看出分类讨论思想在解决概率交汇题中的重要性和广泛性.(上接第2页)不等式恒成立的问题,可以考虑利用数形结合的思想转化为函数图象间的关系来求解.我们可以先把不等式(或经过适当变形后的不等式)两端的式子分别看成两个函数,先画出两函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,从而直接判断出结果,或是列出关于含参数的不等式,达到化难为易,化抽象为具体的效果.J占()=一口l._0.5口/;/)=一)f>g()=象上方.如图1,由h()=一是双曲线.与轴交点是(2,0),在(0,+)上单调递增.所以,当o2时,就能保证Ixol11寺一.(事实上,当=2时,E(0,+.o),直线g()=
10、IoI=一2在曲线h()=一上的下方,可以用分析法来二证明)当>2时,由(一2)一(一):(一2).>0,二二1所以,当o2时I,()恒成立.二故n的取值范围是(一,2.【评注】某些含参不等式恒成立的问题,不等式两边的式子,函数模型较明显,函数图象较容易作出的,可以考虑作出函数图象,用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题,也非常容易得到意想不到的效果.含参不等式恒成立问题形式多样,方法灵活多变,技巧性较强.这就要求我们要以变应变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认真观察题目中不等式的结构特征,从不同的角度,不同的方向,加以分析探讨,从而选择适当转化方法快速而准确地解出.当然除了以上的方法外,还有许多其它的方法,值得一提的是,各种方法之问并不是彼此孤立的.潦数外髻司
