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1、 圆锥曲线中的定点，定值问题 天台中学 张丽君教学目标： （1）知识目标：以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。 （2）能力目标：培养学生分析能力，逻辑推理能力，运算能力； （3）情感目标：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。教学重点与难点： （1）重点：探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。 （2）难点：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。教学内容：一解读高考高考对本节知识的考查主
2、要以如下形式呈现：（1） 以解答题的形式考查，以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或多个参数。（2） 以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，在一元二次方程，函数，向量，数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力，计算能力。二 热身训练练习1. 已知A,B分别是椭圆C：的左右顶点，对于椭圆C上异于A,B的点P，则 （ C ）A. B. C. D. 分析：由答案的唯一性，P取特殊点短轴端点时即可快速求得答案。 变式 （1）若椭圆上的点 A,B关于原点O对称；
3、 ( C ) （2） 椭圆改为双曲线。 （ P趋向无穷远处 ，即可求得答案为 A )练习2. 已知直线L与抛物线有异于原点O的两个不同的交点A, B.若-1，则直线L必过定点分析：由对称性知，定点必为X轴上一点，再取L垂直X轴时的位置，解得A(2p,2p),故定点为(2p,0)。变式（）？ 定点解：设直线AB的方程为，代人得从而直线AB过定点。归纳：求解定值问题的三个步骤：（1） 结合图形，由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2） 证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参变量无关，也可令系数等于零，得出定值；（3） 得出结论。解决此类问题要分清哪些是变量，哪些
4、是常量。 定点问题（1） 结合图形，常由特例得出定点，再加以证明（2）证明某曲线过定点，经常是将曲线方程中的参变量集中在一起，令其系数等于零，得出定点；三典例分析（）例 1. 已知椭圆C：上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，若直线L与椭圆C相交于P,Q两点（P,Q不是左右顶点），且以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点B. 求证：直线L过定点，并求出该定点坐标。分析：根据题目特征恰当设点，设线简化运算，提高解题速度及准确率。思路：（1）边找边证明， （2) 先找后证明法一（1）边找边证明：易求椭圆的方程为，设L的方程为，P。 将直线L代人，得， 即, 又 因为以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点B
5、（2,0）， 所以 解得。 当时，L:恒过点（2,0),不合舍去。 当法二（2) 先找后证明：由对称性知，定点必为X轴上一点，再取L垂直X轴时的位置，解得定点为（）。下面只需证明过点（）的所有直线符合题设。 优点： 将探求问题转化为目标明确的证明问题。思想方法：数形结合，特殊到一般2.已知椭圆C:经过点，离心率为，直线L过椭圆C的右焦点F交椭圆与A,B两点，点A,F,B在直线上的射影依次为D,K,E.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线L交轴于点M，且当直线L的倾斜角变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由;(3) 连接AE,BD,试探索当直线L的倾斜角变化时，直线AE与B
6、D是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。分析：特殊到一般，数形结合，先找后证，目标明确。解：(1)(2)先由特殊位置L垂直Y轴，探求出的值为。（目标明确，自我检查）设L：， 将L代人，得到， ；亦可以用直线参数方程来解决。（3） 由特例得出定点，再加以证明。 当L的倾斜角为时，AE与BD交点为FK的中点N(), 当L的倾斜角不为时，由（2）知E 即点N()在直线AE上，同理可得，点N()在也直线BD上,所以直线AE和BD相交于定点N()。 优点： 将探求问题转化为目标明确的证明问题。小结：求解定值问题的三个步骤： （1）结合图形，由特例得出一个值，此值一般就是定值
7、； （2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参变量无关，也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论。解决此类问题要分清哪些是变量，哪些是常量。 定点问题（1）结合图形，常由特例得出定点，再加以证明（2） 证明某曲线过定点，经常是将曲线方程中的参变量集中在一起，令其系数等于零，得出定点；根据题目特征恰当设点，设线简化运算，提高解题速度及准确率。思路：（1）边找边证明， （2) 先找后证明思想方法：数形结合，特殊到一般作业：1.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. 2. 例2(3).变式:当直线L的倾斜角变化时，直线AE是否过定点，若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由。
