《均值不等式解题误区.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《均值不等式解题误区.doc（4页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、均值不等式“”解题误区摘要：目的 本文归纳了学生利用均值不等式（a,bR+,当且仅当a=b时取“=”）解题常见的一些错误。方法 结合自身的教学实践，通过例题对常见的错误进行分析。结果和结论 对学生出现的问题进行了归纳总结，从3个方面的错误进行了分析，提出了正确的解题思路。关键词：均值不等式；函数；不等式均值不等式 （a,bR+,当且仅当a=b时取“=”）是高中数学的一个重点，也是难点。它是证明不等式、求函数最值的重要方法，也是高考考查的一项重要内容。用它解题有三个制约条件：正；定；相等。但在解题中学生往往因忽视条件而导致错用、误用，使问题得不到解决。下面就本人在教学实践中的实例加以说明。1.忽
2、视“a，b均为正”致错例1 求y=x+（x的值域。错解 因为y=x+=x1+1 +1=3，所以y。分析 虽然x1与的积是常数，但x1不一定是正数，因此解法是错误的。正解 当x1时， y=x+=x1+1 +1=3，当且仅当x1=，即x=2时等号成立。当x1时， y=-x+=1-x+11=1。所以y1时，当且仅当1x=，即x=0时取“=”号。所以原函数的值域为。2.忽视“a+b或ab为定值”致错例2 若正数x，y满足x+2y=6，求xy的最大值。错解 因为xy,当且仅当x=y且x+2y=6（已知），即x=y=2时，取“=”号，将x=y=2代入上式，可得xy的最大值为4。分析 初看起来，很有道理，其
3、实在用均值不等式求最值时，在各项为正的前提下，应先考虑定值，再考虑等号是否成立，。但在xy中，x+y不是定值，所以xy的最大值不是4。正解 因为xy=x.2y.=,当且仅当x=2y时（此时x=3，y=）取“=”号，所以xy最大值是。3.忽视“当且仅当a=b时取等号”致错例3 求y=sinx+的最小值，。错解 因为x（0，），于是sinx0，所以y=sinx+2=2，因此ymin=2。分析 y=2的充要条件是：sinx=，即sin2x=5，这是不存在的。正解 因为x（0，），所以sinx0，又y=sinx+=sinx+2+，当且仅当sinx=，即sinx=1时，取“=”号，而此时也有最小值4，所
4、以当sinx=1时，ymin=6。例4 设x,yR+，且+=1，求x+y的最小值。误解 因为x,yR+，所以1=+2=,则6，又x+y2，所以x+y12,即（x+y）min=12。分析 此题利用了两次均值不等式，忽视了两次取得等号时，等号成立的条件=与x=y不能同时成立，错误由此发生。正解 由于+=1，所以x+y=(x+y)( +)=10+(+) 10+2=16， x=4，y=12当且仅当+，即y2=9x2，因为x,yR+，所以y=3x(与+=1联立得x=4,y=12)时取得（x+y）min=16。参考文献：1何维安.高中数学常用解题方法手册M.北京：中东方出版中心，2007.2曹才翰.中学数学教学概论M.北京：北京师范大学出版社，1990
