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1、山东省高考理科函数与导数二轮复习策略一、年山东高考数学函数与导数分析近三年分值分布统计表高考数学大纲理科函数与导数题号分值2009年(6)(10)(14)(16)(21)302010年（4）（7）（12）（22）292011年（9）（10）(21)22从近三年数学试题函数与导数分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。1 整体稳定主要考察函数的性质与图像、函数的零点、导数的应用、定积分的计算、函数应用题2重视基础，难度适中试题以考查函
2、数与导数基础知识为主线，在基础中考查能力。3突出重点知识重点考查特别注重考查函数与导数的基础知识，2009年文理科分别占30分，2010年文科37分、理科29分，2011年文科26分、理科22分。4考查新增内容，体现新课改理念如定积分、导数、函数的零点5突出通性通法、理性思维和思想方法的考查数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查，尤其体现在函数与导数这一部分中。数形结合思想，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题，2009年文理第6题、2010年文理第11题、2011年
3、文科第10理科第9题。1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O （6） 函数的图像大致为( ) (11)函数y=2x -的图像大致是（10）函数的图象大致是6注重数学的应用和创新近三年的试题加强了应用问题的考查，2009（理科）和2011年都在21题位置上设置了函数与导数的应用题。【例】（2011文理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千
4、元，设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的解：（I）设容器的容积为V，由题意知故由于因此所以建造费用因此 （II）由（I）得由于当令，所以 （1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时7注重能力考查，有效区分不同思维层次的学生鼓励考生宽口径、多角度的思考和解决问题，不拘泥于某一成法，不局限考生的思想，设置的题目尽可能让考生可以从不同角度入手，均能得出结果。【例】（2009理21）两县城A和B相距20km，现计划在两县
5、城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.A B C x （1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求
6、出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解: （2）求这个函数最小值，可以用通性通法（法一）：导数或单调性定义研究其单调性；如果注意到表达式的结构特点，令函数变为，利用均值不等式求解（法二），这是对“1”的代换的本质理解；如果考生熟悉柯西不等式，就能看出来法二其实就是柯西不等式的一个特殊情况，由此得法三:利用柯西不等式直接得解。二、2012年高考数学命题预测函数与导数函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中， 函数类试题在试题中所占分值一般为22-35分一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题 ，而且常考常新。在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇
7、偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用、定积分以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在：1通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。2在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。4一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。5涌现了一些函数新题型。6函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列、不等式、解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7多项式求导（结合不等式求参数取值范围）和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题
8、。8求极值、 函数单调性、应用题与三角函数或向量结合。9.重点考查数形结合思想、分类讨论思想、恒成立问题附：2012年高考数学命题预测函数与导数模拟题一、选择题1、设函数f(x)若f()4，则实数()A4或2 B4或2 C2或4 D2或2【解析】 当0时，f()4，4；当0，f()24，2.2、下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x|【解析】 A选项中，函数yx3是奇函数；B选项中，y1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，yx21是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y2|x|x|是偶函数，但在上是减函数故选B.3、设函数f(x)(x
9、R)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图像可能是()图11【解析】 由f(x)f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x2)f(x)，可知函数为周期函数，且T2，必满足f(4)f(2)，排除D，故只能选B.4、已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1【解析】 由已知可得|AB|2，要使SABC2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：xy20，所以有，所以x2x22，当x2x22时，有两个不同的C点；当x2x22时，亦有两个不同的C
10、点因此满足条件的C点有4个，故应选A.5、对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，2C. D.【解析】 f(x) 则f的图象如图14.图14yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1cbc Bbac Cacb Dcab【解析】 令mlog23.4，nlog43.6，tlog3，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得mtn，图13又y5x为单调递增函数，acb.7、在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为
11、()A. B. C. D.【解析】 因为fe20，所以ff2，所以G(x)f(x)20恒成立，所以G(x)f(x)2x4是R上的增函数，又由于G(1)f(1)2(1)40，所以G(x)f(x)2x40，即f(x)2x4的解集为(1，)，故选B.12、函数f(x)axn(1x)2在区间0,1上的图像如图12所示，则n可能是()图12A1 B2 C3 D4【解析】 由函数图像可知a0.当n1时，f(x)ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x1)(x1)，所以函数的极大值点为x0.5，故C错误；当n4时，f(x)ax4(1x)2a(x62x5x4)，f(x)a(6x510x44x3)2a
12、x3(3x2)(x1)，函数的极大值点为x0.5，故D错误二、填空题、13、已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【解析】 函数f(x)的图象如图15所示：图15由上图可知0k1.14、dx_.15、已知函数有零点，则的取值范围是_【解析】16、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则_.【解析】因为，则，解得，所以，那么（太贝克）.三、解
13、答题、17、设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的最值【解答】 (1)因f(x)x3ax2bx1，故f(x)3x22axb，令x1，得f(1)32ab，由已知f(1)2a，因此32ab2a，解得b3.又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，因此124abb，解得a.因此f(x)x3x23x1，从而f(1).又因为f(1)23，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.(2)由(1)知g(x)(3x23
14、x3)ex，从而有g(x)(3x29x)ex.令g(x)0，得3x29x0，解得x10，x23.当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x(3，)时，g(x)0，故g(x)在(3，)上为减函数；从而函数g(x)在x10处取得极小值，即最小值g(0)3，在x23处取得极大值，即最大值g(3)15e3.18、设是函数的两个极值点，且 （）求a的取值范围； （）求证：.【解答】（I）易得 的两个极值点的两个实根，又a0 （）设则由上单调递增19、设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的
15、切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0，即m.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0，x1x22m0，故0x10，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函数f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值为0.于是当m0时，对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上，m的取值范围是.20、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距
16、米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解答】（）设需要新建个桥墩，所以 （）由（）知，令，得，所以=64当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。21、设，函数为自然对数的底数）.（）判断的单调性；（）若上恒成立，求a的取值范围.【解答】（）由已知令当在R上为减函数.当在R上为
17、减函数.当时，由得由得上为增函数；上为减函数. （）当上为减函数. 当在1，2上不恒成立，a的取值范围是 22、设函数定义在上，导函数，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解答】（1），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得，当时，是减函数，故区间在是函数的减区间；当时，是增函数，故区间在是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是（2），设，则，当时，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，；当时，=0， （3）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立证法二 假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,，这与假设矛盾不存在，使对任意成立
