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1、 平面向量在中学数学问题解决中的应用研究 目 录摘要1引言3一、高中数学中的向量内容5（一）高中数学教科书中向量内容的设定51.向量的相关概念52.向量的运算53.实数积与矢量积64.向量运算的坐标表示65.向量的数量积及运算律66.向量数量积的坐标表示6（二）向量内容的教学要求6（三）高中生学习向量的必要性7二、平面向量在高中数学问题解决中的应用8（一）平面向量在平面几何问题解决中的应用及教学策略81.线段相等和垂直的向量法证明82.三点共线的向量法证明93.点分线段比值的向量法解答104.三线共点的向量法证明105.求角度的向量法证明11（二）平面向量在函数、等式与不等式问题解决中的应用及
2、教学策略121.向量在函数问题解决中的应用122.向量在等式问题解决中的应用15（三）平面向量在数列问题解决中的应用及教学策略16（四）平面向量在三角函数问题解决中的应用及教学策略17（五）平面向量在平面解析几何问题中的应用及教学策略20三、对平面向量教学的几点建议23（一）注重物理背景23（二）注重与数的运算类比23（三）注重几何意义23（四）注重多种表示方法的类比23结束语25参考文献26致 谢27平面向量在中学数学问题解决中的应用研究摘要：向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。普通高中数学课程标准对其教学要求为重基础，突出向量作
3、为工具的作用。本文在阐述向量历史的基础上，对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。主要有以下几部分：第1部分，首先对高中数学教科书中的向量内容的设定作出分析，并结合普通高中数学课程标准对高中向量部分的教学要求提出相应的教学策略。第2部分，重点是把平面向量作为解题工具，对高中数学中较难解决的各类题型进行分类，并提出向量解题方法。主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。第3部分，学生在应用向量知识来解决遇到的问题时，应注意在教学中强化向量的工具性，抓住学生培养实践
4、能力和创新精神的黄金时机，帮助学生树立向量的应用意识。最后，提出教师要辩证地看待向量在数学问题解决中的价值所在，在了解向量作为数学问题解决的一种工具的同时，也不能无视其不适用之处。关键词：平面向量 解决问题 向量应用Abstract: Vector has both Geometrical form and Algebra form . It is a joint of mathematics knowledge in the middle school ,It is also a Important tool in solving mathematical problems. Accordi
5、ng to the ordinary high school maths course standard.We should base on its teaching requirements,and outstand vector as a tool.Based on elaborating vector history,I analyzed the vector of high school math textbook,Using the vector just as mathematical tools to solve mathematics problems in teaching
6、and list the examples that solve problems by vector in teaching process,and have a classification discussion.Contents of each part as follows:Chapter1,Introduce to analysis the set about vector in the ordinary high school math textbook,and according to the high school math course standard,I correspo
7、nd the teaching strategy to the part of the teaching requirement of high school vector.Chapter2,the key is to put plane vector as solving tools，classify the difficult problems to solve all kinds of questions,and put forward the solving methods.Mainly about vectors applications in plane geometry, and
8、 function,equality and inequality sequence,triangle function,graphic analytic.How to solve the mathematical problems in teaching.Chapter3，Students in the application of knowledge to solve problems, we should pay attention to vector tool, take training students practical ability and creative spirit o
9、f the golden opportunity, help students to establish the awareness of the application of vector.Finally,a teacher must think dialectically about the worth in understanding vector as a mathematical problem solving tools，but also cannot ignore its unapplicable place.Keywords:Plane vector, Solve the pr
10、oblem, Vector application引言目前，向量是高中数学中的基本概念之一，在代数、解析几何、平面几何等学科中各种理论都以向量为基础。现代物理关于向量的应用更为广泛，利用向量可以简化和解决许多思想和方法，达到快速解题的目的。向量知识可以解决初中平面几何中的大部分证明题，这些题如果用常规的方法去解决对于初中生来说会显得很难，但利用向量去解决就显得比较容易。向量主要以概念、公式、定理等的形式出现，教科书中体现向量的一般形式是进行相关运算，一般教师普遍认为向量内容教起来简单，学生也容易学。在这一章节中的教学，大部分教师采用“记公式，多练习”的教学形式，大都忽视了概念、公式、定理、法则
11、的形成过程，一般不重视课后的阅读材料、实习作业、研究性课题的教学。经过调查表明学生更愿意使用向量法，这是因为对于一些立体几何问题，常常要求学生判断点、线、面的位置关系，进行角与距离的计算，如果用传统的解法，需要从公理、公式、定理开始使用“形到形”的演绎、归纳推理，会很繁琐，再加上有些空间图形的复杂性，解题的技巧性大，随机性强，而计算又主要是构造三角形等，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解，需要对图形进行平移、投影等各种转化，而且不同的问题需要不同的技巧，甚至需要大量的辅助线，缺少统一的求解方法;而向量的方法则不同，向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，其基本要求是能快捷地建立空间直角坐标
12、系，求出相关的坐标，或用向量中的定理、性质通过计算解决问题，且有一定的通法，使解题程序化，增加了可操作性，使空间想象能力差点儿的学生，也不会感到立体几何那么遥不可及了。另外，利用向量解决问题是高考必考的知识点。回顾近几年的高考题，有关向量内容的考察涉及的面广，其中纯粹向量知识的考题所占比例也不少，应在高中数学中重视向量应用教学，这样学生做起题来就能够得心应手轻松自如。近年来，高考命题体现了向量考查的三个层次。第一层次:主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能。要求学生掌握平面向量的和、差、数乘和向量的数量积以及运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算。第二层次: 考查向量的
13、坐标表示，向量的线性运算。第三层次:和其他数学内容结合在一起，考查逻辑推理运算能力等综合运用数学知识，如可以和曲线，数列等基础知识结合，解决问题的能力，应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机的地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。综上所述，向量减少了学生学习论证、度量问题的难度，使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析和提升，在为高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供新的思路。向量是数学解决问题中不可或缺的工具，应更进一步规范和加强高中数学中向量应用的教与学。 向量
14、是高中数学中有着代数和几何双重性质的重要内容。向量是“数、量和运算”形式不断发展的表现，也是高考必考的知识点。高中数学新增加的向量知识，有助于沟通几何与代数之间的联系，为解决中学数学中常见的问题，提供了新的思想和方法。运用向量工具可将几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使数学问题的解决更加简洁、清晰。现行高中数学教科书中向量的教学内容重在基础知识，对于向量的应用提的却相对较少。一方面，高中新教科书没有摆脱旧教科书的束缚，有很多数学问题用向量的方法解决更简单，但却没有利用向量工具来研究;另一方面，很多中学数学教师，头脑里传统的解题方法已成为思维定势，不习惯或避免用向量来解决问题。尤其在解决
15、一些立体几何问题时，需要较强的逻辑思维能力和较高的技巧性，把向量应用于立体几何问题解决会简便而顺畅。鉴于这两点，本文将重点探讨平面向量在数学问题解决中的应用。一、高中数学中的向量内容（一）高中数学教科书中向量内容的设定从2003年开始把向量作为高中数学学习内容之一，其中安排的内容概括起来包括以下内容:1.向量的相关概念在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量称为向量。向量是区别于数量的一种量，它是既有大小，又有方向的量，向量是用有向线段来表示，有向线段是向量“形”的表示形式.向量的模、向量的大小，即是表示向量的有向线段的长度。向量的模记为。向量的模是数量,向量不能比较大小，但向量的模可以比较大
16、小。模为0的向量是零向量，记为0，它的方向是任意的。单位向量是模为1的向量。方向相同或相反的非零向量是平行向量,也叫共线向量。零向量与任何向量共线。模相等且方向相同的向量是相等的向量。任何两个单位向量不一定是相等的向量。2.向量的运算向量求和的三角形法则:已知向量a，b(如图2-1)，在平面上任取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a和b的和(或和向量)，记作a+ b，即a+b=AB+BC=AC。CBACBADaabbab 图2-1 图2-2a+b+c+dbacdabcd 图2-3向量求和的平行四边形法则:已知两个不共线向量a，b(如图2-2)，作AB=a、BC=b。则A
17、，B，D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b。这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。向量求和的多边形法则:已知n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量。这个法则叫做向量求和的多边形法则(如图2-3)。向量减法:如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量。3.实数积与矢量积实数与向量的积，其结果仍是一个向量;实数与零向量的积是零向量;零与任何一个向量的积仍是零向量。4.向量运算的坐标表示一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，向
18、量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的坐标。5.向量的数量积及运算律向量的数量积是非常重要的，而且要求学生必须掌握的。6.向量数量积的坐标表示将向量在平面直角坐标系或空间直角坐标系中用坐标表示出来，比较难得是表示空间坐标。（二）向量内容的教学要求（1）通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平行和向量相等的含义，理解向量的几何表示.（2）通过实例掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。通过实例，掌握向量数乘运算,并理解其几何意义，以及向量共线的含义。了解向量的线性运算性质以及几何意义.（3）了解平面向量的基本定理及其意义。掌握
19、平面向量的正交分解及其表示。会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。理解平面坐标表示的平面向量共线的条件。（4）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。体会平面向量的数量积与投影的关系。掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量判断两个平面向量的数量关系。（5）经历用平面向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等工具，发展运算能力和解决实际问题的能力（三）高中生学习向量的必要性数学与物理学的紧密联系在向量中的体现出来，高一物理课中的位移、力、速度、加速度等相
20、关知识的学习中多次用到向量的加法与减法去解决问题。因此就物理问题的解决这一方面来说，高中数学中全面介绍向量这方面内容很有必要。数学和物理学的关系在中学阶段应得到重视和发展。数学中向量的学习为解决物理问题提供必需的工具，而将物理问题引入向量学习中作为向量的应用，能够增加学生学习数学的兴趣，并且体会数学作为一门工具学科的重要性。向量的引入为解析几何的数量化处理提供了一个重要的工具，也有利于增强传统几何与现代数学的联系和衔接。新编高中数学教科书增加了平面向量这一内容，这就为中学数学增加了一个全新的解题工具与方法。巧妙地运用平面向量解数学问题往往更简捷、更清晰、更易被学生理解和接受。因此，只有加强向量
21、应用的训练，注意把向量与三角、几何等内容联系起来，将形象思维与逻辑思维相结合，学生才会构建出自己的一整套适合的学习向量的方法。向量具有的代数和几何的双重特征，通过运用向量，可以帮助学生更好地建立代数和几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的数学基础。作为代数的对象，向量可以进行运算。作为几何的对象，向量有标示方向，可以刻画直线、平面、切线等几何元素;向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量。向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量是现行高中数学教科书的新增内容，运用平面向量解题可以扩展学生的数学发散思维，有利于培养学生的创新能力和学生的情感态度，利
22、用向量解决立体几何及平面几何中部分问题十分简便，这样就更加激起了学生学习数学的激情，增强了学生学习数学的兴趣，而关于向量的知识就学得更加扎实。向量是现代数学的重要标志，将向量引入中学数学，进一步发展和完善了中学数学的知识结构体系，拓宽了研究和解决数学问题的思维通道，同时也为激发和培养学生的探索精神和创新意识提供了更广阔的天地。从而从知识上和思维上为向高等学府迈进奠定了良好的基础。二、平面向量在高中数学问题解决中的应用人民教育出版社出版的高中数学教科书，将“平面向量”编写在试验修订本第一册(下)中，并把其作为必修数学内容。平面向量的引入为高中数学问题解决提供了一种有效的工具。在高中数学中有许多问
23、题可以应用平面向量得以解答，并且有些问题采用向量方法解答要比其他方法更便捷。下面结合高中数学问题，从五个方面来论述平面向量在高中数学问题解决的应用及教学策略。（一）平面向量在平面几何问题解决中的应用及教学策略在平面几何中，图形是点的集合，平面上的点可以用向量来表示如果把几何图形看作是向量的集合，便可以用向量的代数运算来度量平面儿何中的位置关系，以向量为工具可以解决平面几何问题，可以省去复杂的逻辑证明，使问题变得清晰易解。在用向量解决平面几何问题时，数学教师在教学过程中应该注意以下教学过程:（1）建立向量与平面几何之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2）通
24、过向量的运算，研究几何元素之间的关系;（3）把运算结果翻译成几何元素。运用向量运算可解决平面几何中的有关平行和垂直的证明，以及角和距离的运算等，其优点是可回避平面几何中作辅助线的难点。1.线段相等和垂直的向量法证明例1.如图3-1，平行四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一个动点，PECF是矩形，用向量证明:(1)PA=EF;(2)PAEF。ADFBCE 图 3-1分析:适当建立直角坐标系;设动点坐标，并求出定点坐标用点的坐标表示向量坐标:通过计算给予证明。证明: (l)如图3-2，建立直角坐标系:设P(t，t),，则A，E，F点的坐标分别为：（0,1），（t,0）,(1,t),则=(t
25、,t-1),=(1-t,t). =,即PA=EF;PADyxBCEF 图3-22.三点共线的向量法证明例2.如图3-3，在矩形ABCD中，AB=AD，E为CD的中点，F为对角线BD上，且BF=2FD，试证:(I)AFBD;(2)A，F，E三点共线.ADFBCE 图3-3证明:设=,=,则=0，且=,(1)=+=+()=+(-)=+,又=-=- =0,AFBD(2)=+=(+)=,又,则A,F,E三点共线。3.点分线段比值的向量法解答例3.如图3-4，在ABC中，M是BC的中点，N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相交于P点,求AP:PM的值。分析:利用向量的加，减法运算以及A，P，M与B，
26、P，N三点共线的知识的结合。解:设=,=,=+=+=+(+)=-+(-+)=(-1)+(1-)=+=+=+(-+)=+(-)由得APMBCN=4,即AP:PM=4:1 图3-44.三线共点的向量法证明例4.证明三角形的三条高线相交于一点.己知:如图3-5，在ABC中，OABC，OBAC，求证 :OCABABCO 图3-5 几何问题转化为纯粹的向量运算问题，证明过程简单明了，这一方面也应用于证明立体几何中“若四面体的两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直”这一问题，更加突出体现了向量解决儿何问题这一数学方法的实质。5.求角度的向量法证明EABCD例5.在四边形ABCD中，如图3-6，若,求AD与BC所
27、成角的大小。 图3-6分析：因为线段长度的平方与向量模的平方相等，故由已知得：，于是就将其转化为纯粹的向量运算,计算过程变得简洁明了。解：取BC的中点为E,连接AE,DE.由已知得把长度关系转化为向量模的关系，利用向量关系与向量的平行四边形法则是解决本题的关键。总之，在解决平面几何问题时，线段相等、直线垂直、角的关系、点分线段成的比等常常用全等三角形的知识，这就是需要进行巧妙的建构，作辅助线，将图形分割或扩充，思路会扑朔迷离，但利用向量知识解决这些问题，思维具有模式化、规范化，让学生形成一种定势思维，找出解决问题的捷径。特别是在解决三点共线问题时，向量知识具有明显的优越性。（二）平面向量在函数
28、、等式与不等式问题解决中的应用及教学策略平面向量知识的应用非常广泛，易于与函数、等式和不等式等主干知识融合，这也成为新课标下主干知识的整合点。下面以平面向量为解题工具对函数、等式和不等式的问题解决进行初步探讨。1.向量在函数问题解决中的应用例6. 求函数=+的值域.分析:需将函数变形为=1+.解:设=(1,),=(,) , 则 y=,如图3-7所示,向量对应点(x,y)力在单位圆上运动，与轴正向夹角为，由图象知，即求函数的值域为1,2.例7. , 求的最小值.分析： , 就会联想到向量数量级的坐标运算。解：设由得对于向量和有不等式，应用这一不等式求二元函数最值，简捷明快，能收到出奇的效果。例8
29、. 设平面向量，若存在不同时为0的两个实数及实数，使.(1)求函数关系式；（2）若函数在是单调函数，求证： 设 解：(1)又(2) 又因为是单调函数若是增函数，则，恒有若是减函数，则恒有这样的不存在，故.设，由 两式相减，有而，本题主要考查以下几个方面的内容:1.平面向量数量积的运算;2.导数的性质;3.恒成立的不等式字母参数的取值范围的求法。此题涉及向量数量积与函数知识的综合应用，覆盖了中学数学中的重要知识，体现了知识网络交汇是设计此题的命题思想。例 9. 设平面向量，若存在实数和角使向量(1) 试求函数的关系式；(2) 令，求出函数的极值。分析：显然，向量的数量积与坐标运算把向量知识与函数
30、知识联系起来。解：(1)即（2）由令当；当；当。则当有极大值；当有极小值。 本题涉及向量的垂直，向量的坐标表示以及向量的数量积，将向量知识与函数联系起来从而最终解决与函数有关的问题，最根本的思想是由向量数量积的知识向函数知识的转化，即平面向量知识与函数知识的融合，向量的有关运算必须熟练。2.向量在等式问题解决中的应用例 10. 已知，求证.分析：将代数问题转化为向量问题提供了方便，使我们可以根据具体的代数式的特点去构造向量来解决代数问题。证：设,，则，共线且同方向，又则， ，由于向量的模式，共线，垂直以及向量的数量积用坐标表示后呈现出来的都是代数式，可以根据向量数量积，坐标表达式的结构特征，构
31、造向量加以证明。例 11. 已知是不等式正实数，求证.分析:根据形式构造，由向量数量积的坐标表示进行推导证明。证明：构造向量，则是不等正实数例 12. 已知是实数，证明（柯西不等式）分析：构造就呈现出向量数量积的坐标运算。证明：，则，又，命题得证. 总之，平面向量在函数与不等式知识中的应用，需对函数解析式，或不等式的形式进行认真分析，看能否利用构造向量法把问题进行巧妙转化来解决问题，可以使一些繁杂的运算，深奥的思维变得简单化、趣味化，把向量知识与函数、不等式知识有机的结合起来。（三）平面向量在数列问题解决中的应用及教学策略平面向量知识与数列知识的交汇应用较少，但有时把等差数列与等比数列的性质与
32、向量共线的条件知识结合到一起解决有关数列的问题。例13. O为坐标原点，A,B,C三点共线，数列满足=+,为数列的前n项和，求.分析:由A,B,C三点共线,=k,=(1-k)+K,结合已知条件求解.解：由题可知A,B,C三点共线,=k,-=k(-),(1-k)+K由已知得,+=1=100本题的突破点是A，B，C三点共线，即由向量共线的条件得的关系，与已知条件对比求解。总之，平面向量与数列知识联系较少，往往通过三点共线的知识，达到与向量知识的有机融合，还需教育工作者勤钻研，多扩充，把向量知识与数列知识更多的联系起来。（四）平面向量在三角函数问题解决中的应用及教学策略平面向量的数量积及其坐标运算和
33、向量的共线与垂直的条件,常与三角函数等内容渗透,使数学问题新颖别致,自然流畅。例14. 已知向量和，且，求的值。解：方法1：，得又，方法2：量的坐标运算转化为三角函数例15.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知, (l)试判断的形状; (2)若 分析:本题考查了余弦定理与向量数量积的知识 解:(1)由己知得 为直角三角形。（2)由已知得 在解三角形中,正弦定理,余弦定理是重点,当向量的数量积知识与正,余弦定理交汇时,要设法把知识进行转化.例16. 中,=(sinA,cosC),=(cosB,sinA),=sinB+sinC ( 1)证:为直角三角形. (2)若外接圆半径为l,求的周
34、长的取值范围.分析:=sinAcosB+cosCsinA涉及到向量数量积的坐标运算,同时也用到正弦定理与余弦定理以及三角函数值域的讨论.解:(1)由已知得=sinAcosB+cosCsinAsinAcosB+cosCsinA=sinB+sinC由正弦定理得acoSB十acosC=b+c则为直角三角形(2)由已知得a=2,的周长 向量数量积的知识与三角形的正弦定理,余弦定理知识的融合,体现了知识的转化思想,考查运算能力与推理能力.例17. 0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足则P点的轨迹是通过ABC的（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心分析:本题是把向量知识与三角形的
35、四心联系起来考察过四心的向量特点。解：表示起点为A，终点在BAC的角平分线上的向量， 则的方向与 的方向相同，由题意得,P点的轨迹一定通过的内心，故选A。本题考查向量与四心的关系,必须清楚所满足向量形式的意义,有时变形是很关键的。例18.变式：若O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足则P点的轨迹是通过的（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心分析:由于两向量的数量积会含有角的余弦,故在已知向量等式中,两边同乘以某一向量可达到化简的目的。解:由题意可知，=归纳：由上述可知，；（3）若时，则可变为,故P通过的垂心。总之,平面向量知识在三角函数中的应用利用的是平面向量的数量积及
36、其坐标运算,和向量的共线与垂直的条件与三角函数等内容的衔接,达到了三角函数知识与平面向量知识的交汇,体现了向量的工具性交汇性和传接性和转化的思想。（五）平面向量在平面解析几何问题中的应用及教学策略高中阶段的平面解析几何，主要是指研究与圆锥曲线有关的问题。向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份，能融数列于一体;它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而它成为平面解析几何的交汇点，能够进一步培养学生的探究能力、开拓学生的思维，将数学问题的发生，发展灵活的展现出来。例 19. 设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上两个动点，(1) ；(2) 证明：当取最小值时，共线。解：方法1：由的方
37、程为设由得(1)由得 由，三式消去并求得(2)当且仅当时，取最小值，此时故。方法2：(1) 由已知得则椭圆方程为并且准线方程为.设 由得，(2) ,当且仅当此时又本题第一问离心率找出的关系，从而设出椭圆的方程，再由向量模建立关系求出第二问由取最小值时成立的条件求出的坐标从而利用向量共线的条件得出条件。总之，平面向量在平面解析几何中的应用比较广泛，体现了向量的代数性质和几何性质，把向量关系利用向量的坐标运算转化，减弱了解决的难度，同时也使解决问题的目标明确，思维简单，体现数形结合函数与方程，等价转化等方法的应用，培养学生的思维推理以及运算能力。三、对平面向量教学的几点建议（一）注重物理背景就向量
38、和的概念可以这样引入:我们都有切身体会如果顺风划船，会很省劲，如果是逆风行驶，划船很费劲，并且速度也很慢。这是因为船的实际速度是划船的速度与风速度的和速度，这实际就是向量的和的一种特殊情况。在引入数与向量的乘法运算时，可以位移的倍数或速度的倍数为背景。这样可使学生对于数与向量的数乘运算的结果仍然是一个向量有直观的认识。（二）注重与数的运算类比美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算(加、减、乘)进行类比。在学习向量的运算及
39、运算律时，是从数谈起的:“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢?”“数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。”“数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似的，向量的加法是否也有运算律呢?”“我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。向量的减法是否也有类似的法则?”在向量的教学中，将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较，可以帮助学生理解向量运算的意义及其运算律。（三）注重几何意义向量的运算及运算律具有明显的几何意义，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图
40、形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示。例如，教科书先类比相反数给出相反向量，再把b-a定义为b+(-a)，然后借助几何直观得出b-a的作法(向量减法的几何意义)。（四）注重多种表示方法的类比学生要熟练掌握在向量的多种表示方法下进行向量的运算。向量的概念与运算包含着丰富的数学语言，常见形式主要有三种:一是自然语言，二是符号语言，三是图形语言，灵活、准确地进行语义转换是正确、快速地用向量解题的保证。这需要教师在教学中的有意识的加强对不同表示方法训练。学生对坐标形式表示的向量掌握的最好，对几何形式、符号形式表示的向量掌握次之。将三种形式下的运算方法放在一起类比小结，通过一定量
41、的练习形成熟练技能。不同表示方法各自都有优缺点，选择适当方法可以简化解题过程，甚至可以巧解问题。比如，通过向量的几何表示可以将向量问题转化为几何图形的性质应用。通过坐标化，可以将问题转化为函数与方程的应用问题。结束语随着时代的发展，对向量知识在中学数学问题中的应用研究将逐步深入，向量知识在中学教学中的作用将更加突出。由于向量具有代数运算与几何特征的双重身份，可以说贯穿于中学数学的始终，因而倍受数学爱好者的青睐。本文主要研究了平面向量在高中数学问题解决中的应用，包括:(l)平面向量在平面几何问题解决中的应用;(2)平面向量在函数等式与不等式问题解决中的应用;(3)平面向量在数列问题解决中的应用;
42、(4)平面向量在三角函数问题解决中的应用;(5)平面向量在解析几何问题解决中的应用。主要通过事例说明了向量在中学数学问题解决中能优化数学思维，简化运算量，又能达到解决问题的目的。作为一名高中数学教师，我们应该进一步研究向量与其他知识的联系，如向量与概率以及排列组合知识的联系，使向量知识的应用领域更广泛，让向量知识在高中数学中发挥更大的作用。向量知识作为高中数学内容之一，对其作出进一步的研究，有助于知识的进一步拓展，增强知识的趣味性，有助于教师的专业化发展，有助于教师的教学水平不断进步，有助于提高课堂教学效率。向量作为数学问题解决的一种工具，在有些问题的解决过程中也存在不足，高中数学教师在进行向
43、量的应用教学过程中，在注重向量的应用的同时，也不可无视用向量进行问题解决的缺陷。用向量法进行问题解决的缺陷体现在:第一，向量法虽然比较简洁、巧妙，但并非可以解决所有的问题。第二，在立体几何教学中把问题化为代数问题比较容易找到确定的解法，不会茫然不知所措，比较易教易学。但是终究直观性较差，运算麻烦了同样会感到茫然。另外，培养学生的“运算能力、分析能力、空间想象能力”这三大能力是高中数学教学的最主要目标之一。而用向量法处理立体几何问题，有时只需要单纯的代入公式，并在解题过程中无需任何几何分析甚至连图都可不画的解法，这将影响学生的思维品质的培养，如果只要求学生做这样的一些中学数学课程中的向量教学研究
44、题目，会把学生培养成只会按步照搬，缺乏创造力、分析力、想象力的“数学机器”，这显然与当代数学的培养目标是背道而驰的。总之，我们应该辩证的来看待向量在数学问题解决中的作用。参考文献1 代钦，斯钦孟克等著.中学数学教学论M.西安:陕西师范大学出版社，2009.2 曹一鸣.现代数学与中学数学M.北京师范大学出版社，2010.3 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)M北京:人民教育出版社，2003.5 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(必修)数学(第一册，下) M北京:人民教育出版社，2003.6 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科一书(选修2-
45、1)数学(A版)北京:人民教育出版社，2007.7 严士健，张奠宙，王尚志，普通高中数学课程标准实验解读M.南京:江苏教育出版社，2004.8 王建明.数学课程改革中的向量背景和前景分析J.数学报，2002年(5).9 李纪辉.反思向量解题之特点J.数学通报，2006(2).10 饶雨.向量及其运算J.数学通讯，2006(10).11 陈涛.对高中数学课程中向量的研究J.长春:东北师范大学，2006.12 尚廷武.立体几何中“几何法”与“向量法”的解题功能比较J.数学教学通讯，2005(12).13 万晓秀.向量思想方法在几何数学中的应用J.安顺师范高等专科学校学报，2004，6(4).14 齐民友.中学数学教学中的向量J.数学通报，2007，46(4).15 齐民友.中学数学教学中的向量(续l) J.数学通报，2007，46(5).16 齐民友.
