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1、目录摘要 .1引 言.2一、求曲线的切线方程.4二、导数在探究函数性质中的应用 7（一） 判断函数的单调性7（二）函数的极值、最值问题 9（三）求函数的解析式 .11（四）导数在解决实际问题中的应用 .12（五）用导数判定函数的凸性及拐点.14三、研究方程根的情况15四、导数在不等式证明中的应用.15五、导数求参数的取值范围16六、导数在数列中的应用17（一）导数在数列求和中的应用18（二）求数列中的最大(小)项 18七、导数在求极限中的应用19八、近似计算19结束语.20参考文献.21导数在解题中的应用 XXX(中国)摘要：导数是近代数学的基础，是联系初高等数学的纽带。导数是一个特殊函数，它
2、的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。 导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。本文通过导数的基本理论
3、来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用，如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。关键词：导数；函数；单调性；最值；数列The Application of Derivative in Solving ProblemsGaoJingjing(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Derivative are the foundation of modern mathematics is linked bonds
4、in early mathematics. Derivative is a special function, which leads to and definitions of the function runs through ideas. Derivative is one of the core concepts of calculus, it is a special kind of limit, reflecting the pace of change in the degree of function. Derivative is the monotonicity of a f
5、unction, extremum, the curve tangent and some important tools for optimization problems, while the study of geometry, inequalities play an important role. Derivative concept is the basis for future study of calculus. At the same time, derivative in physics, economics and other fields have a wide ran
6、ge of applications, is an indispensable tool for scientific research. Derivative is an important foundation for calculus concepts of incremental independent variable tends to zero, the dependent variable and independent variable increment incremental quotient of the limit. Presence in the derivative
7、 of a function, call this function can lead or be differential. Be a continuous differentiable function. Discontinuous function must not be guided. Derivative is essentially a process of limit, derivative of the four algorithms from the limits of the four algorithms. In this paper, we discuss some p
8、roblems in mash by the theory of the derivative. The derivative application is obtained by using examples from simple application to comprehensive application, such as the application of the series, inequality proof, practical problems and summation series.Keywords: derivative; function; monotone; t
9、he most value; series引 言微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，能起到化繁为简的作用，尤其体现在判定函数相关性质，证明不等式，恒等式及恒等变形，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用定义：设函数 在点的某个领域内有定义，当自变量 在处取得增量 点 仍在该领域内时，相应的函数 的增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在处的导数，记为，即 导数定义的形式比较灵活.对它进行研究，能促进我们对导数的理解，帮助我们迅速、正确地解题，导数的定义式也可以有不同
10、的形式，常见的有 式中的即为自变量的增量.从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上
11、述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了流数法和无穷级数，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛
12、顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西。 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大
13、革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。一、求曲线的切线方程在求过点所作函数对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.当点在曲线上，即点为切点时，则切线方程为 .当点不在曲线上时，则设切点坐标为，由先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程. 例1.已知曲线,求过点P的曲线的切线方程.解：因，所以，则当时，. 当时，点P在曲线上，故过点P的曲线的切线方程为即， 当时，点P不在上，设曲线过点P的切线的切点是，则切线方程为且点P在此切线方程上，所以有 即又 则有 ，即 ，当时， 所以；当时， ，所以切线方程是 即
14、，当时，切线不存在.例2. 已知抛物线和抛物线，当取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设分别是直线与、的两个切点.又，的导数分别为：，所以 ，即 又、有且只有一条公切线，则点A与点B重合，所以，即，有点在上，可知，此时.例3. 已知曲线，直线，且与切与点，求直线的方程及切点坐标.解：由过原点，知，点在曲线上， 又，又 （不符合题意）所以的方程为，切点为.求曲线的切线方程，关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率.二、导数在探究函数性质中的应用（一） 判断函数
15、的单调性假设在点中可导）若对中所有而言，则在中递增；）若对中所有而言，则在中递减；）若对中所有而言，则在中不变.由此可见，只要求出函数的导数，判断其正负性，则能判断函数的单调性.这种方法比传统的“定义法”及“图像法”更方便.例1.求函数在上的单调性解：令，即求，上的单调性当时，在上为增函数；当时, 因，则由， 得 则可以判断，当时，说明在上为增函数；当时，在上为减函数.接下来，要比较和1的大小,当时，则在上为增函数，此时 ，当时，则在上为增函数；在上为减函数.该题用导数来解，淡化了技巧，突出了通法，充分显示了该解法的新颖别致和通俗易懂.例2. 已知函数， ,其中，求的取值范围，使在区间上是单调
16、函数.解： ，它在上是单调函数，当， 即时，为单调递增函数；当， 即时，故为单调递减函数； 综上所述，当时，在区间上是单调函数.（二） 函数的极值、最值问题求可导函数的极值的一般步骤和方法是：求导数；求方程的根；检验在方程的根的左右符号，如果在根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.对于在连续，在可导的函数的最值的求解，可先求出函数在上的极大（小）值，并与、比较即可得出最大（小）值.求在内的最值的方法 ：(1) 求出在内的零点和不存在的点，设其个数为有限个，得到可能极值点;(2) 计算出函数值以及,比较（2
17、）中所有函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者则为最小值（不必讨论是否为极值点）例1. 已知为实数，函数.求导数；若，求在上的最大值和最小值.解：由原式得则 由 得，此时有 ， 由 得 或，又 ，所以在上的最大值为，最小值为.例2. 求函数的值域.分析:求函数的值域是数学中的难点,方法因题而异, 不易掌握而采用导数求解, 则较为容易, 且一般问题都可行.解：函数的定义域为.又 =，可见当时，所以在上是增函数，而，所以的值域是. 例 3.求函数在区间上的最大值和最小值。解：由于 令,得驻点，在驻点处函数值为：在端点处函数值为：比较这几个函数值的大小，可得在上的最大值为：，最小值为：导数的广泛
18、应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以解析几何相联系，可以在知识的网络交汇处设计问题。（三） 求函数的解析式例1. 设函数为三次函数，其图像与轴的交点为P，且曲线在P点处的切线方程为，若函数在处取得极值，求函数的解析式.解：设，则，依题意有因为切线的斜率为，所以.把代入，得.所以P点的坐标为，即求得，此时.由函数在处取得极值，则得 ， 解得 ，所以 例2. 设为三次函数，且图像关于原点对称，当时，的极小值为，求函数的解析式.解：设，因为其图像关于原点对称，即 ，所以 ，则 即 ，所以 .依题意 ，解得 故.（四）导数在解决实际问题中的应用学
19、习的目的, 就是要会实际应用.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化, 形式化, 抽象成数学问题, 再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.例1. 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长，那么高为多少时容器的容积最大并求出它的最大容积.解：设容器底面短边为, 则另一边长为，高为.由 且，得.设容器的容积为，则有，所以 令 ，即，解得 （不合题意，舍去）.当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.因此，当时，这时，高为，故高为时容器的容积最大，最大容积为.例2 .
20、 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边处，乙厂和甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸的处，乙厂到河岸的垂足与相距，两厂要在此岸边合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米元和元，问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省？解：根据题意，只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省，如右图所示，设点距点, 因为，所以.设总的水管费用为元，则. 所以 ，令，解得（舍去）.当时，；当时，所以当时，取得最小值，此时，即供水站建在、之间距甲厂处可使水管费用最省（五）用导数判定函数的凸性及拐点例1确定曲线的凸性及拐点。解：函数的定义域为，且 ;令；解得； 当时，不存在，故列表讨论如下：x
21、（-，-1/5）-1/5(-1/5,0)0（0,）-0+不存在+上凸（-1/5，）拐点下凸无拐点下凸注：确定连续曲线的凸性和拐点可以按以下步骤进行： （1）求出在定义区间内所有的零点和不存在的点；（2）确定在上述各区间两侧的符号；（3）判断在上述各点两侧附近进行的凸性。如果凸性相反则为曲线的拐点；如果凸性相同，则不是曲线的拐点。总之，导数作为一种工具。在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值、凸性以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的。掌握一种科学的语言和工具，加深对函数的深刻
22、理解和直观认识，提升自己在数学这门学科上的感悟，达到丰富自身能你的效果。三、研究方程根的情况用导数的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法,它是通过函数的变化情况,运用数形结合的方法来确定函数的图象与 轴的交点的个数并结合定义域来确定方程解的个数的方法.例1. 若，则方程在上有多少个根？解：设，则，当，时，故在上单调递减.而在与处都连续，且故在上有且只有一个根.例2. 取何值时, 关于的方程在上有解？分析：本题亦可结合二次函数的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在上有两解和一解两种情况.采用转化思想将与分离开, 利用导数求函数值域, 使得运算量大大减少.解：因为 ，所以 ，将看成
23、的函数，因为 ， ，所以函数在上是增函数， 故.四、导数在不等式证明中的应用不等式是数学的重要部分，它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多，有些更是具有很强的技巧性，对于某些不等式不易证明时，可根据给出不等式的特点构造函数，利用导数知识研究函数的单调性，然后利用函数的单调性来加以证明，往往可以达到事半功倍的效果。例1 . 当时，证明不等式.证明：设，可求得其定义域为，由 ， 可知在上单调递增.所以当时， ， 即 .故 对一切都成立.例2. 已知，求证：.证明：设，则原不等式化为设， 当时， 所以在上为减函数，于是有可得 ，所以在上为增函数，于是有 ， 可得 由得 ， 故原不等式成立.五
24、、导数求参数的取值范围求参变量的取值范围是数学中的一个重要内容, 有不少求参变量取值范围的问题依靠传统的方法不容易解决,但是借助求导的方法确是一种很有效的解决途径.例1. 已知，函数在上是单调函数，求的取值范围.解：，由 ，即 ，解得 .当时， ，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是单调函数的充要条件是，即 ，解得 . 所以的取值范围为.例2. 求出的范围，使不等式对任意的都成立.分析: 将含参数的不等式问题转化为函数问题,利用导数求得函数最小值,方可确定出参数的范围.解：令，则 ，再设，可求得 或，当时，； 当时，；当时，. 所以时，取得极小值为，从而有最小值为，则， 故有.解决本题的关键
25、在于构造函数，通过导数判断函数极小值的位置.六、导数在数列中的应用（一）导数在数列求和中的应用数列求和是数学中比较常见的问题, 也是学生难以掌握的问题, 用常规方法求数列的和，有时技巧性很高，或者计算十分繁琐，如果借助导数这一工具，用导数的相关性质来解决此类问题,常可化繁为简，化难为易.例1.求 解：因 ，两边都是关于的函数，两边求导得， .例2. 求和： .解：因 ，则该式两边都是关于的函数， 两边都对求导得 ，令，得 ， 即 数列是一种特殊的函数，它有通项公式和前项和公式，并且、是关于的函数，因此可以把看作是某个函数的导数.（二） 求数列中的最大(小)项将数列看作正整数集上的函数, 然后将
26、定义域扩充为正实数, 用导数的方法求解问题是解决上述问题的一种好方法. 例1. 数列中，求中的最小项. 解：构造函数，令 ，解得 ，则当时，；当时，所以当时，的值最小，因为，通过计算知中的最小项为.把数列通项构造为函数，将数列的最小项问题转化为函数的最小值问题，从而利用导数求解.七、导数在求极限中的应用导数的定义在许多题目中出现的形式灵活多样，较为简单的类型是直接应用导数的定义是作适当的变形即能解决问题，导数是由极限定义，所以就能利用导数来求极限.例1.求极限：.解：令，由导数定义可得八、近似计算函数在处的导数，由极限的定义知，当充分小时，所以，利用这个公式可求的函数的近似值. 例1. 正方形
27、的棱长从增加到，它的体积大约增加多少？ 解：设正方形的体积为，它放入棱长为,则，取 则. 例2. 不查表，求的值. 解：令，由导数和微分的关系得，因 ，取，于是 ，代入上式得 .结束语本文讨论了导数在求曲线的切线方程、研究函数的性质、证明不等式、求极限和数列等方面都有广泛的应用。导数这部分内容不仅是函数的深化和拓展，还与其他许多知识都有着密切的联系，用导数法往往比传统法更具有优越性。 参考文献1陈纪修等编: 数学分析，北京，高等教育出版社， 2004.2徐智愚：数学通报（用导数解初等数学题），北京，北京师范大学,2000. 3高群安：数学学报（运用导数巧解题），北京，中国科学院，2005.4商俊宇：数学教学研究（导数题型分析解析），甘肃，西北师范大学, 2004.
