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1、毕 业 论 文等差等比数列中的解题技巧 指导教师： 昆明师范高等专科学校2004年5月等差等比数列中的解题技巧 摘要：等差数列与等比数例在数列中占有主要地位，在解题过程中能灵活应用它们的定义、性质、公式解题及先对所用公式进行合理变形或推理出更一般的情形而后用之会起到简洁巧妙的作用，本文讨论等差、等比数列的一些性质和解题方法。关键词：等差数列；等比数列一、 等差、等比数列性质的应用性质1：设数列an是等差（或等比）数列，公差（或公比）为（或q），an.am是数列中的任意两项，则an=am+(n-m)d（或an=anqn-m）当m=1时，即为等差（或等比）数列的通项公式。例1 设数列an是公差为-
2、2的等差数列，如果a1+a4+a7+a97=50那么a5+a6+a9+a99的值等于（ ）A. -182 B. -148C. -78D. -82解：a2-a1=a6-a4=a9-a7=a99-a97=2da3+a6+a9+a99=(a1+a4+a7+a97)+66da3+a6+a99=55-662=-82故选：D性质2: 设an,am,al是等差数列（或等比）数列中的任意三项，若n、m、l成等差数列，则an,am,al成等差（或等比）数列。更一般地有：性质3: 设an ,am, al ,as 是等差（或等比）数列中的任意四项：若n+m=l+s，则an+am=al+as(或an.am=al.as
3、)例2 已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于（ ） A.5 B.10 C.15 D.20解：由性质2. = a2a4, =a4a6 于是a2a4+2a3a5+a4a6=(a3+a5)2=25 又an0a3+a5=5 故选A例3 已知等差数列an的公差是正数，且a3a7=-12,a4+a6=-4则前20项的和s20=_解：由性质3.a3+a7=a4+a6=-4a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根，又公差d0a7=2,a3=-6。由性质1 d=,a1=a3-2d=-10s20=180性质4: 一般地等差数列an,a1,a2,a3，an,，
4、中有（1） ma1,ma2,ma3, man,；（2） a1+k,a2+k,a3+k, ,an+k,；（3） ma1+k,ma2+k,ma3+k, ,man+k,均成等差数列。 也即：等差数列同乘以或同加上一个常数或同乘以一个常数，再加上一个常数仍成等差数列。例4 已知 ,成等差数列，求证：，成等差数列。证明：要证 ， 成等差， 只要证：，成等差。即： ，成等差，而,成等差，故，成等差。，成等差。性质5：等比数列an,有kan(k0)也成等比数列。性质6：一个等差或等比数列，去掉前面若干项，以后各项依次成等差数列或等比数列。例5：已知等差数列an中，前30项的和s30=50,前50项的和s50
5、=30,则前80项的和等于（ ）A20 B. -20 C.80 D. -80解：s80= 又30-50=s50-s30=a31+a32+a50=()于是有：a31+a50=-2因为：a31+a50=a80+a1 故将代入得：s80= -180=-80 故选D说明：此题中，去掉前30项，从前31项开始，以后各项仍是等差数列。性质7：等差数列an中，若am=n,an=m,则am+n=0。性质8：等差数列an中，若sm=n,sn=m,则sm+n=- (m+n)。性质9：在等差数列中，由项数成等差数列的项构成的数列仍是等差数列。在等比数列中，由项数成等差的项构成的数列仍是等比数列。例6.等差数列中，若
6、a5=a,a10=b,求a15解：5,10,15成等差，故a5,a10,a15也是等差数。故：2a10=a5+a15即：2b=a+15a15=2b-a性质10：等差数列中，由相邻的连续的相等的项的和构成的数列仍是等差数列。等比数列中，由相邻的连续的相等的项的和构成的数列仍是等比数列。例7. 在等比数列an中，已知a1+a2=30,a3+a4=60,求a7+a8的值。解：a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也等比数列 a7+a8=(a1+a2) ( )3 =30()3=240性质11: 设数列an或等差(或等比)数列,公差(或公比)为d(或q)则对任意kN(1).数列， 也成等差（或等
7、比）数列,公差(或公比)为k2d(或qk)。(2).数列，也成等差（或等比）数列，公差（或公比）为kd(或q)。例8. 已知等比数列的公比为2,且前4项之和为1,那么前8项之和等于_A.15 B.17 C.19 D.21解:记数列为an由性质11,数列a1+a2+a3+a4,a5+a6+a7+a8,a9+a10+a11+a12,是以a1+a2+a3+a4=1为首项，24为公比的等比数列。 a5+a6+a7+a8=16 故选B例9. 已知an是等比数列，若a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=-9且sn=，那么的值等于( )A.8 B.16 C.32 D48解：由性质11:公比q=由a1+a
8、2+a3=a1(1+q+q2)=18a1=24, 故选B性质12: 设c0,且c1,则(1) 数列an成等差数列的充要条件是数列成等比数列(2) 数列an是正项等比数列的充要条件是数列成等差数列例10. 设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c( )A. 是等差数列,但不是等比数列。B. 是等比数列，但不是等差数列。C.既是等差数，以是等比数列。D.既不是等差数列，又不是等比数列。解：由性质12. 3，6，12 成等比数列 a,b,c成等差数列，又显然a,b,c不是常数数列。a,b,c不是等比数列故选A例11在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9则：+为( )A. 12 B.
9、 10 C. 3 D. 2+解一：由性质12知数列成等差数+=2由性质3.+=+=2+=10 故选B.解二：由性质3aa= aa=aa=9 loga+ loga+ loga= log(aa)=10故选B性质13：设数列问题 若有奇数个数成等差数列，这奇数个数设为：，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d， 若有奇数个数成等比数列，这奇数个数设为：， ，a，aq，aq，若有偶数个数成等差数列，这偶数个数设为：，a-3d，a-d，a+d，a+2d，若有偶数个数成等比数列，这偶数个数设为：，aq，aq，例12 7个实数组成的数列中，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列。且奇数项的和与偶数项的积差42，
10、首末两项与中间项的和为27，求中间项。解： 设此数列为a-3d，a-d，x，a+d，xq，a+3d 依题意得： 即 解得：x3+2x-12=0 (x-2)(x2+2x+6)=0 x+2x+60恒成立x-2=0 即：x=2性质14：等差数列奇数项与偶数项的性质：（1） 若项数为2n，则s-s=nd；=（2） 若项数为2n-1，则s-s=a；=例13 等差数列前12项的和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27:32，求a与d.解：利用性质14，有：=s=162则s=354-162=192s-s=6d即：192-162=6dd=5从而得出：a=2二. 数列的s公式的变形及应用1.等差数列的
11、s公式的变形1.1 数列a的首项为a，公差为d.则其前n项和为：s=na+将它变为s=+( a-)n.记a=，b= a-，则：s=an+bn.于是有下面的性质：性质1：数列a是公差为d的等差数列 s=an+bn.其中a=性质2：若一个数列a的s=an+bn+c(c0).则该数列必从第二项起是公差为2a的等差数列性质3：若一个数列的前n项和s=an+bn(ab0,s0.待添加的隐藏文字内容2(1) 求公差d的范围；(2)问s，s，s中哪个最大.解：(1) 由性质4知.又a13=12， a= a+4d=12+4d，a= a+2d=12+3d.上式变为(2) 由为最大.1.3. 从a=a+(n-1)
12、d中求得n=(d0)，代入s=中可得：s= a+da-a( a-d) = a+a-记p=，q=.得s=p a+a+q(p=)于是又有下面的性质：性质5.若数列a是公差不为0的等差数列，则：s=p a +a+q(d=)例4.设a是正数组成的数列，其前几项和为s，并且对于所有的自然数n，a与2的等差中项等于s与2的等比中项。求数列a的通项公式解：依条件有= s=( a+4a+4)=a+a+由性质5知，a为等差数列，且d=4.又a=s=a+a+ a=2.a=4n-2.1.4. 在s=中，若a=0，则s=a，所以有性质6：一个数列a为等差数列，且a=0其前n项和s=a例5. 若数列a的s=pa(nN)
13、且a-a=1.求p与a解：由性质6知a为等差数列，且p=, a=0.d= a-a=1.a=n-12.等比数列的s公式的变形(q1).2.1.等比数列a中q1，我们知道若记=k，则有s=k-kq.所以有下面的性质.性质7.数列a是公比为q(q1)的等比数列s=k(1-q)(q1)例6.若s=ka+1(a1.a0)当k= 时，该数列为等比数列。(2).等比数列a中，s=m3+2，求m的值(3).无穷等比数列a前n项和s=a- ()，求所有项的和s解：(1)k=-1(2) s= m3+2=3+2.由性质7知：=-2， m=-6(3)此题很容易做错成=a，或算出a=a-，q=得s=2a-1.其实由性质
14、7,立即知道a=1. s=12.2.等比数列a(q1)中s=-a记a=，b= 便用s=a+ba于是又有：性质8.数列a为公比q1的等比数列s=a+ ba(其中q=)例7 数列a的前n项和s=a-2，求的值解：由性质8知道，数列a为等比数列由b= q=，且a= s=a-2 a=-3=-2以上初步归纳了数列的一些解题技巧，数列问题重在灵活，同时还必须具备整体意识的数学思想，有较强的运算能力；小题巧作由于易操作，对培养学生的求简意识.创造能力有非常重要的作用。参考文献：1 徐生军.等差、等比数列性质趣探.中学数学，1996.12 刘汉顶.应用数列性质解高考题.中学数学，1998.53 李晶. 数列问题. 高中数学课外讲座，1998.44 王哲平.等差、等比数列的s式变形，中学数学教学参考1999.5
