高三数学第二轮专题复习：立体几何(学生版).doc

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1、专题五立体几何考情分析年份题号分数涉及知识点201010141822三棱柱外接球的面积三视图四棱锥（1）证明线线垂直；（2）求线面角的正弦值.20116151822几何体的三视图四棱锥的体积四棱锥（1）证明线线垂直；（2）求二面角的余弦值.20127111922三视图，几何体的体积内接于球的三棱锥体积直三棱柱（1）证明线线垂直；（2）求二面角的大小.2013681822正方体与球，球的体积三视图，几何体的体积三棱柱（1）证明线线垂直；（2）求线面角的正弦值.2014121917三视图，最长的棱长三棱柱（1）证明线线相等；（2）求二面角的余弦值.20156111822锥体的体积估算（九章算术）

2、三视图，表面积凸多面体（1）证明面面垂直；（2）求线线角的余弦值.第1节空间几何体考纲要求（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.知识网络易混、易错、易忘问题大盘点1弄错几何体的形状、数量特征与三视图的关系，尤其是分不清侧视图中的数据与几何体

3、中的数据之间的对应2混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面内”的数学符号关系，应表示为Aa，a.3考生易混淆球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球，内切球，棱切球的半径应分别为a，a.4考生易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.5考生易把平面几何中的相关结论误当做空间中的结论直接利用，如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行，这个结论在空间中是不成立的6考生不清楚空间线面平行与垂直关系中的判断和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，

4、ml，易误得出m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件7求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，若所求的角为90时，不要忘了可证明垂直求空间角.典型例题考向一：直观图与三视图例1.1 如图所示，直观图四边形ABCD是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 .例1.2 （1）（2012年新课标理7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 （2）(2014课标全国理12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最

5、长的棱的长度为()A B6 C D4 （3）(2013课标全国理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()考向二：多面体与球例2.1 (2013课标全国理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()Acm3 Bcm3Ccm3 Dcm3例2.2 （2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶

6、点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) (B) (C) (D) 例2.3 （2012年新课标理11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A. B. C. D. 思维升华多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相

7、垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2a2b2c2求解考向三：几何体中的最值问题例3 (1)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_cm.(2)已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为_思维升华(1)几何体表面的展开图是解决问题的有效方法，对柱体来说运用起来更方便(2)函数方法是解决立体几何最值的基本方法，关键是选择影响目标的一个变量反馈练习1某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A32 B1616 C48 D16322

8、将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体BDA1C1，这个正四面体的体积与正方体体积的比是()A. B. C. D.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是 ()4如右图所示，已知ACB为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPC BPAPBPCCPAPBPC DPAPBPC5(2011北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6 C10 D86(2011浙江)若某几何体的三视图

9、如图所示，则这个几何体的直观图可以是()7一个几何体的正(主)视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱8(2014大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_9如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_10已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，DAB90，ADBC，AD侧

10、面PAB，PAB是等边三角形，DAAB2，BCAD，E是线段AB的中点(1)求证：PECD；(2)求四棱锥PABCD的体积12如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积第2节点、直线、平面之间的位置关系考纲要求（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2：

11、过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，

12、那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识网络典例对接例1.1 (2013江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.例1.2

13、（2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；例2.1 (2013课标全国，理18)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值例2.2 (2015课标全国，理18)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，D

14、F平面ABCD，BE2DF，AEEC(1)证明：平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.例3 如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？请说明理由思维升华(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既

15、要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形1证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行3证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行4证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形

16、、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可5证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面6证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.反馈练习1若空间中四条两两不同

17、的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是_l1l4；l1l4；l1与l4既不垂直也不平行；l1与l4的位置关系不确定2.一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为_3ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是_BD平面CB1D1 ；A1CBD；AC1平面CB1D1 ； AC1BD14在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.5直线m，n均不在平面，内，给出下列命题：若mn，n，则m；若m，则m；

18、若mn，n，则m；若m，则m.其中正确命题的个数是_6.在正三棱锥SABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是_7已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn.其中正确的个数为_8下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)9如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB1

19、3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.10如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点(不包括端点)现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_11如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点，(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1.12如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC120，E，M分别为AB，DE的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，F为AC的中点，AC4.(1)求证：

20、平面ADE平面BCD；(2)求证：FB平面ADE.第3节空间向量与立体几何考纲要求（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（4）解直线的方向向量与平面的法向量.（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.（6）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.知识网络典例对

21、接例1.1 （2011年新课标理 18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。例1.2 (2014课标全国理19)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值例2.1 如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=.DPABC（）求证：BD平面PAC；（）求二面角PCDB的大小；（）求点C到平面PBD的距离.

22、例2.2 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离例3 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题应用的核心

23、是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性1向量法证明空间线面关系思考1：向量法证明线面位置关系的常用根据是什么？研讨：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分别为(a3，b3，c3)，(a4，b4，c4)(1)线线平行：lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2.(2)线线垂直：lmabab0a1a2b1b2c1c20.(3)线面平行：laa0a1a3b1b3c1c30.(4)线面垂直：laaka1ka3，b1kb3，c1kc3.(5)面面平行：ka3ka4，b3k

25、n1，n2|.3向量法求空间距离思考3：如何用向量法求空间距离？研讨：直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离点P到平面的距离：d(其中n为的法向量，M为内任一点)反馈练习1(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60 C120 D1502(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45 B135 C45或135 D903已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面A

26、BC所成的二面角的正切值为_4(教材习题改编)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值_5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部或面上的两个动点，则的最大值是_6已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于_7在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_8如图，三棱锥ABCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为_9在一直角坐标系中已知A(1,6)

27、，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A、B两点间的距离为_10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_11(2014课标全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O为AC的中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由

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