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1、关于圆锥曲线的几组统一的优美结论摘要：圆锥曲线有很多有趣、统一的性质，无论在结构上、形式上都让人耳目一新，在近几年高考试题中频频出现。本文对圆锥曲线的有关性质做简单的归纳与思考。关键词：斜率定比离心率一、圆锥曲线标准方程的两个用定比表示的斜率公式及其在解高考题时的应用。1、若AB是椭圆 (ab0)或双曲线或抛物线 (p0)的焦点弦，F为焦点，且（A点位于B点之上），则弦AB所在直线的斜率k满足 证明：设AB的倾斜角为。当时，直线l为F对应的准线，对于椭圆有，。当F为右焦点时，如图1 ， ，,。当F为左焦点时，如图2，,。(2)当时。当F为右焦点时，如图3 ，。当F为左焦点时，如图4 ，。综上所
2、述，焦点弦AB所在直线的斜率k满足。 对于双曲线，当时，如图5，。当F为右焦点时，,。当F为左焦点时，如图6，。同样地，当时，有。 对于抛物线 (p0)，当时，如图7，有， (此时e=1)。，,。同样地，当时，也有。 2、若AB是椭圆 (ab0)或双曲线或抛物线 (p0)的焦点弦，F为焦点，且（A点位于B点之上），则弦AB所在直线的斜率k满足 对于椭圆，有，。当时，如图8，。当F坐标为(0，-c)时，如图9，。同样地，当时，有。类似地，可证明式对于双曲线和抛物线也成立。结论和在解与定比有关的焦点弦问题时十分方便，它是一个一揽子解决的方法显得十分轻松。例1 已知椭圆C的焦点为到相应准线的距离为，
3、过且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，。(1)求椭圆方程。(2)求直线l的方程。解：(1)如图10，c=。，。椭圆方程为。(2)，直线l的倾斜角为锐角，A在B之上，。=，。直线l的方程为。例2 给定抛物线C：，F是焦点，过点F的直线l 与抛物线C相交于A、B两点。()略。()设，若，求直线l在y轴上截距的变化范围。(2004年高考数学全国巻)。解：如图11，设直线l在y轴上截距为t，则，又e=1，由公式知，。，由图12可知，或。 二、以为定值的圆锥曲线问题。 1、若椭圆 (ab0)上任意一点P(不是长轴的端点)与长轴的两个端点的连线的斜率分别为，则。证明：设P(x，y)， 。2、若双曲
4、线 (a0,b0)上任意一点P(不是实轴的端点)与实轴的两个端点的连线的斜率分别为，则。证明：设P(x，y)， 。3、若M、N是椭圆 (ab0)上关于原点对称的两个点，若P是椭圆上任意一点。直线PM、PN的斜率都存在，记为，则。(2003年上海市春季高考试题)证明：设M(m，n) P(x，y)，则N(-m，-n)。点M(m，n)在该椭圆上 点P(x，y)在该椭圆上 由-得 直线PM、PN的斜率都存在 。4、若点M、N是双曲线 (a0,b0)上关于原点对称的两个点，点P是该双曲线上任意一点。直线PM、PN的斜率都存在，记为，则。证明：设M(m，n) P(x，y)，则N(-m，-n)。点M(m，n
5、)在该双曲线上 点P(x，y)在该双曲线上 由-得 直线PM、PN的斜率都存在 。5、已知椭圆 (ab0)，斜率为的直线交椭圆于A、B两点，若点M是线段AB的中点且直线OM的斜率为，则椭圆的离心率e满足。证明：设 则 点A、B都在该椭圆上 ， 两式相减得 直线AB、OM的斜率都存在 。例3 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点。与=(3,-1)共线。求椭圆的离心率。(2005年高考全国巻)解：设线段AB中点为C。则 与=(3,-1)共线 与=(3,-1)共线 6、已知双曲线 (a0,b0)，斜率为的直线交双曲线于A、B两点，若点M是线段AB
6、的中点，且直线OM的斜率为，则双曲线的离心率e满足。证明：设 则 点A、B都在该双曲线上 ， 两式相减得 直线AB、OM的斜率都存在 。 7、已知椭圆 (ab0)，过椭圆的右焦点F(c，0)的直线交椭圆于A、B两点，交y轴于P点，设则椭圆的离心率e满足证明：设直线l的方程为y=k(x-c)，当x=0时，y=-kc P(0，-kc) 由得 8、若双曲线 (a0,b0)，过双曲线的右焦点F(c，0)的直线交双曲线于A、B两点，交y轴于P点，设则双曲线的离心率e满足证明：设直线l的方程为y=k(x-c)，则P(0，-kc) 由得 对于上述两类问题，粗看是风马牛不相及的圆锥曲线问题，却有如此结构类似的结论，让人联想翩翩、耐人寻味，同时也蕴涵着数学的美，这些统一的优美的结论往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，提高解题的效率 第 7 页2023-4-10。斜率、定比、离心率是圆锥曲线中非常活跃的元素，这三者的巧妙结合更是妙不可言。参考文献1 陈巧年.一道高中数学联赛题的性质推广.中学数学月刊,2004,102 朱宝华.数学技能训练的有效性.中学数学教学参考,2008,103 屠丰庆.一个解析几何典例的探析.河北理科教学研究,2004,3
