中考九年级证明圆的切线例题方法.docx

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1、切线证明法一、若直线 l过 O上某一点 A，证明 l是O的切线，只需连 OA，证明 OAl 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .例 1 如图， 在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D ，交 AC 于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证： EF与O 相切.证明： 连结 OE， AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又AB=BC ，BD=DE ，1= 2.又OB=OE ， OF=OF ，BOF EOF（SAS）OBF= OEF.BF与 O 相切， OB BF.OEF=90 0.说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 2

2、 如图， AD 是BAC 的平分线， 求证： PA 与 O 相切 .证明一： 作直径 AE，连结 EC.AD 是BAC 的平分线，DAB= DAC.PA=PD ，2= 1+ DAC.2= B+ DAB ，1= B.P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.又B= E， 1= EAC EC，E+ EAC=90 01+ EAC=90 0即 OA PA.PA 与O 相切 .证明二：延长 AD 交 O 于 E，连结 AD 是BAC 的平分线， BE=CE ，OEBC.E+ BDE=90 0.OA=OE ， E= 1.PA=PD ，PAD= PDA.又PDA= BDE,1+ PAD=90 0 即 OA

3、 PA.PA 与 O 相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图， AB=AC ，AB是O 的直径， O 交BC于D，DMAC 于M求证： DM 与 O 相切 .证明一： 连结 OD.AB=AC ，B= C.OB=OD ，1= B.1= C.OD AC.DM AC ，DM OD.DM 与 O 相切证明二： 连结 OD ， AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又AB=AC,1= 2.DM AC ，2+ 4=90 01= 3.3+ 4=90 0 即 OD DM.DM 是 O 的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的

4、，解题中注意充分利用已知及图上已知 .例 4 如图，已知： AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，且 CAB=30 0， BD=OB ，D在AB的延长线上 .求证： DC 是O 的切线证明： 连结 OC 、BC.OA=OC ，A= 1= 300.BOC= A+ 1=60 0.又OC=OB ，OBC 是等边三角形 .OB=BC.OB=BD ， OB=BC=BD.DC 是O 的切线 .说明： 此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法 较好 .例 5 如图， AB 是O 的直径， CD AB ，且 OA 2=OD OP.求证： PC 是 O 的切线 .证明： 连结 O

5、COA 2=OD OP ， OA=OC ， OC 2=OD OP ，OC OP .OD OC . 又1= 1 ， OCP ODC.OCP= ODC.CD AB，OCP=90 0PC 是 O 的切线 .说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6 如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E，交 CD 于F.求证： CE 与CFG 的外接圆相切分析： 此题图上没有画出 CFG 的外接圆， 但CFG 是直角三角形， 圆心在斜边 FG的中点，为此我们取 FG 的中点 O ，连结 O可得解 .C ，证明 CEOC 即证明： 取 FG 中点 O ，连结 OC.AB

6、CD 是正方形，BC CD ，CFG 是 RtO 是 FG 的中点， O 是 Rt CFG 的外心 .OC=OG ，3= G ， AD BC， G= 4.AD=CD ， DE=DE ，ADE= CDE=45 0 ，ADE CDE（ SAS ）4= 1 ，1= 3.2+ 3=90 0,1+ 2=90 0.即 CE OC.证明二：OA 二、若直线 l 与O 没有已知的公共点，又要证明 l是 O 的切线，只需作l ， A 为垂足，证明 OA 是 O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”例 7 如图， AB=AC ，D 为 BC 中点， D 与 AB 切于 E 点.求证： AC 与 D 相切 .证

7、明一： 连结 DE，作 DFAC，F 是垂足 .AB 是 D 的切线，DE AB.DFAC，DEB= DFC=90 0.AB=AC ，B= C.又BD=CD ，BDE CDF （ AAS ） DF=DE.F 在 D 上.AC 是 D 的切线连结 DE，AD，作 DFAC，F是垂足 .AB 与 D 相切，AB=AC ， BD=CD ，1= 2.DE AB ，DFAC ，DE=DF.F 在 D 上 .AC 与 D 相切 .说明： 证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性 质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关 .例 8 已知：如图， AC，BD 与 O

8、切于 A、B，且 ACBD ，若COD=90 0.E 为垂足 .求证： CD是 O的切线 .证明一： 连结 OA ，OB，作 OECD，AC ，BD与 O 相切，AC OA ， BD OB.AC BD，1+ 2+ 3+ 4=180 0.COD=90 0 ，2+ 3=90 0 ，1+ 4=90 04+ 5=90 0.1= 5.RtAOC RtBDO. AC OC OB OD .OA=OB ， AC OC . OA OD . 又CAO= COD=90 0，AOC ODC ，1= 2.又OA AC ，OE CD,OE=OA.E点在 O 上.CD 是 O 的切线 .证明二： 连结 OA ， OB ，作

9、 OECD于E，延长 DO 交CA延长线于 F.AC ，BD 与O 相切，AC OA ，BDOB.AC BD，F= BDO.又OA=OB ，AOF BOD （AAS）COD=90 0，CF=CD ，1= 2.又OA AC ，OE CD，OE=OA.E点在 O 上.CD 是O 的切线 .证明三：连结 AO 并延长，作 OE CD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF.AC 与 O 相切，AC AO.AC BD，AO BD.BD 与 O 相切于 B，AO 的延长线必经过点 B.AB 是 O 的直径 .AC BD ，OA=OB ，CF=DF ，OF AC ，1= COF.COD=90 0，CF=D

10、F ，1OFCD CF .22= COF.1= 2.OA AC，OECD ，OE=OA.E点在 O 上.CD 是 O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明 1= 2 ，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1= 2.证明三是利用梯形的性质证明 1= 2，这种方法必需先证明 A、O、B 三 点共线 .此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解 . 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考 .切线的性质定理 : 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论 : 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 切线的性质定理的推论 : 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 :

11、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长定理 : 从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例 1 】如图 1，已知 AB 为O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， BDOB，点 C 在圆上，CAB30o求证：DC 是O 的切线思路：要想证明 DC 是O 的切线，只要我们连接 OC，证明OCD 90 o即可证明：连接 OC ，BCAB 为O 的直径，ACB90o1CAB 30o，BC ABOB21BDOB，BC OD OCD90o

12、2DC 是 O 的切线评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论， 特别要注意“经过半径的外端 ”和“ 垂直于这条半径 ”这两个条件缺一不可，否则就不是圆 的切线例2】如图 2，已知 AB为O的直径，过点 B作O的切线 BC，连接 OC，弦 AD OC求证： CD 是O 的切线思路： 本题中既有圆的切线是已知条件， 又证明另一条直线是圆的切线 也就是既要注意运用圆的切线的性质定理， 又要运用圆的切线的判定定理欲证明 CD 是O 的切线，只要证明 ODC 90o 即可证明：连接 OD OCAD ，13，24OA OD ，1 2 3 4 又OBOD ，OCOC，OBCODC OBCODC BC

13、 是O 的切线，OBC90oODC90oDC 是O 的切线【例3】如图2，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D求证： AC 平分DAB 思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径图3证明：连接 OC CD 是O 的切线，OCCDADCD，OCAD 12OCOA ，1323AC 平分DAB 评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么 半径垂直切线【例 4】 如图 1，B、C是O上的点，线段 AB经过圆心 O，连接AC、BC，过点 C作 CDAB 于D，ACD =2

14、BAC是 O的切线吗？为什么？解： AC 是O 的切线 理由：连接 OC ，OC= OB ，OCB= BCOD 是BOC 的外角， COD = OCB+ B=2 BACD=2 B，ACD= CODCDAB 于 D， DCO + COD =90 DCO + ACD =90 即 OC AC C为 O 上的点，AC 是 O 的切线例 5】 如图 2 ，已知是ABC 的外接圆， AB 是的直径， D 是AB的延长线上的一点，AEDC交 DC的延长线于点 E，且AC 平分EAB求 证： DE是O 的切线证明：连接 OC，则 OA=OC，CAO= ACO，AC 平分EAB，EAC= CAO = AC，AE

15、CO，又 AE DE，CODE，DE是O 的切线二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径例 6】 如图 3，AB=AC ，OB=OC ，O与AB 边相切于点 D证明:连接 OD ，作 OEAC，垂足为 EAB=AC, OB=OCAO 为BAC 角平分线， DAO= EAOO 与 AB 相切于点 D ，BDO = CEO=90 AO=AOADO AEO，所以 OE= OD OD 是O 的半径，OE 是O 的半径O 与 AC 边相切【例 7】 如图，在ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的 O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 O

16、D 延长线于 F.求证： EF与O 相切.证明： 连结 OE，AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又AB=BC ，3= 4.BD=DE ，1= 2.BOFEOF（SAS）. OBF= OEF. BF与 O 相切， OBBF. OEF=90 0. EF与 O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 8】如图， AD 是BAC的平分线， P为 BC延长线上一点，且 PA=PD.求证： PA与 O 相切.证明一： 作直径 AE，连结 EC.2= 1+ DAC.AD 是BAC 的平分线， DAB= DAC.PA=PD ，2= B+ DAB ， 1= B.又B= E，1= EAE 是 O

17、的直径，ACEC，E+ EAC=90 0.1+ EAC=90 0. 即 OA PA.PA与 O 相切.证明二：延长AD交O于E，连结 OA ， OE.AD是BAC 的平分线，BE=CE，OEBC.E+ BDE=90 0.OA=OE ，E= 1.PA=PD ， PAD= PDA.又PDA= BDE,1+ PAD=90 0 即 OA PA.PA与 O 相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运 用.【例9】如图，AB=AC ，AB是O 的直径，O交BC于D，DMAC于求证：DM 与O 相切.证明一： 连结 OD.AB=AC ， B=C.OB=OD ，1= B.1= C

18、.OD AC.DM AC ，DM OD.DM 与O 相切证明二： 连结 OD ，AD.AB 是 O 的直径，AD BC. 又AB=AC,1= 2.DM AC ，2+ 4=90 0 OA=OD ，1= 3.3+ 4=90 0即 OD DM.DM 是 O 的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的 .证明二是通过证两角互余证明 垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知 .【例 10 】如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且CAB=30 0，BD=OB ，D 在 AB 的延长线上 .求证：DC 是O 的切线 证明： 连结 OC、BC.OA=OC ，A= 1= 300.BOC= A+

19、1=60 0 又OC=OB ，OBC 是等边三角形 . OB=BC.OB=BD ，OB=BC=BD. OCCD.DC 是O 的切线 .说明： 此题解法颇多，但这种方法较好例 12】 如图， AB是O 的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证： PC是 O 的切线.证明： 连结 OCOA 2=OD OP，OA=OC ，OC2=OD OP ，OC OP .OD OC .又1= 1 ，OCPODC.OCP= ODC.CDAB，OCP=90 0.PC是 O 的切线.说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图， ABCD 是正方形， G是BC延长线上一点， AG交BD 于 E，交 CD

20、于 F.求证： CE 与CFG 的外接圆相切 .分析：此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但CFG 是直角三角形，圆 心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O ，连结 OC，证明 CEOC即可得解.证明： 取 FG 中点 O，连结 OC.ABCD 是正方形， BCCD，CFG 是 Rt O 是 FG 的中点， O 是 RtCFG 的外心 .OC=OG ，3= G，AD BC，G= 4.AD=CD ，DE=DE ，ADE= CDE=45 0 ， ADECDE（SAS）4= 1 ，1= 3.2+ 3=90 0,1+ 2=90 0.即 CE OC.CE与CFG 的外接圆相切 二、若直线

21、l 与 O 没有已知的公共点又要证明 l 是 O 的切线，只需作 OAl，A 为垂足，证明 OA 是O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”例14】 如图， AB=AC ，D为BC中点， D与AB切于 E点.求证： AC与D 相切.证明一： 连结 DE，作 DFAC，F 是垂足.AB 是 D 的切线，DEAB.DFAC，DEB= DFC=90 0AB=AC ，B=C.又BD=CD ，BDECDF（AAS）DF=DE.证明二：AC 是 D 的切线连结 DE，AD ，作 DFAC，AB 与D 相切，DEAB.F 是垂足 .F在D 上.AB=AC ，BD=CD ，1= 2.DEAB，DFAC，

22、DE=DF.F在D 上.AC 与 D 相切 .说明： 证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关 .【例 15】 已知：如图， AC，BD与O切于 A、B，且 ACBD，若 COD=90 0.求证：CD 是O 的切线.证明：连结 OA ， OB ，作 OECD于E，延长 DO 交CA延长线于 F.AC，BD 与 O 相切， ACOA，BDOB.ACBD，F= BDO. 又OA=OB ，AOF BOD （AAS ） OF=OD.COD=90 0CF=CD ，1= 2. 又OAAC，OECD， OE=OA.E点在 O 上.CD 是O 的切线 .