《二次函数压轴题之平行四边形存在性问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数压轴题之平行四边形存在性问题.docx（21页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：1）对边平行且相等可转化为：xAxBxDxCyAyByDyC2）对角线互相平分转化为：xAxCxBxD22yAyCyByD22可以理解为 AC 的中点也是 BD 的中点小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统xAxBxDxCxAxCxDxB ，yAyByDyCyAyCyDyBxAxCxBxD22xAxCxBxDyAyCyByDyAyCyByD22当 AC 和 BD 为对角线时，结果可简记为： A C B D
2、（各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析， 而我们要求证的是平行四边形存在性问题， 此处当有一 问：若坐标系中的 4 个点 A、B、C、D 满足 “A+C=B+D”，则四边形 ABCD 是否一定为平行 四边形？反例如下：之所以存在反例是因为 “四边形 ABCD 是平行四边形 ”与 “AC、BD 中点是同一个点 ”并不是完 全等价的转化，故存在反例虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形 ABCD 是平行四边形： AC 、BD 一定是对角线（2）以 A、 B、C、 D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论【题型分类】
3、 平行四边形存在性问题通常可分为 “三定一动 ”和 “两定两动 ”两大类问题1三定一动已知 A（1，2）B（ 5， 3）C（3，5），在坐标系内确定点 D 使得以 A、B、C、D 四个点为顶 点的四边形是平行四边形D2D1CD3x思路 1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设 D 点坐标为（ m，n），又 A（1，2）B（5，3）C（3， 5），可得：1） BC 为对角线时，53351m12 mn，可得 D1 7,6 ；2） AC 为对角线时，1 3 5 m12 35 53 mn，解得 D2 1,4 ；3） AB 为对角线时，15233 m ，解得 D3 3,05n当然，如果对这个计算过程非常熟
4、悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可比如： D1=B C A ，D2=A C B ， D3 AB C （此处特指点的横纵坐标相加减）2两定两动 已知 A（ 1，1）、B（ 3， 边形是平行四边形，求2），点 C 在 x 轴上，点C、 D 坐标D在 y轴上，且以 A、B、C、D为顶点的四【分析】设 C 点坐标为（ m ， 0），D 点坐标为0，n），又 A（1， 1）、B（3，2）1）AB 为对角线时，0 ，解得n4，故 C（4， 0）、D （0，3）；32）AC 为对角线时，0 ，解得n2，故 C（2，0）、D （0，-1）；13）AD 为对角线时，m，解得02 ，故 C（-2，0）、D（
5、0，1）1DCO【动点综述】“三定一动 ”的动点和 “两定两动 ”的动点性质并不完全一样， “三定一动 ”中动点是在平面中， 横纵坐标都不确定， 需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为 “全动点 ”，而有一些动点在 坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为 “半动点 ”从上面例子可以看出， 虽然动点数量不同， 但本质都是在用两个字母表示出4 个点坐标 若把一个字母称为一个 “未知量 ”也可理解为：全动点未知量 =半动点未知量 2找不同图形的存在性最多可以有几个未知量， 都是根据图形决定的， 像平行四边形， 只能有 2 个未知量究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且
6、相等；（2）对角线互相平分但此两个性质统一成一个等式：xA xC xB xD ，yA yC yB yD两个等式， 只能允许最多存在两个未知数， 即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只 能存在 2 个未知量由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题【2019 宜宾中考】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ax2 2x c 与直线 y kx b 都经过 A（0, 3）、 B（3,0） 两点，该抛物线的顶点为 C（1）求此抛物线和直线 AB 的解析式；（2）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M ，过 M 作 x 轴的垂
7、线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当 PAB 面积最大时，求点 P 的坐标，并 求PAB 面积的最大值分析】1）抛物线： y x2 2x 3 ，直线 AB： y x 3 ；2）考虑 ECMN ，故若使点 M、N、C、E是平行四边形，则 EC=MN 即可，E（1，-2）、C（1，-4），EC=2，设 M 点坐标为（ m， m-3）（ m1），则 N 点坐标为 m,m2 2m 3 ，则 MN= MN2m 2m 3 m 32m 3m由题意得： m2 3m 2 ，m2
8、3m 2，解得： m1 3 17 ， m2 3 17 （舍），22对应 P 点坐标为3 17 , 3 172 , 22m 3m 2 ，解得： m3 2 ， m4 对应 P 点坐标为（ 2，-1）综上， P点坐标为 3 217, 3 2 17 或（ 2，-1）3）铅垂法可解2018 河南中考（删减） 】如图，抛物线 y ax2 6x c交x轴于 A、B两点，交y轴于点 C直线 y x 5经过 B、C1）求抛物线的解析式；2）过点 A的直线交直线 BC于点 M 当 AM BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B， C 重合），作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q ，若以点 A ， M ，
9、 P ， Q 为顶点的 四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标分析】1) yx2 6x 5 ；2）考虑到 AM PQ，故只需 AM=PQ 即可过点 A 作 BC 的平行线，与抛物线交点即为 P 点，易得直线 AP 的解析式： y x 1 ，联立方程： x2 6x 5 x 1，解得： x1 1（舍）， x2 4，故对应 P 点坐标为（ 4， 3）；作点 A 关于 B 点的对称点 A ，过点 A 作 BC 的平行线，与抛物线的交点亦为题目所求 P 点， 易求直线解析式： y x 9 ，联立方程：2x2 6x 5 x 9 ，解得：5 41 5 41 x1， x222故对应 P 点坐标为5 41 13
10、 41225 41, 13 412 , 2Qy5 41 13 412 , 2【2018 郴州中考（删减） 】如图，已知抛物线 y x2 bx c与x轴交于 A（ 1,0），B（3,0） 两点，与 y轴交于 C点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为 t （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M ，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由分析】1）抛物线： y x2 2x 3 ；2）由题意可知 CP、 DM 为对角线，考虑 DM 在直线 x=-1 上，故 CP 中点
11、在直线 x=-1 上，点 C坐标为（ 0，3），故点 P 横坐标为 2，代入解析式得 P（2，3）， 易知 M 点坐标为（ 1， 6）【三定一动】 （2018恩施州中考删减）如图， 坐标为 （ 1,0） ， OC 2 ， （1）求抛物线的解析式； （2）P 为坐标平面内一点，OB已知抛物线交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于 C 点， A点 3 ，点 D 为抛物线的顶点B 、C 、D 、P为顶点的四边形是平行四边形， 求 P点坐标分析】1）抛物线： y2x2 4 x 2 ；332）设 P 点坐标为m， n），又 B（ 3，0）、若 BC 为对角线，由题意得：故 P1 的坐标为 2,2；3若 B
12、D 为对角线，由题意得：2故 P2坐标为 4,23 ；若 BP 为对角线，由题意得：C（0，2）、D1，83m1mn8，3解得：nm0m解得：n2n01m28，3解得：n023018314 故 P3 坐标为 2,134 两定两动： x 轴 +抛物线】2018济宁中考删减）如图，已知抛物线y ax2 bx c（a 0）经过点 A（3,0） ， B（ 1,0），C（0, 3） （1）求该抛物线的解析式；（2）若点 Q在 x轴上，点 P在抛物线上，是否存在以点 B，C ，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由分析】1）抛物线： y x2 2x 3 ；2）列方
13、程组求：设 P m,m2 2m 3Q n,0 ，又 B（-1， 0）、C（0，-3），若 BC 为对角线，由题意得：故对应的 P（ 2，-3）；若 BP 为对角线，由题意得：m2m0或（舍），n3n1m2m0或（舍），n1n110mn2 ，解得：0 3 m 2m 3 0m 1 n 02 ，解得： m2 2m 3 0 0 3故对应的 P（ 2，-3）；综上所述， P 点坐标为（ 2， -3）、 1 7,3 、 1 7,3两定两动：对称轴 +抛物线】2019包头中考删减） 如图，在平面直角坐标系中， 已知抛物线 y ax2 bx 2（a 0）与 x轴交于 A（ 1,0） ， B（3,0） 两点，与
14、 y轴交于点 C，连接 BC1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M ，使得以 B ， C ， M ， N 为 顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标； 若不 存在，请说明理由1）抛物线： y 224xx2，对称轴：直线x=1；332）设 M 点坐标为22 m, m4m2N 点坐标为1,n33又 B（3， 0）、C（0，2）30m1若 BC 为对角线，由题意得：224，解得02mm2n33故 M 点坐标为（2，2）；31m0若 BN 为对角线，由题意得：224，解得0nmm223310故 M 点坐标
15、为 4, 10 ；分析】3n0m44， n3m310若 BM 为对角线，由题意得：2 2 4 ，解得 m m 2 0 2 n33故 M 点坐标为2, 130 nm216 ，3两定两动：斜线 +抛物线】2019 咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线y 1 x 2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y212x2 bx c经过 A， B两点且与 x轴的负半轴交于点 C 2（1）求该抛物线的解析式；（2）已知 E ， F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当 B ， O ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标分析】1）抛物线： y
16、1x2 3 x 2 ；2212）设 E 点坐标为 m, m 2 ，2又 B（0，2）、 O（0，0），若 OB 为对角线，由题意得：解得： m1 2 2 2 或 m2 n1 2 2 2 n2F 点坐标为 n,1 2 3nn222，00mn1123，0 2 m2 n2n22222 2 2 ，2 2 2故 E 点坐标为 2 2 2,3 2 或 2 2 2,3 2 ； 0m0n若 OE 为对角线，由题意得： 1 1 2 30 m 2 2 n n 22 2 2 解得： m3 2 2 2 或 m4 2 2 2 ，n3 2 2 2n4 2 2 2故 E 点坐标为 2 2 2,1 2 或 2 2 2,1若
17、OF 为对角线，由题意得：0n0m1231 ，解得：m520nn22 m 2n522222；yBAACOF11）x故 E 点坐标为（ 2 ，E1两定两动：抛物线 +抛物线】（2019连云港中考删减）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 L1: y x2 bx c过点1 2 3C（0, 3） ，与抛物线 L2: yx2x 2的一个交点为 A，且点 A的横坐标为 2，点 P、Q22分别是抛物线 L1、 L2 上的动点1）求抛物线 L1 对应的函数表达式；2）若以点 A、C 、 P、 Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标分析】1） L1解析式： y x2 2x 3 ；2）虽然两个动点均在
18、抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解12 n 2设 P 点坐标为 m,m22m 3 ， Q 点坐标为n,2，又 C（0， -3）、A（ 2，-3），02mn若 CA 为对角线，由题意得 ;323m2m3n 2 ，2解得： nm 5 3或m0n2舍），故P 点坐标为-3，12）；m2n若 CP 为对角线，由题意得：23 m 2m12n23n 2 ，2解得： nm 13或43 ，故103P 点坐标为（3，0）13 ；9若 CQ 为对角线，由题意得：0n2123n22m3n23m22 2m 3m解得：n11或nm 20 （舍），故 P点坐标为-1，0）综上所述， P 点坐标为（ -3，12）、（3，
19、0）、139-1，0）【四动点构造】（2019锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 3x 3 的图像与 x轴4交于点 A，与 y轴交于 B点，抛物线 y x2 bx c经过 A ， B两点，在第一象限的抛物线 上取一点 D ，过点 D 作 DC x 轴于点 C ，交直线 AB于点 E （1）求抛物线的函数表达式（2）F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点 D 重合），点 G 是线段 AB 上的动点连接 DF ，FG ，当四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 G 的坐标分析】1）抛物线： y x2 13x 3 ；42）本题 4 个点皆为动点，使四边形 DEGF
20、 为平行四边形易，而使周长最大难3 2 13设 E 点坐标为 m, 3m 3 ，则 D 点坐标为 m, m2 13 m 3 ，5 4 2m444设 F 点坐标为 n, n213n34，则 G 点坐标为n, 3n 3 ，421332DE m2m3m3m 4m ，4421332FGn2n3n3n2 4n ，44由 DE=FG ，可得：m2 4mn2 4n ，mn，mn4 C DEGF4m55m22m 3m 10 ，13 9 G 点坐标为 143,196当 m 2 时，四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大，此时过点 G 作 GH CD 交 CD 于 H 点，则 EG * 5 n m4又 DE m 4m ，
