人教版高一数学集合和简易逻辑.doc

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1、高一数学集合和简易逻辑一、知识结构二、重点难点重点：有关集合的基本概念、术语和符号；与()型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件；难点：有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系；对绝对值意义的理解；弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用。三、知识点解析1、集合（1）定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集。（2）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。（3）子集：

2、一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作。这时我们也说集合A是集合B的子集。当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作。我们规定：空集是任何集合的子集。也就是说，对任何一个集合A，有。（4）等集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作AB。（5）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。（6) 补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(

3、即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作，即。（7) 交集，并集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作(读作“A交B”)，即。而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作(读作“A并B”)，即。对于交集“”，不能简单地认为中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于，这是因为并非任何两个集合总有公共元素。当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是；对于并集“”，不能简单地理解为是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合，这是因为A与B可能有公共元素，故上

4、述理解与集合的互异性不符。2、含绝对值的不等式解法：绝对值不等式的解法：的解集是；的解集是。注：对于的解法可用换元法解。3、一元二次不等式解法：一元二次不等式的解集如下表：判别式二次函数的图像一元二次方程的根有两相异实根 有两相等实根 没有实根的解集的解集对于绝对值不等式可采用平方去绝对值法，即化为（或，其中）。4、简易逻辑：（1）逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题。（2）四种命题：1）定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命

5、题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题；一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题；2）基本规律：复合命题真假判断表非p形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假p或q形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp或q真真真真假真假真真假假

6、假四种命题之间的相互关系（3）充分条件与必要条件：1）定义：一般地，如果已知，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件；一般地，如果既有，又有，就记作。这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件。2）基本规律：原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真。四、例题1、集合例1 （1）用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来；（2）设集合，试用列举法表示集合A。分析 （1）中集合含的元素为；（2）中集合所含的元素是点。解 （1）；用描述法表示为不超过10的非负偶数，或；

7、（2）。说明 注意（2）中集合A的元素是点的坐标。例2 试用适当的方式表示：被3整除余1的自然数集合。分析 被3整除余1的自然数可以表示为。解 集合可以表示为。说明 虽然这一集合是无限集，但也可以用列举法来表示：。例3 列举集合的所有子集。分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个解 含有0个元素的子集有；有含有1个元素的子集有；含有2个元素的子集有；含有3个元素的子集有。共有子集8个。例4 已知集合，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C、分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中

8、元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7。答 或或。说明 逆向思维能力在解题中起重要作用。 例5 设，且，若，则=_。分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于 ，则由韦达定理可解。答 。说明 集合问题常常与方程问题相结合。例6 已知则是 A、 B、 C、 D、以上均不对分析 先考虑相关函数的值域解 ，在数轴上易得。答 选C。例7 设集合，则 A、 B、 C、D、分析 画数轴表示答 选D。说明 集合运算借助数轴是常用技巧例8 集合，则_。分析 即为两条直线与的交点集合。答 。说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么（重点讲解）例9 集合A含

9、有10个元素，集合B含有8个元素，集合含有3个元素，则集合有_个元素。分析 由集合AB含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合AB的元素个数为108315。答 15。例10 设集合，若，求。分析 欲求，需根据列出关于的方程，求出，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验。解 由，可得或，解得或5。当时，B中元素违反互异性，故应舍去；当时，满足题意，此时；当时，此时，这与矛盾，故应舍去。从而可得，且。说明 本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的（重点讲解）2、含绝对值得不等式解法例1 绝

10、对值大于2且不大于5的最小整数是 A、3 B、2 C、2D、5分析 列出不等式。解 根据题意得，从而或，其中最小整数为5。答 选D。例2 实数满足，那么 A、 B、 C、 D、分析 根据符号法则及绝对值的意义。解 异号， 。答 选C。例3 解不等式。分析 以通过变形化简，把该不等式化归为或型的不等式来解。解 事实上原不等式可化为，或。由得，解之得；由得，解之得或，从而得到原不等式的解集为。说明 本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论例4 已知关于的不等式的解集是非空集合，则实数的取值范围是_。分析 可以根据对的意义的不同理解，获得多种方法解 当时，不等式化为即有解；当时，不等式化为，即；当时，

11、不等式化为，即有解，而，。综上所述：时不等式有解，从而解集非空。说明：通过多种解法锻炼思维的发散性。例5 解不等式。分析 采取用平方法去掉绝对值。解 原不等式同解于，即，即，得，所以原不等式的解集为。3、一元二次不等式：例1 解关于的不等式。解：，或，即，或。例2 若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。解 由方程有实根得 ；由方程有实根得，所以；由，可知，的取值范围是。例3 已知集合，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围。解 （1），由数轴可知，要使，则。（2）由得。小结：去绝对值符号后解不等式的方法；注意分情况讨论后是求交集，还是求并集。例4 已知二次函数，当时有，解不等

12、式。解 由已知得是方程的根，不等式，即，即不等式的解集为。说明 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间联系十分密切，二次函数的图象与轴交点的个数，就是相应一元二次方程解的个数，交点的横坐标就是方程的根；图象上使函数值大于或小于0的的集合，就是一元二次不等式大于或小于0的解集。例5 当取何值时，关于的二次不等式的解为任何实数。选题意图：本例主要训练一元二次不等式的解集与一元二次方程的解之间的关系，培养学生仔细审题的良好习惯。解 由已知得，即 。说明 题中“关于的二次不等式”这句话隐含着这一条件，审题时应注意领会，若把条件改为“关于的不等式”应对、这两种情况分别讨论。例6 解关于的不等式解

13、 （1）当，即时，原不等式化为，所以，当时，原不等式的解集是；（2）当，即时，；关于x的方程的两根是，所以原不等式的解集是。(3)当，即时，当，即时，方程的两根是，原不等式解集为；当时，原不等式化为，即，此时原不等式的解集为；当时，且，此时原不等式解集为R。综上所得：当时，原不等式的解集是R；当时，原不等式的解集是；当时，原不等式解集是；当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是。说明 当不等式中含有字母系数时，应按字母的取值范围分类讨论，做到不重不漏。解题时，应注意将二次项系数化为正的。4、简易逻辑：例1 下列语句中不是命题的是 A、台湾是中国的 B、两军相遇勇者胜C、上海是中国最大的城

14、市 D、连接A、B两点分析 “D”是描述性语句答 D。例2 命题“方程的解是”中，使用的逻辑联结词的情况是 A、没有使用联结词 B、使用了逻辑联结词“或”C、使用了逻辑联结词“且” D、使用了逻辑联结词“非”分析 注意到是或。答 选B。例3 命题梯形不是平行四边形；等腰三角形的底角相等；有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；60是5或2的公倍数，其中复合命题有 A、 B、 C、 D、分析 是简单命题，其余的均为复合命题。解 选A。例4 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(1)4既是8的约数，也是12的约数； (2)张明是数学课代表或英语课代数； (3)江苏省不是

15、中国面积最大的省分析 先寻找逻辑联结词，再确定被联结的简单命题解 (1)p且q，p：4是8的约数，q：4是12的约数；(2)p或q，p：张明是数学课代表，q：张明是英语课代表；(3)非p、p：江苏省是中国面积最大的省。例5 以下判断正确的是 A、若p是真命题，则“p且q”一定是真命题 B、命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C、命题“p且q”是假命题时，命题p一定是假命题 D、命题p是假命题时，命题“p且q”不一定是假命题解 根据真值表，选B。说明 在记忆真值表的时候，要体会它的合理性。例6 如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么 A、命题p不一定是假命题 B、命题q一定是真

16、命题C、命题q不一定是真命题 D、命题p与命题q的真值相同分析 p为假，从而q为真解 选B。例7 若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有 A、p真q真 B、p假q假 C、p真q假 D、p假q真分析 利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论解 “p或q”的否定是“非p且非q”，这是一个真命题，所以由真值表非p、非q都是真命题，那么p假q假选B。例8 p：菱形的对角线互相垂直q：菱形的对角线互相平分求下列复合命题：(1)p或q (2)p且q (3)非p分析 一般的问题都是“拆”复合命题，这儿是“造”复合命题，关键在于“合”解 (1)菱形的对角线互相垂直或平分； (2)菱

17、形的对角线互相垂直且平分； (3)菱形的对角线互相不垂直例9 如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么 A、命题p一定是假命题 B、命题q一定是假命题C、命题q一定是真命题 D、命题q是真命题或者假命题分析 利用真值表回推答 选D。说明 解题过程中注意发挥逆向思维的作用例10 命题“非空集合中的元素既是A中的元素也是B中元素”是_形式命题“非空集合中的元素是A的元素或是B的元素”是_形式分析 则且，填p且q。则或，填p或q。答 填p且q；p或q。说明 本题是集合问题与命题概念的结合。例11 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假。(1)8或6是30的约数；

18、(2)矩形的对角线垂直平分； (3)方程没有实数根。分析 分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假。解 (1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)。“q或q”为真。(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)“p且q”为假。(3)非p、p：有实根(假)，非p为真。说明 将简易逻辑知识负载在其他知识之上。例12 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为_。它的逆命题为_，否命题为_，逆否命题为_。分析 只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了。解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两

19、个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角。例13 分别写出命题“若，则全为0”的逆命题、否命题和逆否命题。分析 根据命题的四种形式的结构确定。解 逆命题：若全为0，则；否命题：若，则不全为0；逆否命题：若不全为0，则。说明 “全为0”的否定不要写成“全不为0”，应当是“不全为0”，这要特别小心。例14 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题内接于圆的四边形的对角互补；已知是实数，若，则；分析 首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解 对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四

20、边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”。对：原命题：“已知是实数，若，则”，其中“已知是实数”是大前提，“”是条件，“”是结论所以：逆命题：“已知是实数，若，则”；否命题：“已知是实数，若，则”(注意“”的否定是“”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知是实数，若，则”。逆否命题还可以写成：“已知是实数，若，则两个等式至少有一个不成立”。说明 要注意大前题的处理试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假。例15 已知是方程的两根，则p是q的 A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换。解 是方程的两根，的值分别为1，6，。因此选A。说明 判断命题为假命题可以通过举反例。