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1、专题提升5与垂径定理有关的辅助线1如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB宽为8 cm，输水管底部到水面的距离为2 cm，则该输水管的半径为(C)(第1题)A3 cm B4 cmC5 cm D6 cm【解】连结OA，过点O作OCAB交AB于点D.设该输水管的半径为r(cm)AB宽为8 cm，AD4 cm.DC2 cm，OD(r2) cm，r2(r2)242，r5(cm)2如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为(D)(第2题)A4 m B5 mC6 m D8 m【解】连结OA.CD8，OC5，OD3.由已知，得CDAB，则AD25
2、232，解得AD4.AB8.3已知O的直径CD10 cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB8 cm，则AC的长为(C)A2 cm B4 cmC2 cm或4 cm D2 cm或4 cm【解】连结AO.当点C的位置如解图所示时，易得AC4(cm)；当点C的位置如解图所示时，易得AC2(cm)(第3题解)4如图，O的直径为10 cm，弦AB为8 cm，P是弦AB上一点若OP的长是整数，则满足条件的点P有(D)(第4题)A2个 B3个C4个 D5个【解】过点O作OCAB于点C，连结OA.OA5，ACAB4，OC3.3OP5，OP的长为3或4或5.当OP3时，点P只能与点C重合；当OP4时，点P
3、可以在AC上，也可以在BC上，有2个点P；当OP5时，点P与点A或点B重合综上所述，满足条件的点P有5个5如图，在以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，AB2CD，弦AB的弦心距OPCD，小圆和大圆的半径分别为r，R，则(第5题)【解】连结OC，OA.AB2CD，OPCD，OPAB，OPCPAP.R2OP2AP25OP2，r2OP2CP22OP2，ROP，rOP，.6如图，O的半径OP10 cm，弦AB过OP的中点Q，且OQB45，则弦AB的弦心距为cm，弦AB的长为5cm.(第6题)【解】过点O作OCAB于点C，连结OA.O的半径OP10 cm，弦AB过OP的中点Q，OQ5
4、cm.OCQ90，OQB45，OCQ为等腰直角三角形，OC cm.在RtAOC中，根据勾股定理，得AC cm，AB2AC5 cm.7已知O的半径为2，弦BC2 ，A是O上一点，且，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3【解】O的半径为2，弦BC2 ，A是O上一点，且，ADBC，BDBC.分两种情况讨论：如解图所示，连结OB.在RtOBD中，BD2OD2OB2，即()2OD222，解得OD1.ADOAOD211.(第7题解)如解图所示，连结OB.同理于，得ADOAOD213.8如图，在RtAOB中，O90，OA6，OB8.以点O为圆心，OA长为半径作圆交AB于点C，求BC的长【解】过点O作A
5、B的垂线，垂足为E，连结OC.AB10，(第8题)OE，AE，AC2AE，BCABAC10.(第9题)9如图，AB为O的直径，弦CDAB，弦DEAB.求证：.【解】过圆心O作OGCD交O于点G，交CD于点H.OGCD，.又CDAB，OGAB.DEAB，且AB是O的直径，.10如图，半径为5的P与y轴交于点M(0，4)，N(0，10)，函数y(x0)的图象过点P，求k的值(第10题)【解】过点P作PAMN于点A，连结PM，PN.点M(0，4)，N(0，10)，MN6.PAMN，MAMN3.OA|4|37.在RtMPA中，PA4，点P(4，7)将点P(4，7)的坐标代入y，得k28.11已知ABC
6、内接于O，且ABAC，O的半径等于6 cm，点O到BC的距离为2 cm，求AB的长【解】当ABC是锐角三角形时，如解图所示，连结OB，OA，延长AO交BC于点D，易知ADBC.在RtOBD中，OB6 cm，OD2 cm，BD4 (cm)在RtABD中，ADOAOD628(cm)，BD4 cm，AB4(cm)(第11题解)当ABC是钝角三角形时，如解图所示，连结OB，OA，OA与BC交于点D，易知OABC.在RtOBD中，OB6 cm，OD2 cm，BD4 (cm)在RtABD中，ADOAOD624(cm)，BD4 cm，AB4 (cm)综上所述，AB的长为4 cm或4 cm.12如图所示为一座
7、桥，桥拱是弧形(水面上的部分)，测量时，只测得桥拱下水面宽AB为16 m，桥拱最高处C离水面4 m.(1)求桥拱所在圆的半径(2)若大雨过后，桥下水面宽为12 m，问：水面上涨了多少(第12题)【解】(1)如解图，设点O为的圆心，连结OA，OC，OC交AB于点D.根据题意，可得C是的中点，OCAB，ADAB168(m)设O的半径为x(m)，则在RtOAD中，OA2AD2OD2，即x282(x4)2，解得x10.桥拱所在圆的半径为10 m.(第12题解)(2)设河水上涨到EF的位置，如解图，这时EF12 m，EFAB，则OCEF(垂足为M)，EMEF6 m.连结OE，则有OE10 m.OM8(m
8、)ODOCCD1046(m)，DMOMOD862(m)，即水面上涨了2 m.13工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个尺寸(单位： cm)如图所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90.将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图所示的A，B，E三个接触点，则该球的大小就符合要求如图是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，已知O的直径就是铁球的直径，AB是O的弦，CD与O交于点E，ACCD，BDCD.请你结合图中的数据，计算这种符合要求的铁球的直径(第13题)(第13题解)【解】由题图可知E为O上的中点，连结OE交AB于点F，如解图，则OEAB，且AFBF8.易知EFAC4，OFOEEFOE4.连结OA，则OA2AF2OF2，即OA282(OA4)2，解得OA10.故铁球的直径为10220(cm)
