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1、专题6：立体几何中点到面的距离求法基础练习题1 .如图，在四棱锥PA3C。中，AB/CD CD = 2AB PAJL平面ABCD，?为。的中点.(I)证明：AE平面PBC ：(II)若PA = CD = 2,求点E以平面P8C的距离.2 .棱长为1的正方体ABCQ ABA中，E、尸分别是棱A4、中点，求点与 到平面厂的距离.3 .如图，在三棱锥P 45c中，AC1BC, BC = 6 AP = CP,。是4C的中 点，尸0 = 1, OB = 2, 1比=小.（1）证明：8C_L平而PAC：（2）求点A到平而P8C的距离.4 .如图所示，在三棱锥尸一45C中，尸C_L平而48C, PC = 3
2、, D、E分别为线 段 A3、BC 上的点,且 CD = DE = 6，CE = 2EB = 2.（I ）求证：平面PC。；（II）求点3到平而PZ）E的距离.5 .如图所示，在梯形CQEF中，四边形A3CQ为正方形，且Af = 8/=A5 = 1,将ATE沿着线段A。折起，同时将ABC尸沿着线段BC折起.使得E,尸两点重合为点（1）求证：平而平面A8CD：（2）求点。到平面P8C的距离儿6 .如图所示在长方体45GA 中，AA=2, 43 = 4, AD = 6, M , N 分别是。G，4c的中点.(1)求证：MN平而ADDA(2)求C到平而AMN的距离.7 .直三棱柱ABC A8C中，底
3、面ABC为等腰直角三角形，AC = BC = 2, AAf = yfb , E 为 AB 中点.(1)证明：AC而CE*：(2)求大到面CE面的距离.8 .如图，在长方体ABCD-AMGA中，43 = 2，3c = 1, A&=3, M为AA1的中点，N为CR的中点.ALVB(1)证明：MN平而A8CQ：(2)求点2到平面CDW的距离.所以8C_L平而所以BCLPB.11 12所以匕:枝维p-scD = xSABCD xPA = -x-x2xBCx2 = -BC .在RMR45中，AB = , PB = JPA?+ABi =E1 = B所以 $ pe=；xBCx 逐=，8C.设点D到平面PBC
4、的距离为d ,则xdx立bc = 2bc，解得,/ = 拽.3235所以点E到平面PBC的距离是” .【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到而的距离，属于常考题型.2. 在5【分析】利用等体积法列方程，解方程求得点B1到平而户的距离.【详解】依题意。流=Jr+(2_1=正，1 V 2: ABJ/EF = A瓦平而 D】EF ,点Bi到平而D】EF的距离即为点儿到平面D.EF的距离， 根据正方体的性质可知EF 1 Dfi,设点B1到平而D.EF的距离为， 即 gx3* EFx OEx = ；xgx A。x AEx EFAD xAE DE即点Bi到平面DEF的距离为4. 5【点睛】要
5、求点到平面的距离，可利用等体枳法列方程，通过解方程来求得点面距.3. （1）证明见解析：（2）【分析】（1）证明OP_L平面ABC得出QP_L8C,结合AC_LBC得出8C_L平而PAC：（2）根据匕-/耽=%.计算点A到平而P8C的距离.【详解】解：（1）证明：.AP = CP，。是AC中点，.R9_L4C,由已知得= 08?，:.PO1OB，又AC，no8 = o, 08u平面ABC，.PO,平面ABC，POYBC,/ACIBC. POCAC = O, POu平面PAC,8C_L 平面尸AC.（2）解：设点A到平而P8C的距离为/z,.在RtAOCB 中，OC = ylOB2-BC2 =1
6、则尸2+。2 =叵3C _L平面 P4C , 8C _L 尸。，S .卡-Dy8r-*匕-P8C = P-ABC Kpt8c = - SMBC PO = f ； S比.力=曰一 h =呢, 即点A到平面PBC的距离为V2.【点睛】 本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与点到平面的距离计算，属于基础题.4. （1）见解析；（2）点3到平面PQE的距离为之匡.22【解析】 试题分析：（1）PC上DE, CDLOE,所以OEJL平面尸CQ； （2）利用等体积法,V*PDE = ViDE，所以点B到平而PDE的距离为大史.22试题解析: （【）证明：由PC,平面48C,。石u平面48C,故PC_LO由C
7、E = 2,CD = DE = e,得（?为等腰直角三角形，故CDLDE.又PCcCD = C,故。石，平面尸8.（，）由知A。七为等腰直角三角形,CE = g过。作。尸垂直CE于尸，易知DF = CF = EF = L 又。石，平面PCD,所以）E_LP），PD = PC? +CD? =47 .设点B到平面P陀的距离为力，即为三棱锥B-PDE的高,(Il Vb-PD = p_BDE 得 % S y)E . 卜=1 S 油 de，P。即1.2.尸0.0七./? = 1.2_.8石。尸尸。， 3 23 2即 ViT x -Ji x /? = 1 x 1 x 3 所以。=， 所以点B到平而PDE的
8、距离为空2.225. （1）见解析；（2）”2【分析】（1）由底而A8CO为正方形，可得AQ_L平面P48,由平面与平而垂直的判定定理即可证 明.（2）作PO _L A3交A8于。，易得尸。_L平而ABCD .可求得匕，由-比/）=匕）_W即 可求得点D到平而PBC的距离h【详解】（1）证明：.四边形A8CO为正方形，：-ADAB.又 A。_L AE.即 AO _L 帖,且弘 Cl AS = A,，AQ_L 平面 248,又AD u平面ABCD，平而PAB _L平而ABCD：（2）过点尸作PO_L/W交AB于0,如下图所示：由（1）知平面248 _L平而ABC。 PO_L 平而 ABCD.v
9、_ 1_ 1 6 1 _ Q, Vp_BCD 一寸 PXS瓯D-又Vp_bcd=Vd_pbc.1 c312冏11 I63 212解得力=正2所以点D到平而PBC的距离h =正2【点睛】本题考查了平而与平面垂直的判定，等体枳法求点到平而的距离,属于基础题.126. （1）证明见解析：（2）.【分析】（1）分别取和A0的中点及/，连接M.RV,利用中位线定理可证四边形EMNf 是平行四边形，所以EF/MN，再根据线而平行的判定定理，即可证明结果：（2）以。为原点，。4。,。口分别为乂），逐，建立空间直角坐标系。一冲2，根据题意 可求出a,c,r,ua-M.n点的坐标，进而求出平面AMN的法向量，再
10、根据空间向量中点 到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别取。A和的中点瓦尸，连接B则 AWDC 且 EW =，OC； FNHDC& FN,DC 22所以 EMFN ,且 EM = FN,所以四边形EA/A是平行四边形，所以EF/MN,又EEu平面AO24，MN（Z平面AO24, 所以MN 平面AORA：（2）以。为原点，。4。,。2分别为乂乂2,建立空间直角坐标系。一不z,如图所示:由题意，则 A(6,0.0),C(0.4.0).R(0.0,2),C(0,4.0)，A(6,0.2),又M, N分别是。G，AC的中点,所以 M(0,2,I),N(320),所以m=(- 3,2, -2),硒=
11、(-6.2. T),萌=(0.-2)；设平面4MN的法向量为/；=(x,)，,z),则n - AM =0-3x + 2y -2z = 09,77=/2 = BE, NA8G = /BEB, ZAfGB = ZBEB，可知ABGvaBEB,所以46 = 38 =后.【点睛】本题考考查了线而平行的判定定理、而而垂直的性质定理、求点到面的距离，考察了逻辑推 理能力，属于基础题.8. （1）证明见解析：（2）也二13【分析】（D构造平行四边形AENM,通过线线平行即可证明线而平行：（2）利用等体枳法，结合棱锥体枳的计算公式，即可求得点而距离.【详解】(1)证明：如图，取CO的中点,连接AE，EN.A,
12、: DE = EC , CN = DN、NE/DD、且 NE = DD.2V M = 2AM , AAJIDD, ：,AMMNE, AM =NE,：.四边形AENM为平行四边形，.MNIIAE.又 AEu平而A8CQ，肠Vz平面A8CQ, ；MN平面ABCD.(2)设R到平而COM的距离为1,连接YM为A4的中点,J DM =, Sodm= -CDDM =又M到平面DDC的距离，即为4点到平面DDC的距离AD.,二 m SCDM A = 3 Srdc , A。，,_SAO *x3x 6 $屈” Sdm- 一 巫 7133-， F故点A到平而CDM的距离为包旦.13【点睛】本题考查线而平行的证明，以及用等体积法求点面距离，属综合基础题.
