《九年级数学旋转几何综合专题练习(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学旋转几何综合专题练习(解析版).docx（30页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版）一.初三数学旋转易错题压轴题（难）1. 如图，四边形ABCD为正方形，AAEF为等腰直角三角形，ZAEF=90 ,连接FC, G 为FC的中点,连接GD, ED.（1）如图，E在AB上，直接写出ED, GD的数量关系.（2）将图中的AAEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图，（1）中的结论是否 成立？说明理由.（3）若AB = 5, AE = lt将图中的ZkAEF绕点A逆时针旋转一周，当E, F, C三点共线囹图【答案】（1）DE=JJDG： （2）成立，理由见解析；（3） DE的长为4JJ或3近.【解析】【分析】（1）根据题意结论：DE二J?DG,
2、如图1中，连接EG,延长EG交BC的延长线于连 接 DM.证明 CMGAFEG （AAS）,推出 EF二CM, GM二GE,再证明 DCMADAE（SAS）即可解决问题；（2）如图2中，结论成立.连接EG,延长EG到使得GM=GE.连接CM, DM,延长 EF交CD于R,其证明方法类似；（3）由题意分两种情形：如图3-1中，当E, F, C共线时.如图3-3中，当E, F, C 共线时，分别求解即可.【详解】M,连接DM.解：（1）结论：DE= 72 DG.1四边形ABCD是正方形， AD = CD, Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM = 90 Z AEF = Z B
3、 = 90, EFII CM, Z CMG = Z FEG, Z CGM = Z EGF, GC = GF, CMG竺心 FEG (AAS),EF=CM, GM = GE, AE = EF, AE = CM, DCM竺 DAE (SAS),DE = DM, Z ADE = Z CDM, Z EDM = Z ADC=90DG丄EM, DG = GE=GM, EGD是等腰直角三角形， DE= V2 DG.(2)如图2中，结论成立.使得GM = GE,连接CM,延长EF交CD于R.2EG=GM, FG=GC, Z EGF = Z CGM, CGM雯 a FGE (SAS),CM = EF, ZCMG
4、=ZGEF, CM II ER, Z DCM = Z ERC, Z AER+Z ADR=180% Z EAD+Z ERD=180 Z ERD+Z ERC = 180, Z DCM = Z EAD, AE = EF, AE = CM, DAE竺厶 DCM (SAS),/. DE = DM, Z ADE = Z CDM, Z EDM = Z ADC=90 EG=GM, DG = EG = GM, EDG是等腰直角三角形，DE= JJDG（3）如图3-1中，当E, F, C共线时,在 RtA AEC 中，EC= JaC匸 AE? = J（5血）2一2 =7, CF = CE - EF = 6,1 C
5、G=-CF = 3t2 Z DGC = 90, dg= JcD，-CG?=届 -3, =4, DE=V2 DG=4./2 F, C共线时，同法可得DE = 3JJ .综上所述，DE的长为4血或32【点睛】本题属于四边形综合题，考査正方形的性质，全等三角形的判左和性质，解直角三角形等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.2. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB = yAD = 4,AE丄BD,垂足是E点F是点E关于A3的对称点，连接AF、BF（1）求AF和8E的长;B图督用囹（2）若将沿着射线3D方向平移，设平移的距离为山（平移距簡指点3沿3D方向 所经过的线段长度）当
6、点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写岀相应的加的值.（3）如图，将绕点3顺时针旋转一个角tz（0r/AD,2 2ABAD 3x412AAE=,BD 55点F是点E关于AB的对称点,12/.AF=AE = , BF二BE,5VAE 丄 BD, ZAEB=90,12在 Rt/kABE 中，AB=3, AE= 5由勾股左理得：BE= “A庆一加（2）设平移中的三角形为 A8匕 如图4所示:9由平移性质可知,ABA8, Z4=Z1, BF=B/F/=-,5 当点尸落在AB上时，ABA8,AZ3=Z4.根据平移的性质知：Z1=Z4,Z3二 Z2,9 nn 9二BF= ,即 m =-:55 当点尸落在
7、AD上时，ABA8, AB丄AD,AZ6=Z2, A8丄AD,VZl=Z2t Z5=Z1,AZ5=Z6.又知A8丄AD,BFD为等腰三角形，9 B/D=BrF/=-,5.,916 nn 16ABBz=BD-B#D=5-t = 一,即 m=；555（3）存在.理由如下：四边形ABCD是矩形，AZBAD=90VAE1BD, ZAEB=90Z2+ZABD=90, ZBAE+ZABD=90,AZ2=ZBAEt：点F是点E关于AB的对称点，AZl=ZBAEtAZ1=Z2,在旋转过程中，等腰ADPQ依次有以下4种情形：如图所示，点Q落在BD延长线上，且PD二DQ,图则 ZQ 二 ZDPQ,Z2 二 ZQ+
8、ZDPQ=2ZQ,VZ1=Z3+ZQ Z1=Z2,AZ3=ZQ,AQ 二 AB=3,1227 F/Q=FZA/+AZQ= + 3 = t55在RtABFQ中，由勾股龙理得:9/10A DQ=BQ-BD=-55如图2所示，点Q落在BD上，且PQ二DQ,A图-2则 Z2=ZPVZ1=Z2,AZ1=ZP, BA/PD,则此时点A，落在BC边上.VZ3=Z2,AZ3=Z1, BQ 二 AQ,12FQ二 F7VAQ 二一BCb5在RtZBQF中，由勾股左理得：BF2+FQ2二BQ2,即黑咅-对吨,解得：BQ = ,8DQ= BD-BQ=5=:8 8则 Z3=Z4.VZ2+Z3+Z4=180% Z3=Z4
9、.A Z4=90-4 Z2.2VZl=Z2tA Z4=90-1 Zl,2 ZAQB二Z4=90。丄 Zl,2 ZA/QB=ZA/BQ,AQ 二 AB 二3, FQ 二 AQA 乍匚3=-55在Rt/kBFQ中，由勾股立理得：BQ二JbF+FQ?=9)53/105ADQ=BQ-BD=5-:5如图4所示，点Q落在BD上，且PQ二PD则 Z2=Z3.VZ1=Z2, Z3=Z4, Z2=Z3,AZl=Z4t BQ=BAZ=3,ADQ=BD-BQ=5-3=2.综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q,使DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2 或二或-/-5 或 =855【点睛】本题是四边形综合题目，主要
10、考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性 质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点：第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋 转图形，依题意进行分类讨论.3.已知如图1,在厶ABC中，ZABC = 90, BC = AB，点D在AC上，DF丄AC 交BC于F ,点E是AF的中点.（1）写出线段与线段EB的关系并证明；（2）如图2,将（?绕点C逆时针旋转a（090。），其它条件不变，线段Q与 线段的关系是否变化，写出你的结论并证明：（3）将绕点C逆时针旋转一周，如果BC = 6, CF = 3迈,直接写出线段CE的 范围.【答案】（1） ED = EB, DE丄3E,证明见解析；（2）
11、结论不变，理由见解析：（3）最大值=生2最小值2 2【解析】【分析】（1）在 RtAADF 中，可得 DE二AE二EF,在 RtA ABF 中，可得 BE二EF二EA,得证 ED=EB；然后 利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB的内角和为180,可推导得出ZDEB=90：（2）如下图，先证四边形MFBA是平行四边形，再证 DCBADFM,从而推导岀ADIVIB 是等腰直角三角形，最后得出结论：（3）如下图，当点F在AC上时，CE有最大值；当点F在AC延长线上时，CE有最小值.【详解】（1）TDF丄AC,点E是AF的中点ADE=AE=EF, ZEDF=Z DFEV ZABC=90，点E是AF的
12、中点ABE=AE=EF, ZEFB=Z EBFDE 二 EBVAB=BC, Z DAB 二 45在四边形 ABFD 中，ZDFB二360 90 45 90二135ZDEB=Z DEF+Z FEB=180-2Z EFD+180-2Z EFB二360 2（Z EFD+Z EFB）=360-2x135 二 90DE 丄 EB（2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB,连接MA、ME. MF. MD FB、DB,延长 MF交CB于点HA BVME=EB点E是AF的中点.四边形MFBA是平行四边形MFII AB, MF=AB ZMHB=180-Z ABC=90T Z DCA=Z FCB ZDCB=4
13、5+d , ZCFH=90-aVZDCF=45% ZCDF=90ZDFC=45。，ADCF是等腰直角三角形AZDFM=180-ZDFC-ZCFH=45+AZDCB=ZDFMABC和ACDF都是等腰直角三角形A DC=DF, BC=AB=MFDCB牛 DFM(SAS). Z MDF=Z BDC, DB=DMAZMDF+Z FDB=Z BDC+Z FDB二90AADMB是等腰直角三角形点E是MB的中点DE二EB, DE丄EB(3) 当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下:（2）将AFD以每秒2c?的速度沿直线BC向右平移，如图2,当3移动到C点时 停止移动.设矩形ABCD与AB77重叠部分的面积
14、为V,移动的时间为x,请你直接 写岀儿关于尤的函数关系式，并指出自变量x的取值范围：（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间，使得AAF成为等腰三角形？若 存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由.45【答案】（1）尹；尸-x2-x + 24(0x)2258 , 802。严存在使得一 f 一 一 x + ( x 4)3335成为等腰三角形的龙的值有：。秒、I秒、寻【解析】【分析】（1）先用勾股左理求出BD的长，再根据旋转的性质得出BD = BD = 10cm,CD = BQ-BC = 2cm,利用ZBQA的正切值求岀CE的值，利用三角形的而积差即 可求阴影部分的而积：（2）
15、分类讨论，当OSxv曽时和当x 98 2CE = cm ,2I AB CE = SaBQ _ CEiy注2厶2申肿）；2 2 2 v 7(2) 当时，CD = 2x + 2, CE = -x.52c3 . 3-S-CDE = A +于兀，y = x6x8-x2 =-x2 - x + 24；2 2 2 2164 /当x AN2+AfN2=36J 18寸叫丿解得：x =座二2秒，（S舍去）；55如图 2,当 AB = A4r 时，AW = BM=BB + BM=2x + , A!M = NB = AB2+BBf2= AN2+ AfN2(24?J 18?6_ +15 z丿5丿36 + 4宀3解得：二
16、秒.3综上所述：使得3成为等腰三角形的X的值有：。秒、亍秒、【点睛】运用分类讨论的思想方法全本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合, 而的分析问题，思考问题是解决问题的关键.5.如图1,在正方形ABCD中，点巳F分别在边BC,CD上，且BE二DF,点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ,PD（1）求证：AC垂直平分EF ；（2）试判断厶卩。的形状，并加以证明；（3）如图2,若将ACEF绕着点C旋转180。，英余条件不变，则（2）中的结论还成立吗? 若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由.【答案】（1）证明见解析：（2 ） APDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3
17、）成立；理由 见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB二BC二CD二AD, Z B=Z ADF=90,Z BCA=Z DCA=45由BE=DF,得出CE=CF, CEF是等腰直角三角形，即可得出结论：（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得岀PD莒AF, PQ=；AF,得出PD=PQ,再证明Z DPQ=90%即可得出结论：（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD詩AF, PQ=；AF,得出PD=PQ,再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角逹理得出Z DPQ=2Z DAQ=90即可得出结论.试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形， AB二BC二CD二AD, Z B=Z A
18、DF=90, Z BCA=Z DCA二45, BE=DF, CE=CF,AC垂直平分EF：（2）解：APDCl是等腰直角三角形：理由如下：点 P 是 AF 的中点,Z ADF=90,.pgAF二PA, Z DAP=Z ADP, AC垂直平分EF, Z AQF二90,1 PQAF二PA,.Z PAQ=Z AQP. PD二PQ, Z DPF=Z PAD+Z ADP, Z QPF二Z PAQ+Z AQP, Z DPQ=2Z PAD+2Z PAQ=2 (Z PAD+Z PAQ) =2x45=90 PDQ是等腰直角三角形；（3）成立：理由如下：点 P 是 AF 的中点，Z ADF=90,1. pgAF二
19、PA,BE=DF, BC=CD, Z FCQ二Z ACD二45, Z ECQ=Z ACB=45 CE=CF, Z FCQ=Z ECQ,CQ丄EF, ZAQF二90。，1. pqaF二AP二PF,.I PD=PQ=AP=PF,.点A、F、Q、P四点共圆， Z DPQ=2Z DAQ=90,PDQ是等腰直角三角形.考点：四边形综合题.6. （特例发现）如图1, it A ABC中，AG丄BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB, AC 为直角边，向AABC外作等腰RtA ABE和等腰RtA ACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂 足分别为P、Q.求证：EP=FQ.（延伸拓展）如图2,在AABC中，AG
20、丄BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB, AC为 直角边，向 ABC外作RtA ABE和RtA ACF,射线GA交EF于点H若AB=kAE, AC二kAF, 请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写岀你的结论.（深入探究）如图3,在AABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向 ABC外作任 意AABE 和AACF,射线 GA 交 EF 于点 H若Z EAB二Z AGB, Z FAC=Z AGC, AB=kAE, AC=kAF,上一问的结论还成立吗？并证明你的结论.（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角Z IHJ分别与 AEF的两边AE、AF分別 交于点M、N若AABC为腰长等于4的
21、等腰三角形，其中Z BAC=120,且Z IHJ=Z AGB=e=60% k=2：求证：当z IHJ在旋转过程中，A EMH. HMN和 FNH均相似，并直接写出线段MN的 最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）.【答案】（1）证明参见解析:（2）HE=HF： （3）成立，证明参见解析:（4）证明参见解析，MN最 小值为1.【解析】试题分析：特例发现：易证AAEP竺“BAG, AF CAG,即可求得EP二AG,FQ二AG,即可解题：(2)延伸拓展：过点E. F作射线GA的垂线.垂足分别为P、Q易证1 1 ABG AEAP, AACG “FAQ,得到 PE=AG, FQ 二斤AG,二 PE 二
22、FQ.然后证明1 EPH竺心FQH,即可得出HE=HF：深入探究：判断 PEA-厶GAB,得到PE=AG,1 AQF-ACGA. FQ二，得到FQAG,再判断 EPH旻 FQH,即可得出HE二HF： (4)应用推 广：由前一个结论得到AAEF为正三角形，再依次判断 MHN- HFN- MEH,即可得出结论.如图:T Z PEA+Z PAE二90, Z GAB+Z PAE=90 /. Z PEA二Z GAB, Z EPA=Z AGB, AE=AB, /. PEA旻 GAB, /. PE二AG,同理， QFA GAC, FQ二AG, PE二FQ：(2)延伸拓展,如图:PEA+Z PAE二90, Z
23、 GAB+z PAE二90, /. Z PEA=Z GAB, Z. Z EPA=Z AGB,PE AEPEAE1PEA八 GAB, AB9 VAB=kAE, :. AG kAE, /. PE=AG 同理,FQ AF1 QFA-GAC, AG AC9 / AC=kAF,. FQ二*AG, /. PE=FQ T EPII FQ, Z EPH=Z FQH, Z PHE=Z QHF, /. EPH学 & FQH, /. HE=HF：深入探究，如图2,BG在直线 AG 上取一点 P,使得Z EPA= Z AGB,作 FQII PE, T Z EAP+Z BAG=180 - Z AGB,Z ABG+Z B
24、AG=180 - Z AGB, /. Z EAP=Z ABG. T Z EPA=Z AGB, ：2 APE- BGA,PE AE1=. AG /!， AB二kAE, PEAG,由于Z FQA=Z FAC=Z AGC=180 - Z AGB,同理可得,FQ AF1 AQF-ACGA,AG AC, ； AC=kAF,二 FQ二“AG,二 EP二FQ, / EPII FQ, Z EPH=Z FQH, J Z PHE=Z QHF, /. EPH学 FQH, /. HE二HF：应用推广，如图3,在前而条件及结论，得到，点H是EF中点AE二AF, TZEAB二ZAGB.Z FAC=Z AGC Z EAB+
25、Z FAC=180. Z EAF=360 - (Z EAB+Z FAC) - Z BAC=60 /. AEF为正三角形.又 H 为 EF 中点 Z EHM+Z IHJ=120, Z IHJ+Z FHN=120 Z EHM=Z FHN.Z AEF=Z AFE, :* HEM HFN,HM EH丽二丽 EH 二 FH,HM FHHN FN,且z MHN=Z HFN=60 MHN- HFN, /.心 MHN- HFN-心 MEH,在 HMN中，Z MHN=60根据三角形中大边对大角，.要MN最小，只有 HMN是等边 三角形,AZAMN=60% / Z AEF=60, MN/. MNII EF, T
26、AEF 为等边三角形,/. MN 为1 1A AEF 的中位线,/. MNmin=2EF=2x2=l.考点：1 几何变换综合题：2三角形全等及相似的判圧性质.7. 如图1,矩形ABCD中.E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF, EG 分别过点 B, C, ZF=30 .(1) 求证：BE=CE(2) 将AEFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF, EG分 别与AB, BC相交于点M, N.(如图2) 求证：ABEMACEN： 若AB=2,求BMN面积的最大值； 当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3),求sinZEBG的值.由(2)可知，AE
27、BC是等腰直角三角形，ZEBC二ZECB二45 r/ ZABC=ZBCD=90，AZEBM=ZECN=45 zVZMEN=ZBEC=90 rAZBEM=ZCEN rVEB=EC ,AABEMACEN ； VABEMACEN ,ABM=CN 设 BM二CN二x,贝J BN=4-x r/SAbmn=-#x ( 4-x ) =- ( x-2 ) 2+2 f2 21V - 0 r2Ax=2时，ABMN的而积最大，最大值为2 解：如图 3 中，作 EH丄BG 于 H.设 NG二m,则 BG二2m , BN二EN二 JJm . EB二 m G图3- EG=m+ 3 m= ( 1+) m , SA8EG二一
28、EGBN二一BGEH r2 22m23+7?在 Rt/iEBH 中，sinZEBH二 EH _2 _ J?【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定 和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题,8. 在平而直角坐标系中，0为原点，点A（8r 0 ），点B（0,6）,把ZkABO绕点B逆时 针旋转得A80,，点A、0旋转后的对应点为A，、0记旋转角为a.（1）如图1,若a二90,则AB二并求AA的长；（2）如图2,若a=120,求点0,的坐标：（3）在（2）的条件下，边0A上的
29、一点P旋转后的对应点为，当CTP+BP，取得最小值 时，直接写出点P的坐标.【答案】（1） 10, 102 :（2）（痂，9） ：（3）【解析】试题分析：（1）、如图，先利用勾股立理汁算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA ZABAJ90。，则可判定ZiABA，为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA，的 长；（2）、作OH丄y轴于H,如图,利用旋转的性质得B0=B0/=3, Z OBO,=120,则Z HBOJ60。，再在RtA BHO冲利用含30度的直角三角形三边的关系可计算岀BH和0H的 长，然后利用坐标的表示方法写出C点的坐标；（3）、由旋转的性质得BP=BP则 O，P
30、+BPJO，P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结0，C交x轴于P点，如图，易得 O，P+BP=OC利用两点之间线段最短可判断此时CTP+BP的值最小，接着利用待立系数法求 出直线0，C的解析式为y叙3x - 3,从而得到P （誓，0）,则0卩=0卩=举，作3 :55PQ丄CH于D,然后确泄Z DPO=30。后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算岀PD 和DO,的长，从而可得到P，点的坐标.试题解析:、如图,点 A （4, 0）,点 B （0, 3） ,0A=4, 0B=3,/. AB=5,.AB 0 绕点 B 逆时针旋转 90,得A，BO,BA=BA Z ABA=90, ABA，为等腰
31、直角三角形，AAZ= BA=5/2 :（2）、作OH丄y轴于H,如图，AB O绕点B逆时针旋转120,得 AS,/. B0=B0=3, Z OBO=120, Z HBO=60,在 RtA BHO中，T Z BOH=90 -Z HBO=30,BH= BO詣，CTH=J5BH男3, /. OH=OB+BH=3+-二 O,点的坐标为Z12丄二 2趣2)；2 ： 2：(3) ABO绕点B逆时针旋转120,得厶ABO，点P的对应点为P /. BP=BP OP+BP9P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结CTC交x轴于P点，如图, 则O/P+BP=OfP+PC=O/C,此时OT+BP的值最小，点C与点B
32、关于x轴对称,AC (0, -3),设直线C/C的解析式为y二kx+b,把。警左,C(,代入得.直线O，C的解析式为y卑3x-3,当y=0时，- 3=0,解得x吕匡，则PJ ：J ：5.5芈，5芈作PDS于D, Z BOfA=Z BOA二90, Z BOZH=30 /. Z DPO=30,13J393 33 63 OD=石OPJPfD= n 777,. DH=O/H - Oz 7 ,2：2 IQV 30 D=10D= 2 - 10 = 59. 我们左义:如果一个三角形一条边上的髙等于这条边，那么这个三角形叫做等髙底三角 形，这条边叫做这个三角形的等底”。(1) 概念理解：如图1,在AABC中,
33、AC = 6 ,BC = 3.ZACB = 30。,试判断AABC是否是等髙底三角 形，请说明理由.（2）问题探究：如图2, AABC是等髙底三角形,BC是等底，作AABC关于BC所在直线的对称图形得AC到AABC,连结&4交直线BC于点Z） 若点3是石=3 -血z2=l + 2i的重心，求-的值. BC（3）应用拓展：如图3,已知/,/,与厶之间的距离为2.等髙底” AABC的等底” BC住直线人上，点A在 直线厶上,有一边的长是BC的血倍.将AABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到 AABC, AC所在直线交厶于点D 求CD的值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3） CD的值为色尿,2迈
34、,2BC 23【解析】分析：（1）过点A作4D丄直线CB于点D,可以得到&8BC二3,即可得到结论：（2）根据 WBC是“等高底”三角形，BC是“等底”,得到AD=BC,再由屮BC与 ABC关于直线BC对称，得到ZADC二90 ,由重心的性质，得到BC二2BD.设BD二x,则 AD=BC=2x, CD=3x ,由勾股左理得AC=y/x,即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：当AB辽 BC时，再分两种情况讨论：当AC=迈BC时，再分两种情况讨论即可.详解：（1）是.理由如下：如图1，过点人作AD丄直线CB于点D,A ADC为直角三角形，ZADO90c/ Z4CB二30 , 心6, AD-AO3
35、,2.I AD-BO3.即WBC是“等髙底”三角形.（2）如图2, J AABC是“等高底”三角形，BC是“等底” ,:.AD=BC9T W BC与卜ABC关于直线BC对称， ZADO90点 B 是 LAAf C 的重心， BC二2BD.设 BD二x,则 AD二BC=2x, :.CD-3x ,.由勾股泄理得AC=i3x,.AC _伍x _応 BC 2x 2IH2（3）当 AB= 72 BC 时，I .如图3,作处丄于点F, DFLAC于点、F.等高底MBC的等底为BC, IJ/I2 ,/i与h之间的距离为2, AB=迈BC ,:.BC=AE=2, AB=2y/2 ,ABf=2,即 EC=4,：
36、 AC= 2扃J LABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到M Bl C, ZCDF=45 设 DF=CF=x V/!/2,. ZACE=ZDAF,即 AF=2x.AF CE 2II 如图4此时MBC是等腰直角三角形， LABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到M1 B C,.LACD是等腰直角三角形， CD二迈 AC=2 迈M4当AC= 72 BC时，I.如图5,此时ABC是等腰直角三角形. ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到B C, & C丄血，:.CD-AB-BO2.ifi5II如图6,作&E丄/i于点&则AE=BC.:.AOy/2 BC=y/2AE. :. ZACE-45,“BC绕点C按
37、顺时针方向旋转45。得到“ B C时, 点屮在直线h上,屮C/2,即直线C与/2无交点.综上所述：CD的值为|vio , 2血，2 .点睛：本题是几何变换-旋转综合题考査了重心的性质，勾股左理，旋转的性质以及阅读 理解能力解题的关键是对新概念等高底三角形的理解10. 已知LABC是边长为4的等边三角形，边AB/h射线OM上，且0& = 6,点D是射线 OM上的动点，当点D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到BCE, 连接DE.(1) 如图1，求i正：ACDE是等边三角形.(2) 设 OD=r, 当6t10时，BDF的周长是否存在最小值？若存在，求出BDF周长的最小值；若 不存
38、在，请说明理由. 求t为何值时，DEB是直角三角形(直接写岀结果即可).【答案】见解析；(2)见解析；戶2或14.【解析】【分析】(1) 由旋转的性质得到ZDCE=60, DC=EC,即可得到结论：(2) 当6t10时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD丄AB时，ABDE的周长最小，于是得到结论：存在，当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形；当0t6时，由旋转的性质得 到ZABE=60, ZBDE60,求得ZBED=90%根据等边三角形的性质得到ZDEB=60求得 ZCEB
39、=30,求得OD=OA-DA=6-4=2=t：当6t10时，由旋转 的性质得到ZDBE=60求得ZBDE60于是得到t=14.【详解】（1）将AACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABCE,.ZDCE = 60 DC=EC,ACDE是等边三角形；（2）存在，当6t由垂线段最短可知，当CD丄AB时，ABDE的周长最小，此时，CD = 2JJ,BDE 的最小周长= CD+4 = 27?+4：存在，当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意：当 0t6 时，由旋转可知，ZABE = 60 ZBDE60,AZBED = 90%由（2）可知，ACDE是等边三角形，AZDEB = 60,A ZCEB=30%VZCEB=ZCDA,AZCDA=30%VZCAB = 60,AZACD
