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1、二次函数填空题专题训练1(2016)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=x2+6x上一点,且在x轴上方,则BCD面积的最大值为_2(2016)抛物线y=x2+4ax+b(a0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点),过点P(2,2a)作直线PMx轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合),连接AP交y轴于点N,连接BC和PC(1)a=时,求抛物线的解析式和BC的长;(2)如图a1时,若APPC,求a的值3(2016)直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点
2、,当OAOB时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为_4(2016)二次函数y=x22x3的图象如下图,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为_5(2016)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则以下结论:abc0;acb+1=0;OAOB=其中正确结论的序号是_6(2016)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,点B的坐标为(1,0)下面的四个结论:AB=4;b24ac0;ab0;ab+c
3、0,其中正确的结论是_(填写序号)7(2016)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2,y1),(1,y2),(1,0),且y10y2,对于以下结论:abc0;a+3b+2c0;对于自变量x的任意一个取值,都有x2+x;在2x1中存在一个实数x0,使得x0=,其中结论错误的是_(只填写序号)8(2016江)二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,且P=|2a+b|+|3b2c|,Q=|2ab|3b+2c|,则P,Q的大小关系是_9(2016)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(3,0),对称轴为直线x=1,给出以下结论:abc0 b24ac0 4b+
4、c0 若B(,y1)、C(,y2)为函数图象上的两点,则y1y2当3x1时,y0,其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)_10(2016)某学习小组为了探究函数y=x2|x|的图象和性质,根据以往学习函数的经验,列表确定了该函数图象上一些点的坐标,表格中的m=_x21.510.500.511.52y20.7500.2500.250m211(2016)已知抛物线y=ax23x+c(a0)经过点(2,4),则4a+c1=_12(2016)a、b、c是实数,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x22ax+3的图象上,则b、c的大小关系是b_c(用“”或“”号填空)13(2016)如
5、图,抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为_14(2016)二次函数y=x2+4x3的最小值是_15(2016)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,c),则点A的坐标是_参考答案1(2016)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=x2+6x上一点,且在x轴上方,则BCD面积的最大值为15分析设D(x,x2+6x),根据勾股定理求得OC,根据菱形的性质得出BC,然后根据三
6、角形面积公式得出SBCD=5(x2+6x3)=(x3)2+15,根据二次函数的性质即可求得最大值解答解:D是抛物线y=x2+6x上一点,设D(x,x2+6x),顶点C的坐标为(4,3),OC=5,四边形OABC是菱形,BC=OC=5,BCx轴,SBCD=5(x2+6x3)=(x3)2+15,0,SBCD有最大值,最大值为15,故答案为15点评此题库存了菱形的性质,二次函数的性质,注意数与形的结合是解决此题的关键2(2016)抛物线y=x2+4ax+b(a0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点),过点P(2,2a)作直线PMx轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中
7、B、C不重合),连接AP交y轴于点N,连接BC和PC(1)a=时,求抛物线的解析式和BC的长;(2)如图a1时,若APPC,求a的值分析(1)根据抛物线经过原点b=0,把a=、b=0代入抛物线解析式,即可求出抛物线解析式,再求出B、C坐标,即可求出BC长(2)利用PCBAPM,得=,列出方程即可解决问题解答解:(1)抛物线y=x2+4ax+b(a0)经过原点O,b=0,a=,抛物线解析式为y=x2+6x,x=2时,y=8,点B坐标(2,8),对称轴x=3,B、C关于对称轴对称,点C坐标(4,8),BC=2(2)APPC,APC=90,CPB+APM=90,APM+PAM=90,CPB=PAM,
8、PBC=PMA=90,PCBAPM,=,=,整理得a24a+2=0,解得a=2,a1,a=2+点评此题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识,解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题,学会转化的思想,属于中考常考题型3(2016)直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,当OAOB时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为(0,4)分析根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,可以联立在一起,得到关于x的一元二次方程,从而可以得到两个之和与两根之积,再根据OAOB,可以求得b的值,从而可以得到直线AB
9、恒过的定点的坐标解答解:直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,kx+b=,化简,得 x24kx4b=0,x1+x2=4k,x1x2=4b,又OAOB,=,解得,b=4,即直线y=kx+4,故直线恒过顶点(0,4),故答案为:(0,4)点评此题考查二次函数的性质、一次函数的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,知道两条直线垂直时,它们解析式中的k的乘积为14(2016)二次函数y=x22x3的图象如下图,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为(1+,3)或(2,3)分析
10、ABC是等边三角形,且边长为2,所以该等边三角形的高为3,又点C在二次函数上,所以令y=3代入解析式中,分别求出x的值由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上,所以x0解答解:ABC是等边三角形,且AB=2,AB边上的高为3,又点C在二次函数图象上,C的纵坐标为3,令y=3代入y=x22x3,x=1或0或2使点C落在该函数y轴右侧的图象上,x0,x=1+或x=2C(1+,3)或(2,3)故答案为:(1+,3)或(2,3)点评此题考查二次函数的图象性质,涉与等边三角形的性质,分类讨论的思想等知识,题目比较综合,解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为35(2016)如图,二次函数y=ax2+bx+
11、c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则以下结论:abc0;acb+1=0;OAOB=其中正确结论的序号是分析观察函数图象,根据二次函数图象与系数的关系找出“a0,c0,0”,再由顶点的纵坐标在x轴上方得出0由a0,c0,0即可得知该结论成立;由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立;由OA=OC,可得出xA=c,将点A(c,0)代入二次函数解析式即可得出该结论成立;结合根与系数的关系即可得出该结论成立综上即可得出结论解答解:观察函数图象,发现:开口向下a0;与y轴交点在y轴正半轴c0;对称轴在y轴右侧0;顶点在x轴上方0a0,c0,0,b0,abc0,成立;0,0
12、,不成立;OA=OC,xA=c,将点A(c,0)代入y=ax2+bx+c中,得:ac2bc+c=0,即acb+1=0,成立;OA=xA,OB=xB,xAxB=,OAOB=,成立综上可知:成立故答案为:点评此题考查了二次函数图象与系数的关系以与根与系数的关系,解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论此题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,观察函数图形,利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键6(2016)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,点B的坐标为(1,0)下面的四个结论:AB=4;b24ac0;ab0;ab
13、+c0,其中正确的结论是(填写序号)分析利用二次函数对称性以与结合b24ac的符号与x轴交点个数关系,再利用数形结合分别分析得出答案解答解:抛物线对称轴是直线x=1,点B的坐标为(1,0),A(3,0),AB=4,应选项正确;抛物线与x轴有两个交点,b24ac0,应选项正确;抛物线开口向上,a0,抛物线对称轴在y轴左侧,a,b同号,ab0,应选项错误;当x=1时,y=ab+c此时最小,为负数,应选项正确;故答案为:点评此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,正确判断ab+c的符号是解题关键7(2016)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(2,y1),(1,y2),(1,0),
14、且y10y2,对于以下结论:abc0;a+3b+2c0;对于自变量x的任意一个取值,都有x2+x;在2x1中存在一个实数x0,使得x0=,其中结论错误的是(只填写序号)分析正确画出函数图象即可判断错误因为a+b+c=0,所以a+3b+2c=a+3b2a2b=ba,又ab+c0,所以bac,故ba可以是正数,故错误正确利用函数y=x2+x=(x2+x)=(x+)2,根据函数的最值问题即可解决令y=0则ax2+bxab=0,设它的两个根为x1,1,则x11=,求出x1即可解决问题解答解:由题意二次函数图象如下图,a0b0,c0,abc0,故正确a+b+c=0,c=ab,a+3b+2c=a+3b2a
15、2b=ba,又x=1时,y0,ab+c0,bac,cO,ba可以是正数,a+3b+2c0,故错误故答案为函数y=x2+x=(x2+x)=(x+)2,0,函数y有最小值,x2+x,故正确y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0),a+b+c=0,c=ab,令y=0则ax2+bxab=0,设它的两个根为x1,1,x11=,x1=,2x1x2,在2x1中存在一个实数x0,使得x0=,故正确,点评此题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征,解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题,学会构建二次函数解决最值问题,属于中考填空题中的压轴题8(2016江)二次函数y=ax2+bx+c
16、的图象如下图,且P=|2a+b|+|3b2c|,Q=|2ab|3b+2c|,则P,Q的大小关系是PQ分析由函数图象可以得出a0,b0,c0,当x=1时,y=a+b+c0,x=1时,y=ab+c0,由对称轴得出2a+b=0,通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值解答解:抛物线的开口向下,a0,0,b0,2ab0,=1,b+2a=0,x=1时,y=ab+c0bb+c0,3b2c0,抛物线与y轴的正半轴相交,c0,3b+2c0,p=3b2c,Q=b2a3b2c=2a2b2c,QP=2a2b2c3b+2c=2a5b=4b0PQ,故答案为:PQ点评此题考查了二次函数的图象与系数
17、的关系,去绝对值,二次函数的性质熟记二次函数的性质是解题的关键9(2016)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(3,0),对称轴为直线x=1,给出以下结论:abc0 b24ac0 4b+c0 若B(,y1)、C(,y2)为函数图象上的两点,则y1y2当3x1时,y0,其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)分析根据二次函数的性质,结合图息,一一判断即可解决问题解答解:由图象可知,a0,b0,c0,abc0,故错误抛物线与x轴有两个交点,b24ac0,故正确抛物线对称轴为x=1,与x轴交于A(3,0),抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),a+b+c=0,=1,b=2a
18、,c=3a,4b+c=8a3a=5a0,故正确B(,y1)、C(,y2)为函数图象上的两点,又点C离对称轴近,y1,y2,故错误,由图象可知,3x1时,y0,故正确正确,故答案为点评此题考查二次函数图象与系数的关系,解题的关键是灵活应用图息解决问题,属于中考常考题型10(2016)某学习小组为了探究函数y=x2|x|的图象和性质,根据以往学习函数的经验,列表确定了该函数图象上一些点的坐标,表格中的m=0.75x21.510.500.511.52y20.7500.2500.250m2分析当x0时,去掉绝对值符号,找出此时y关于x的函数关系式,将x=1.5代入其中即可得出m的值解答解:当x0时,函
19、数y=x2|x|=x2x,当x=1.5时,y=1.521.5=0.75,则m=0.75故答案为:0.75点评此题考查了二次函数图象上点的坐标特征以与绝对值,解题的关键是找出当x0时,函数的关系式此题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据绝对值的性质找出当x0时y关于x的函数关系式是关键11(2016)已知抛物线y=ax23x+c(a0)经过点(2,4),则4a+c1=3分析将点(2,4)代入y=ax23x+c(a0),即可求得4a+c的值,进一步求得4a+c1的值解答解:把点(2,4)代入y=ax23x+c,得4a+6+c=4,4a+c=2,4a+c1=3,故答案为3点评此题考查了二次函
20、数图象上点的坐标特征,点在函数上,将点代入解析式即可12(2016)a、b、c是实数,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x22ax+3的图象上,则b、c的大小关系是bc(用“”或“”号填空)分析求出二次函数的对称轴,再根据二次函数的增减性判断即可解答解:二次函数y=x22ax+3的图象的对称轴为x=a,二次项系数10,抛物线的开口向上,在对称轴的右边,y随x的增大而增大,a+1a+2,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x22ax+3的图象上,bc,故答案为:点评此题考查了二次函数图象上点的坐标特征,求出对称轴解析式,然后利用二次函数的增减性求解更简便13(201
21、6)如图,抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为(1+,2)或(1,2)分析当PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可知P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标解答解:PCD是以CD为底的等腰三角形,点P在线段CD的垂直平分线上,如图,过P作PEy轴于点E,则E为线段CD的中点,抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C,C(0,3),且D(0,1),E点坐标为(0,2),P点纵坐标为2,在y=x2+2x+3中,令y=2,可得x2+2x+3
22、=2,解得x=1,P点坐标为(1+,2)或(1,2),故答案为:(1+,2)或(1,2)点评此题主要考查等腰三角形的性质,利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键14(2016)二次函数y=x2+4x3的最小值是7分析利用配方法把二次函数写成顶点式即可解决问题解答解:y=x2+4x3=(x+2)27,a=10,x=2时,y有最小值=7故答案为7点评此题考查二次函数的最值,记住aO函数有最小值,aO函数有最大值,学会利用配方法确定函数最值问题,属于中考常考题型15(2016)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B(m+2,0)与y轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,c),则点A的坐标是(2,0)分析根据函数值相等两点关于对称轴对称,可得对称轴,根据A、B关于对称轴对称,可得A点坐标解答解:由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是x=,设A点坐标为(x,0),由A、B关于对称轴x=,得=