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1、函数综合性质归纳题型总结-函数的单调性(一) 函数的单调性和单调区间定义：增函数与减函数的左义：设函数y = (A)的泄义域为A,区间MA,如果取区间M中的任意两个值册、x2,改变Sv = x2-1O,则当y = (x2)-(1)O时，就称函数y =/(x)在区间M上是增函数：当Sy = f (X2) f (xi) 0;“、七必须同属于怎义域的某个子区间。3、区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区 间，后者是前者“最大”区间的子集。如函数y = 的单调递增区间是0, + oo),在(0,2)上递增，但不能说 区间(0,2)是该函数的递增区间
2、。注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示：如有多个单调区间应分别写，不能用并 集符号“U”联结，也不能用或”联结。例如，函数/在区间(-1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(-1,0)U(M)上却不一定是减函 数。如函数/(A)=丄。X例2.函数=lx-2l -x的单调减区间是()。A、1,2B、-1,01C、0,2D、2, + 8)【解析】/(X) = P;力J2 2 ,结合图像可知选A一 f +2x,x X2 ff(xl)f(x2)则函数y = (x)是单调增函数,若 X1 X2 f/(1)(2),则函数y = (x)是单调减函数,若 X1 (2),则函数y =
3、(x)是单调减函数,若 X1 X2 ,/(x1) /(X2),则函数y = (x)是单调增函数:2、由复合函数的单调性可得，函数/(X) = Iog1 Cv2+2x-3)的递增区间是(-d-3),选A5(四) 函数单调性的判断和单调区间的求法1、函数单调性的判断:(1) 图像法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性。直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们的单调性。(3) 立义法：用定义证明函数的单调性，结合泄义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明，要严格 按照上义的步骤来进行，其中关键的一步是对/(A1)-/(A2)作变形，英目的是
4、能够判断/(X1)-Z(X2)的符 号，常用的变形方法有： 多项式因式分解或配方： 分式通分后分子、分母因式分解： 根式有理化： 辛、指数、对数要运用并自的运算法则。对于抽象函数单调性的证明，一般采用左义法进行。(4) 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： 结合泄义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明： 可导函数则可以利用导数证明。例4.判断函数g() =-Ix在(l, + oo)上的单调性。2x1 - 2x-,2(1 -)坷-1 x2 -1 (AI - x2 -1)【解析】任取 X、X2 (l, + ),且 X1 X2,则2)=由于 1 xl x2t XI
5、-x2 0 , (XI)-g(x2) 0 ,即 g(xl) gg)，故g(x)在(l, + )上是增函数。变式证明函数f(x) = 2x-在(Yo,0)上是增函数。Jr【解析】任取X】、X2 (,0),且xl X29 则:/(x)-/(x2) = (2ai)-(2x2 - ) = 2(Xl -x2)(丄一丄)=2(x -AS)-_ =(X XI)(2 +) T x1 x9 xl -x1 0 9Ae1X2A-1X2 U)-(x2)0,即 /(x1) O,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增。如果,(x) Of是/Cr)在此区 间上为增函数的充分而不必要条件。例5.函数f(x)=l2-ln
6、x的单调递减区间为()。A、(-1,1B、(0,lC、(0, + )D、l, + )【解析】函数的泄义域为(0, + oo), f,(X) = X-,解,0解得0VX0,又g(l)O 0l时，/(/)单调递增，R(X)单调递减，3-d03(ar + 4)在-1,1上是增函数，则实数“的范用是().A、(-2,-3)U(2,4) B、(-2,1)(3,7)C、(0,1)(3,7)D、(1,3)(3,5)【解析】设/ = (X) = OY+ 4,则/(/) = IOg当0-3O -2“1 时，/(/)单调递增，g(x)单调递增,0,又g(-l)O- 2vv4,【解析】f(x) = iX-2 X-+
7、 or-2, 2一ru + 2d, X2要使/(X)在0,+)单调递增，则:-22-012解得一4S0,实数G的取值范围是卜4,0，选AO巩固4.已知函数/a)=J2r_8+3u3)2 32 o3【解析】分段函数要是单调减函数，必须满足每一个函数是减函数， 且左边函数最小值大于等于紧挨着它的右边函数最大值，有 2hl, Ovvl, 2-8t + 3 logl = - 选 C。2 8强化.设0,若数列满足心#(3-)7Z-l(27)且是递增数列，则实数“取值范圉是(L7)A、(Y,0)B、(YO,2C. (2,3)D、3, + 8)【解析】3-0, l, (3-t)7-3 23,选 C。巩固5若
8、函数f(x) = x2 + ax+丄在(丄+ oo)上是增函数则实数“的范围是()。X 2A、1,0B X 1,+8)C、0,3D、3t + )【解析】厂(X) = 2x + -丄RO在 + 8)上恒成立，即-2x在(, + oo)上恒成立。f2Jr2即(-2x)max在G，+ )上恒成立，设丿心)= -2X , (x)则在(*, + 8)上为减函数， (x)nzx =力(*)= 3, 3,选 D。强化.若函数/Cv) = +x+丄在+)存在减区间，求实数“的取值范围是()。X 2A. (Yo,0B、(YO,3)C. (0,3)D、3, + oC)【解析】/r(x) = 2x + -!7 ,
9、r(x)在(, + oc)上存在减区间则f,(x) ) Jl有解,设g(x) = -2x，g(x)则在(,+)上为减函数,X2Ar2g(X)max = g(*)= 3，dV3,选 B。巩固6.函数f() = v + 1,为R的单调函数，则实数“的取值范用是()。(a+2)eaxix0A、(0, + 8)B. PLO)C. (-2,0)D % (YO, 2)2ax,x0【解析】ft() = ,a(a + 2)eCLx0, XnO时，,(x)0,即函数/(x)在0, + )单调递增，且2 + ll,要使/(x)在尺上为单调函数，则XVO时,d(d + 2)0,Td0, ：解得-2,并且+20, 这
10、种情况不存在， 若0, XnO时，,(x)0,即函数/(x)在0, + )上单调递减,且r2+ll,要使/(x)在尺上为单调函数，则x1,* Cl 1, 1 综上得的取值范围为-1,0),选B。总结：利用导数研究函数单调性的三个应用(1) 利用导数判断函数图像：通过求导找出增减区间，结合排除法和特殊值法解题。(2) 利用导数解不等式：这类题目很多时候要构造特殊函数，通过观察式子的特点，构造特殊函数，然后求 导找英增减区间，进而对不等式求解。(3) 求参数的取值范用：已知函数y = (),仍的单调性，求参数的范围的方法： 利用集合间的包含关系处理：y = f(x)在(d, b)上单调，则区间(G
11、仍是相应单调区间的子集； 转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则,()0:若函数单调递减，则/()0 巩固7.已知函数/(劝的定义域为当x0时，/(x)l,且对任意的x.yeR都有/(+y) = ()(y), 则不等式/(log I x) !一 的解集为()。2/(10gi X+1)A、(一oc,0)B. (o,lC、(23)DX 4, + 8)【解析】令x = l, y=0,代入 f(x+y) = f(x) f(y)中得：/=/(1)-/(O),由 10,可得/(1)1,可得/(0) = 1,当XVO时,一兀0,得f(-) 1,令，=_兀，则x+y=O,代入 f(x+y) =
12、f(x) f(y)中得，.(x)-(-x) = (0) = l,即有OVf(X)= 1,设 A-I 则 XI -Xl O 且 f(x1 -x) 11 /(x1)0,/ (-兀)则 /(勺)一 f(x) f(2-AT1+x1)-/(XI) = f(x2-Xl)-/(x1) -/(A1) = f(xi)f(x2-Al)-1, 由 x2-10,可得/(x2-X1)b KP(x2-%,)-lO,则有/(2)-(,)0, 即/(XI)可得/(X)在R上单调递增,/( I x)5- 即为dg I -v)(log1 x + ) /(x) = 2+x + 1BX g(x) = x3C、h(x) = exDX
13、IV(X) = In(x2 -I)【解析】B为奇函数，AC为非奇非偶函数，D为偶函数，选D(二) 奇.偶函数的性质奇函数偶函数定义域关于原点对称f(-x)=-f(x)/() = /y随X的变号而变号y随X的变号而不变号图象关于原点对称图象关于y轴对称在原点两侧的对称区间上的单调性相同在原点两侧的对称区间上的单调性相反若/(x)在x=0处有泄义，则/(0) = 0/(x) = (-x) =/(I Al)/Cr) = 0是既奇又偶函数1、肚义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；函数/(X)是奇函数是函数/(X)的图象是以 坐标原点为对称中心的中心对称图形的充分且必要条件：函数gCv)是
14、偶函数是函数g(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形的充分且必要条件。2、/(Q = O除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数奇函数X奇函数=偶函数奇函数土偶函数=非奇非偶奇函数X偶函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数偶函数X偶函数=偶函数3. 任意/(x)都可写成一个奇函数(x)=/ ()/匕A)和个偶函数(X)=,/匕=/匕)的和。4、常见的奇函数：0且=l(1) /(X) = A - CrX(2) f(x) = xn n 为奇数):/(x) = SinX :(4) /(x) = tanx : U) = r = - a Ua +1x-1, z = 4=t!a -U U -1-ax心市
15、皿冷(6)=iogfl, =iogfl:(7) f(x) = logu(P + l +) /() = IOgn(x2 + l -x)，f(x) = IOgrt(J(ZU)2 +1 +bx) beR Q5、常见的偶函数：(l)(x) = 6v+tv:/(x)=lxl;f(X) = Xn(H 为偶数)；(4)/(x) = cosx。例2若函数()= m)v+为奇函数，则实数t=()。 XA、-1B、OC、1D. 2【解析】函数/(X)为奇函数，f(-X)+ f(X)=匸_匕7)+ : + H+巴+1 = 0 , -XX化为(d + l)x = O, + l=O,解得=-l,选 A(三) 函数奇偶性
16、的判断方法1、利用左义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的主义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;(2) 如果函数的泄义域关于原点对称，再化简解析式，可进一步判断f(-x) = -f(x)或/() = (x)是否对 泄义域内的每一个X恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)。判断函数/Cr)是奇函数，必须对立义域内的每一个X均有f(-x) = -f(x),而不能说存在心使/(-XO) =-/(a-,),即判断函数/Cv)是奇函数，不能用特殊值法。对偶函数的判断也一样。2、对于复杂函数，不易发现/(-X), /(x)的关系，则可以通过等价变形判断) + (-x) = O
17、./(X) - f(-x) = O、V上丄=1或丄= -1( f(x) 0)是否成立来判断奇偶性。/ (一兀)/(-X)3、分段函数的奇偶性判断，要以整体的观点进行，最好结合图象分析，避免盲目套用泄义出现错误。例 3已知 f(x) = ax- + 2(a9 beR),且 /(5)=5 ,则/(-5)=()。XA、-15B. -5C、-1D、1【解析】令gCr)=(x)-2 = dx-竺，则g(x)是一个奇函数，V(5) = 5, g(5) = 3,X. g(_5) = -3, A /(-5) = -1,选 C(四) 利用函数的奇偶性求函数值、参数值或解析式1、利用函数的奇偶性求函数值或参数值(
18、1)函数奇偶性的龙义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质， 要注意函数奇偶性左义的正用和逆用。已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常常采用待定系数法：利用/(x)/(-Q = O产生关 于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值。(3) 利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数 或偶函数，然后利用英奇偶性求值。2、利用奇偶性求函数的解析式(1) 在哪个区间上求解析式，X就设在哪个区间：(2) 把X对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入：(3) 利用函数的奇偶性把/(-X)改写成-/(X
19、)或/(x),从而求岀f(x) O例 4.若函数) = r+2x,x0,且/(X)为奇函数，则/g(-l) = ()。 5C 1D、1【解析】根据题意，当XVo时，/() = g(Q, /(x)为奇函数，(-1) = /(-1) = -/(1) = -3.贝J(-D = /(-3) = -/(3) = -15,选 A(五) 函数奇偶性与单调性的综合应用1、利用函数的奇偶性与单调性求参数的范用问题，要首先弄淸函数在各区间上的单调性，然后利用单调性 列岀不等式并求解，同时不应忘记函数自身左义域对参数的影响。2、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区
20、间 内，然后利用单调性比较。3、利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题 的一种途径。例5.在定义域内既为奇函数又为单调递增函数的是()0A、/Cr) =(丄)B, g(x) = tanxC、f(x) = x3D、IV(A) = IOglX27【解析】A、/(x) = (i)x是非奇非偶的函数，也是单调递减函数，不满足条件，故A不选，B. g(x) = tanx是奇函数,但在区间(-+)(rZ)是单调递增函数,在立义域内无单调性，不满足条件，故B不选，C. h(x) = x3是左义域内的奇函数，也是单调递增函数，满足条件，故C选，D. U-U
21、) = IOgIX是非奇非偶的函数，是单调递减函数，.不满足条件，故D不选，选C。2变式.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()。A、 f(x) = x + exB、f() = + -C、/心) = 2+丄D、 (Y, 3)U(0,3)B、(一oc,-3)U(3,+ oo)C、(-3,0)U(0,3)D、(一3,0)U(3,+ 8)【解析】/(x)为奇，(0,+)内为增,/(-3) = /(3) = 0,则X f(XxO时为X和/(x)异号，解集为(-3,0)U(0,3),选C巩固2.泄义在尺上的函数/Cv)在(-8,2)上是增函数，且函数y = f(x+2)为偶函数，贝J()。A.
22、(-l)(4)(H)B、/(4)(-l)(y)C、/()/(-DD、/(y)(-l)(4)【解析】y = f(x+2)为偶函数n /()关于直线x = 2轴对称，/在(o,2)上是增函数，在(2,+ oc)上是增函数，/(-1) = /(5), /(#) = /(5.5), 45(5)(55),即 / /(1) /(#),选 B巩固3已知/(x)不是常数函数，对于WwR有/(8 + x) = (8-x)且/(4 + x) = (4-x),则/(x)满足(A、是奇函数不是偶函数B、是奇函数也是偶函数C、是偶函数不是奇函数D、既不是奇函数也不是偶函数【解析】f(8 + x) = f(8-x),则关
23、于=8对称，/(4 + x) = (4-X),则关于x=4对称,则关于X=O对称，是偶函数，又/(力不是常数函数，则不能等于0,不是奇函数，选C巩固4.已知偶函数)和奇函数g(x)的立义域都是(-4,4),且在(Y,0上的图像如图所示，则关于X的不等式/(x) (XX O的解集是【解析】f(x) g(x)为奇，则当(-4,0时，/CO gCOvO的解集为/(x)与g(x)异号，即-4x-2,当Xe(O4)时，f(x) g(x)O)的图像关于原点对称，则/的表达式为()。A、/3 =(XO)B、/() = log-x)(x0)D、/(x) = log2-(0)【解析】设P(Xt y)关于原点的对
24、称点为0 )= /(x) = -log2(-x)(0),选 Do例4.若函数/(x) = log312x+I的对称轴为x = 2,则常数“=()。A、-4B、-1C、OD、1【解析】令(-) = log3l2,则K(X)为偶函数，关于X = O对称，向右平移2个单位，关于x = 2对称，g(-2) = log312x-4L贝IJd = 4,选A。巩固1定义在R上的偶函数/(x)满足/(x) = Cv+2),当xe3,4 (x) = 2S则下列不等式中正确的A./(Sin-X/(cos-)C、f (Sin 1) (cos-)33D. /(CoS-X/(sm-)【解析】xw3,4时，f(x) =
25、2故偶函数/(x)在3,4上是增函数，T = 2、偶函数/(x)在(70)上是增函数， /(x)在(0,1)上是减函数,对于 A, Sin- f (cos-) 对 f B, Sin-cos , f (Sin-)COSI, f (Sin 1) /(COS 1),对于 D, cos/(sin),选 Cd 2222巩固 2.函数/(x)满足/(x)(x + 2) = 5 若/(3) = 3,则/(2021)=()。20213B、_5D、2021T【解析】) + 2) = 5,+ 2)=爲，周期，/(2021) = (1) = 71j = ,选 Cfu +1, -1 x O巩固3设/Xr)是定义在R上且周期为2的函数，在区间-1,1上f(x) = bx + 2( bwR),若,0 % 则 + 3方=()oA、-10B. -2C
