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1、微积分在经济学中的应用 The Application of Calculus in Economics王猛 统计与应用数学学院统计学专业2006（0）班 200672016指导教师：柴彩春 摘要：经济学与数学是有着十分密切关系的两个学科，经济学中的很多经济现象经济理论都能够用数学知识去解释。现代化经济理论已经从过去的经济定性分析发展成为量性分析和定性分析相结合。微积分作为数学知识的基础，是学习经济学的必备知识，在这里我要介绍一下微积分知识在经济学中的一些基本的应用。微积分在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。价格函数、需求函数、成
2、本函数、收益函数等等。还有弹性的经济分析，需求弹性、收益弹性等等。最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一。这些重要的经济理论都可以用微积分的一些内容解释，所以说微积分在经济学中的应用是十分有效的。 关键词： 导数；积分；需求函数；弹性函数；价格函数；弹性；极限Abstract: There is a very close relationship between economics and mathematics. Many phenomena and theories in economics can be explained by mathematica
3、l ideal. In the past, we studied economics by the theory of qualitative analysis. But now , the theory of quantitative and qualitative analysis have been combined together to help us studing modern economics. Calculus is a necessary subject when we emulate the knowledge of economics for it is the fo
4、undation of mathematics. Now, I would Introduce some basic applications about the knowledge of calculus in economics. We will mainly research some functions in this area, therefore we must understand some common functions about it, just like price function, demand function, cost function, revenue fu
5、nction, etc. There are also flexible economic analysis, demand elasticity, income elasticity, etc that we should get. Optimization is the core problem of economy and management activities and it is also the one of the most concerned problems in calculus. All of these important economic theories can
6、be explained by some of the elements in calculus, so we can say that calculus is doing a big help when we study economics. Key words: Derivative; integration; marginal cost function; elastic;flexible; functions; the ultimate目 录1.引言12微积分在经济学中的应用3 2.1导数在经济学中的应用3 2.2极限在经济学中的应用11 2.3积分在经济学中的应用12 3.总结14参
7、考文献16 1.引言 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为九间算术作注时提出了 “割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在抛物线求积法中用究竭法求出抛物线弓形
8、的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于1665 - 1676年间，但这
9、些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分
10、的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分
11、量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287前212）的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详
12、尽的论述，比如庄周所著的庄子一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年测量酒桶体积的新科学一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的连续不可分几何，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。解析几何为微积分的创立奠定了基础由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。
13、到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。笛卡尔1637年发表了科学中的正确运用理性和追求真理的方法论（简称方法论），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统
14、一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。 2.微积分在经济学中的应用 微积分在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。导数在经济学中的应用是十分广泛的，因为在经济学中很多函数里面都有导数的存在才能去进行一些定量分析进而得出最优化的结果。根据导数的一些性质可以为大家解释一些经济学函数图像的走向问题，为何会出现此种走向等等。同样的在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。像
15、一些复利问题，还有用极限方法解决弹性计算问题。积分的应用是由人们在生产生活活动中，为了解决复杂和动态过程的量化累积而引入的。在日常经济活动中，积分的应用也非常广泛，比如求总值（如总成本和总利润等），包括其他变量时间累计的总量等。这些经济活动内容涉及到很多个领域，且函数表达方式都有所不同，但它们的原理都是一样的。这些都是微积分在经济学中的广泛应用。2.1导数在经济学中的应用2.1.1导数在经济学边际分析部分的应用 我们先介绍一下导数的定义：导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度变化率（瞬时变化率）。函数在某一点的导数表达式如下：若函数在某区间内每一点都可导，则称在该区间内可导，
16、记为在该区间内的可导函数（简称导数）。导数在引进经济学之后，对经济分析带来了很大变革，可以定量分析很多以前没办法分析的经济问题。导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少，如边际效用、边际成、边际收益、边际利润、边际替代率等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。 (1)边际需求与边际供给 需求函数在点处可导(其中为需求量，为商品价格)，则其边际函数称为边际需求函数，简称边际需求，称为当价格为时的边际需求，其经济意义为：当价格达到时，如果价格上涨一个单位，则需求将相应减少个单位。供给函数可导(其中为供给量，为商品
17、价格)，则其边际函数称为边际供给函数，简称边际供给，称为当价格为时的边际供给。其经济意义为：当价格达到时，如果价格上涨一个单位，则供给增个单位。(2)边际成本函数总成本函数 平均成本函数 称为边际成本函数，代表固定成本，代表可变成本。称为当产量为时的边际成本，其经济意义为：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减个单位。例1：某种产品的总成本（万元）与产量（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为 求生产水平为（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适？解当q=10时的总成本为（万元）所以平均成本（单位成本）为（元/件）边际成本 因此在生产水平为10万
18、件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量 (3)边际收益函数总收益函数 ，平均收益函数 边际收益函数 简称边际收益， 称为当商品销售量为时的边际收益，经济意义为：当销售量达到时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减个单位。总收益是产量与价格P的乘积,即 总利润为总收益与总成本的差值,即 。若价格随的变化而改变,则最大时总收益TR和总利润不一定取到最大值,并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润,下面,运用导数对收益进行优化分析。例2: 设垄断厂商的需求函数为,总成本函数 , (1)求：为多少时使总收益最大,与此相应的价格,总收益及总利润
19、各为多少？ (2)求：为多少时总利润最大,价格,总收益及总利润为多少? 解:(1)已知厂商的产品的需求函数为 则 总收益最大，即要求 所以 。导数方法： 即 得 所以 时，最大。把 代入 得 总收益 总利润 (2) 总利润最大时， 得 把 代入 得 总收益 总利润 （4）边际利润函数利润函数 ，平均利润函数 边际利润函数 称为当产量为时的边际利润，其经济意义是：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减个单位。在以上的定义中我们都发现不管是边际成本、边际利润，都是导数的一些很简单的应用。导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题
20、归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。导数在经济学中的意义可以解释为：用增加一个经济变量的一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少。比如边际替代率：边际替代率的概念是这样来定义的：为了维持原有的满足程度不变，消费者为增加一单位商品x而必须放弃的商品y的数量。用公式表示就是： 例3：某公司总利润（万元）与日产量（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为。试求每天生产吨，吨，吨时的边际利润，并说明经济含义。 解：边际利润 从上面的结果表明，当日产量在吨时，每天增加1吨产量可增加总利润万元；当日产量在吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在吨时，每天产量再增加1吨反而使总利润
21、减少万元，由此可见，该公司应该把日产量定在吨，此时的总利润最大为： （万元）从上例可以发现，公司获利最大的时候，边际利润为零。例4：某公司有A、B两个子公司生产同种产品，其总成本函数为 其中表示子公司A生产的产量。表示子公司B生产的产量当公司生产的产量为120时，求公司生产总成本最少时A、B两子公司的产量组合解法一：当个公司用两个子公司生产同种产品时，它必须使两个子公司生产的边际成本相等，才能实现成本最少的产量组合子公司A生产的边际成本： 子公司曰生产的边际成本： 由 的原则， 即 因为 于是 解得 ,解法二(用拉格朗日函数方法)： 建立拉格朗日函 求偏导，得最大值的一阶条件 可得 即 代入得
22、 解得 ，与解法一结果相同。 2.1.2导数在弹性理论中的应用弹性概念： 高鸿业 西方经济学（第四版）中国人民大学出版社 2007,8.需求弹性用于描述在一定时期内一种商品的需求量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度。需求的点弹性公式为 =弧弹性公式为 =供给弹性用于表示在一定时期内的一种商品的攻击量的相对变动对于该商品的价格的相对变动额反应程度。供给的点弹性公式为 供给弧弹性公式为 例5：假设某市场上A、B两公司是生产同种有差异产品的竞争者，且市场上对A、B两公司产品的现有需求量已达到饱和。市场上A公司的需求曲线为，B公司的需求曲线为，两公司的销售价格分别为只元，元。 (1)求A、
23、B两公司的需求价格弹性。 (2)如果B公司降价到A公司的销售价格400，使得B公司的销售量增加，而A公司的销售量减少，那么A公司需求的交叉弹性是多少? (3)B公司降价的行为选择正确吗?A公司由销售量减少而造成的损失是多少? 解：由, ,得 于是 ，从而市场上面对该产品的饱和需求量为A公司的需求价格弹性： B公司的需求价格弹性： (2)当时， 得市场上对该产品的饱和需求量为可知，于是 , A公司需求的交叉弹性： (3)B公司在时的需求价格弹性为,即需求缺乏弹性，降价会减少销售收入，因为，降价前，B公司的收入 降价后，B公司的收入 显然，B公司降价减少了它的销售收人，所以，对于丑公司追求销售收入
24、最大化的目标而言，它降价在经济上是不合理的。降价前，A公司的销售收入 降价后，A公司的销售收入 A公司有销售量减少而造成的损失时10%。 2.1.3导数在解释曲线形状中的运用 首先我们先认识两个曲线，无差异曲线： 高鸿业 西方经济学（第四版）中国人民大学出版社 2007,8.即能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品不同数量组合的轨迹。等产量线：所谓等产量线是指在生产技术条件不变的情况下，生产相同产量的生产要素投入量的各种组合方式的点轨迹一般的等产量线有密集性，凸向原点，斜率为负，互不相交，远离远点的曲线代表更大的产量水平！这两条曲线都是斜向下倾斜，凸向原点！为什么呢？我们可以用导数来解
25、释！如无差异曲线，其任一点的边际替代率可表示为： （注）对于通常的商品，由于其边际效用递减，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为增加一单位商品X而必须放弃的商品Y的数量是递减的，所以边际替代率递减根据函数单调性的判断法，递减函数的一阶导数小于零，即边际替代率小于零： 从而有 根据数学上关于曲线凹凸性的判断法，由二阶导数大于零，可知函数的曲线是凹的，即曲线凸向原点因此无差异曲线是凸向原点的。例6: 柯布一道格拉斯效用函数 ，和是描述消费者偏好的正数。 证明:柯布一道格拉斯无差异曲线凸向原点的。 证明:一条无差异曲线就是效用函数 等于某个常数的所有点的集合，不妨设 （k为大于0的常数）并将y
26、作为x的函数，的 求导得 因为，和均大于0，所以从而曲线 是凹的，也就是柯布一道格拉斯无差异曲线是凸向原点的。 综上一些导数在经济学中边际分析、弹性、曲线形状等内容中的应用可以看出，在经济学中很多的重要概念都会用到微积分中的导数来解释来分析，可见导数在经济学领域中的重大作用。然而微积分中的另一个重要内容同样在经济学中应用广泛，那就是极限。 2.2极限在经济学中的应用 极限概念是微积分中最基本的概念，微积分中大量的其它基本概念都是用极限概念来表达的。如导数概念和定积分概念都是建立在极限概念的基础之上。微积分建立在初等数学之上能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因在于它引进了一个新的思想方法，即
27、“极限”的思想方法。“极限”思想方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。“极限”思想方法，是微积分中一个重要的内容是应用微积分解决实际生活问题的重要思想来源。而经济学中的许多问题也是用微积分来解决的其中就涉及到 “极限”思想这一重要方法。因此，用“极限”思想方法指导经济学中相关概念的学习，对于掌握经济学中的重要概念有很大的帮助。 2.2.1极限解决连续复利问题 例7: 设银行存款现值和将来值，年利率为则年后的本利和即将来值 若一年分次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为 而t年后的本利和即将来值为 当时，则年后的本
28、利和即将来值为 从而现值和将来值之间的关系为 或者 现值为，利息为，则得 例子中的极限应用体现了在经济学中当一个数值含有极限的意义即趋向无穷大或0时，利用微积分中的极限的思想去解题可以步骤简化，思路清晰的解决很多经济学的这些问题。 2.2.2极限在弹性求法中的应用 经济学中比较重要的弹性的求法也是利用到了极限的思想，在本文上面我们已经写出需求弧弹性公式、需求点弹性的公式。设某产品的单位售价为，该产品市场需求量为，它的需求函数为。 则两点问的需求弹性系数为 再看需求点弹性的概念。需求点弹性是指某价格水平上，当价格波动很小时所引起的需求量变化的敏感程度。需求点弹性系数为 可见两点问的需求弹性系数为
29、而通过两个弹性公式的本质上是相同的，区别是前者为价格变动量较大时的需求曲线上两点之间的弹性(平均值)，后者为价格变动量无穷小时的需求曲线上某一点的弹性。用需求点弹性公式计算点弹性，其优点在于只需确定了需求曲线的形状，就可以求出与点相对应的精确的弹性系数。为了求出某一点的弹性用在需求曲线上“两点之间的弹性”代替“某一点的弹性”求得弹性这个量的近似值然后再通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡。在这里，使“两点之间的弹性”与“某一点的弹性”转化的条件是取极限，不取极限同样也就不能实现从近似到精确的转化。2.3积分在经济学中的应用。 大家都知道，在经济学中有各种各样的函数，代表不同的经济学现象。而且
30、我们一般情况下知道的都是比较直接的一些边际函数，当我们想知道总函数的时候我们就要去了解一些微积分中的其他一些内容了，下面我们就谈谈微积分中积分部分在经济学中的应用。 2.3.1利用积分性质用来求原函数 在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数)，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。例8； 设生产个产品的边际成本，其固定成本为元，产品单价规定为元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。 解：总成本函数为 总收益函数为 总利润 令得 因为所以，生产量为200单位时，利润最大，最大为 （元）在这里我们应
31、用了定积分，分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才能取得最大的利润。 2.3.2利用积分性质计算消费者剩余消费者剩余是某商品价值与其价格之间的差额，或者说是消费者根据自己对商品效用的评价所愿意支付的价格与实际付出的价格的差额。计算消费者剩余，对于市场是否使得经济主体福利达到最大化、市场结构是否有效等问题的解答起着关键的作用。有限需求者的离散型的需求结构中，消费者剩余可以通过累加的方式进行计算；但是在连续需求函数中，消费者剩余的测算就需要利用积分的知识了。如下图(图1)所示，消费者剩余实际上是图中阴影部分曲边梯形的面积，利用定积分的知识容易计算出结果 D A
32、 P b O P图1 而积分在经济学中的另一个作用就是发挥其作为微分的逆操作，通过对已知的边际成本、边际收益、边际利润的函数进行处理，以得到需求或生产函数。下面的例子就是积分在求取总生产函数中的应用。 例9：设生产某产品的固定成本为1万元，边际收益R和边际成本分别为单位：万元，台)： 求：若产量由1台增加到3台，总收益增加多少?总成本增加多少?产量为多少时，总利润达到最大? 解：总收益增加量为： 总成本增加量为： 边际成本等于边际收益是利益最大，即 时总利润最大，此时产量为 例10：边际收益函数 。求总收益函数于需求函数P(Q)。此时总收益函数 由于 可得得 ,需求函数 ,即 。 3.总结 在
33、经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。而导数在经济学中的应用可以说是最广泛的，因为在经济学中很多函数：价格函数、需求函数、成本函数、收益函数、利润函数、还有像边际问题、弹性问题。这些十分重要的函数，里面都有导数的应用问题。还有就是在极限的概念基础上面，很多经济学的知识也是得到很大的解决的。微积分在经济学中的作用是十分的重要，对于一个企业经营者来说，对经济环节进行定量分析是十分必要的，数学是一个有力的定量分析工具可以提供客观、精确的数据。可以给策划者准确而且正确的思路去进行经济活动也是数学应
34、用性的具体体现。微积分导致了微观经济学的形成。各种微积分方法以个体经济活动为出发点，以需求、供给为重心，强调主观心理评价，导致了以“个量分析”为特征，以市场和价格机制为研究中心的微观经济学的诞生。微观经济学正是研究市场和价格机制如何解决三大基本经济问题，探索消费者如何得到最大满足，生产者如何得到最大利润，生产资源如何得到最优分配的规律。微积分方法的运用使西方经济学研究重心发生了转变。由原来带有一定“社会性、历史性”意义的政治经济学转为纯粹研究如何抉择把有限的稀缺资源分配给无限而又有竞争性的用途上，以有效利用。因此，在当今国内外，越来越多地应用微积分知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。微
35、积分在经济学中的应用使实证经济学得到重大发展。研究变量变动时，整个经济发生了什么变动，这为研究事物本来面目、回答经济现象“是什么”问题的实证经济学提供了方法论基础。 参考文献： 1聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分M.北京:中国对外经济贸易出版社,2003,(6). 2高鸿业.西方经济学（第四版）M.北京:中国人民大学出版社,2007,8. 3张丽玲.极限思想在经济学中的应用J.柳州职业技术学院学报, 2007,7(3). 4李春萍.导数与积分在经济分析中的应用J.商业视角,2007,(5). 5褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用J.枣庄学院学报,2007,(10). 6李晋明,李朝阳.经济
36、数学微积分M.北京:经济管理出版社,2001,(1). 7臧忠卿.导数在经济分析中的应用J.商场现代化,2006,(30). 8胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京:科学出版社,2005. 9张丽玲.导数在微观经济学中的应用J.河池学院学报,2007,(27). 10曹克明.微积分M.武汉:中国财政经济出版社,2002,9. 11陈坚.浅谈微积分在经济学中的应用J.科技风,2009,7. 12霍伊.MichaelHoy经济数学M.北京:中国人民大学出版社,2006,12. 13张丽玲.微积分在经济学中的应用J.百色学院学报,2007,(5). 14WilliamBaumol. AlansBlinder经济学:原理与政策M. 北京:北京大学出版, 2001,1. 15Chifu Huang. Foundation For Financial EconomicsM.北京:清华大学出版社.2003,10. 16顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用.职业圈J,2007,(4). 17杨敏华.经济数学M.大连:东北财经大学出版社,2007,2. 18刘桂茹,孙永华.经济数学微积分部分M.南京:南开出版社,2002,11. 19马黎政,金朝嵩. 经济数学J,2005,(22).
