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1、1函数的零点及应用一、要点扫描1函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续的曲线且f(a)f(b)0，则f(x)在区间a，b内有零点2函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)0.3曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线yf(x)与yg(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数yf(x)g(x)的零点，即求f(x)g(x)0的根二、典型例题剖析1求函数的零点例1 求函数f(x)x33x2的零点解令
2、f(x)x33x20，(x2)(x1)20.x2或x1，函数f(x)x33x2的零点为2,1.评注求函数的零点，就是求f(x)0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题2判断函数零点的个数例2 已知函数f(x)ax(a1)，判断函数f(x)0的根的个数解设f1(x)ax(a1)，f2(x)，则f(x)0的解，即为f1(x)f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)ax(a1)与f2(x)的图象(如图所示)所以方程f(x)0的根有一个评注利用数形结合的思想解决
3、，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点的个数(即是原函数的零点的个数)3确定零点所在的区间例3 设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析yx3与y()x2的图象的交点的横坐标即为x3()x2的根，即f(x)x3()x2的零点，f(1)1()110，f(2)23()070，f(x)的零点在(1,2)内答案B评注本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求4利用函数零点的存在性求参数范围例4 关于x的二次方程x2(m1)x10
4、在0,2上有解，求实数m的取值范围解设f(x)x2(m1)x1，x0,2，又f(0)10，由题意得或解得3m1，解得m3.即m1.所以m的取值范围为m1.评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求2零点问题考向探究函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型一、判断函数零点的存在性例1已知函数f(x)2x34x23x1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是()A函数在区间(1
5、,0)内有零点B函数在区间(0,1)内有零点C函数在区间(1,2)内有零点D函数在区间(2,3)内有零点分析根据选项提供的区间来看，需要计算f(1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点的所在区间解析因为f(1)20，f(1)40，f(2)50，所以f(1)f(0)0，f(0)f(1)0，f(2)f(3)0.又因为一个三次方程最多有三个实根，所以函数f(x)2x34x23x1在区间(1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点答案C评注由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正
6、确答案二、判断函数零点所在的大致区间例2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析因为f(1)30，f(0)10，所以f(x)在区间(1,0)上存在零点答案B评注若f(a)f(b)0，且f(x)在a，b上连续，则yf(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)f(b)0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点.3解读二分法 “二分法”是现行教材中一个新增内容，它的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题
7、一、定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法二、适用条件若用“二分法”求函数yf(x)零点的近似值，必须具备两个条件：函数yf(x)在区间a，b上图象要连续不断例如函数y图象不连续，要求它在0,3上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；必须满足f(a)f(b)0，这说明yf(x)在区间(a，b)上一定有零点，否则若f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a，b)上不能保证有无零点，不能用“二分法”三、用二分法求函数零点近似
8、值的一般步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；2求区间(a，b)的中点c；3计算f(c)；(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)4判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤24.四、二分法的优、缺点二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则，其体现了过程的机械性和简单性缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确
9、性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”例 求方程x22x10的一个大于零的近似解(精确度0.1)分析先利用函数图象直观得到某根所在的区间解设f(x)x22x1，先画出函数图象的草图，如图所示f(2)10，f(3)20，在区间(2,3)上，方程x22x10有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，f(2.5)0.250，所以x1(2,2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)0.437 50，所以x1(2.25,2.5)，如此继续下去，得f(2.375)0，f(2.437 5)0，则x1(2.375,2.437 5)，|2.437 52.375|0.062 50.1.此方程大于零的
10、近似解为x12.437 5.评注运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间4函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数yf(x)(如果yax2bxc可以写成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看
11、作二元方程yf(x)0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)3x32x21，判断方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解解因为f(1)3(1)32(1)2140，所以f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6)0时g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程f(x)1仅有一个根故选A.答案A评注在区间a，b上
12、单调且图象连续的函数yf(x)，若f(a)f(b)0或k0或k4.评注本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决5函数应用问题“讲”与“练”讲解一求函数模型例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t0)万件请将税金收入表示为征收附加税的函数解设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y250xtx.依题意，知x40t0，即t25.故所
13、求的函数关系式为yt4t2100t(0t25)评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式答案y15x250x15 000讲解二函数模型的选用例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：种植成本Q(万元)150100上市时间t(天)50150模拟函数可
14、以选用二次函数Qa(t150)2b(a，b为常数，且a0)，或一次函数Qktm(k，m为常数，且k0)已知种植成本Q112.5万元时，上市时间t200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由分析根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.解设f(t)a(t150)2b(其中a，b为常数，a0)，g(t)ktm(k0)由已知，得所以解得所以f(t)(t150)2100，g(t)t175.因为f(200)(200150)2100112.5，g(200)20017575，所以选用f(t)(t150)2100作为模拟函数较好评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算
15、得到在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化练习2 现有一组数据如下表所示：x123y1.53.517.5其中最能近似地表达这些数据规律的函数是()Ay2x1 Byx21Cy2x Dyx3x1答案C讲解三转化为熟悉的函数模型例3 有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：Mx，N，今有4万元资金投入经营A，B两种商品为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？解设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4x)万元于是获得总利润yx.
16、由得0x4.令t(0x4)，则x4t2(0t2)所以y(4t2)t2(0t2)于是，当t时，ymax(万元)此时，x4t21.75(万元)，4x2.25(万元)故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润答案安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元6哪种
17、模拟函数更合适例 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好，为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？解先将产量转化为图象上的四个点A(1,1)，B(2，1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)，描出它们的散点图，再进行模拟估计一次函数模拟设模拟函数为yaxb，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得所以y0.1x
18、1.如果用此模拟函数估计今后几个月的产量，因为在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上涨1 000双，这是不切合实际的，所以这个模拟函数不可取二次函数模拟设模拟函数为yax2bxc，将A，B，C三点的坐标代入，得解得所以y0.05x20.35x0.7.运用二次函数作为模拟函数，计算出的4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，另外由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下，二次函数的对称轴方程是x3.5)，这显然不符合生产实际，所以这种模拟函数不可取幂函数模拟设模拟函数为yab.将A，B两点的坐标代入，得解得所以y0.480.52.将x3和x4代入，分别得到y1.35和y1.48，与实际产量差距较大，这是因为此法只使用了两个月的数据指数函数模拟设模拟函数为yabxc，将A，B，C三点的坐标代入，得解得所以y0.80.5x1.4.将x4代入，得y0.80.541.41.35.与第4个月的产量比较接近，所以该模拟函数较适合评注比较上述四个模拟函数可以发现，选择模拟函数既要考虑到误差最小，又要考虑到生产的实际情况，比如增长的趋势和可能性经过反复选择，以指数函数模拟为最好首先是误差最小；其次是由于新建厂，随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会有明显上升，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势因此选用y0.80.5x1.4模拟比较接近实际
