《专题63构造圆与隐形圆在二次函数中综合问题(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题63构造圆与隐形圆在二次函数中综合问题(解析版).docx（32页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、专题63构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题1、如图，在直角坐标系中，直线y= - 1与x釉，y轴的交点分别为A、B,以x= - 1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A C,直线x= - 1与x轴交于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P,使以A, D, P为顶点的三角形与二AOB相似？若存在，求出点P的坐 标：如果不存在，请说明理由：（3 ）若点Q在第三象限内，且tan二AQD=2,线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值：如果 不存在，请说明理由.【答案】y=x2+2x-3： （2）存在；点P坐标为（-1, -|）或（1，（3）存在，CQ最小值
2、为警空.【解析】（1）二直线y=1x - 1与x轴交于A点，二点A坐标为（-3, 0）,又二直线x=- 1为对称轴，二点C坐标为（1, 0）,二抛物线解析式为：y= （x+3） （x - 1） =x2+2x - 3： （2）存在: 由已知，点D坐标为(-1, 0),点B坐标为(0, -1),设点P的坐标为(a, 二当二 AOB 二二 ADP 时，空=巴,即三=也, AO OB 31解得：a=-l：点P坐标为(-1, -1):二当二AOB二二APD 时， 过点P作PE：x轴于点E,则二 APE 二二 PED,二 PE2=AEED,Z ( - %- 1) J (a+3) ( -a- 1), 解得a
3、】=-3 (舍去)，a2= - t 二点p坐标为(-?, -1):(3 )存在，CQ最小值为牛工如图，取点F(-l, - 1),过点ADF作圆，则点E ( -2,为圆心,二 tan 二 AFD=2.二弧AFD （A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，则连CE交二E于点Q,则CQ为满足条件的最小值，此时 CE=JG）2 + 32 =二二E半径为日，ZCQ最小值为空造.2、如图，直线尸-23与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y= - #+bx+c经过A、B两点，与x 轴的另一个交点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接0P交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m, P
4、Q与0Q的比值 为y,求y与m的关系式，并求出PQ与0Q的比值的最大值；（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD,设二ODC外接圆的圆心为M,当sm二ODC的值最 大时，求点M的坐标.【答案】 抛物线解析式为产-，一23： （2）尸-扣2+1，PQb0Q的比值的最大值为:：点M 的坐标为（-1, y/3）或（-1, - /3 ）.【解析】（1）在y=-4+3中，令产0得x=4,令x=0得y=3, 4二点 A (4, 0)、B (0, 3),把 A (4, 0)、B (0, 3)代入尸-葭2+bx+c,得： 8-X42+4b + c= 0c = 3解得：b = Lc = 3二抛物线解析
5、式为广-2*+3；(2)如图1,过点P作y轴的平行线交AB于点E,则二 PEQ 二二 OBQ,-PQ _ PE=OQ OBZ=y. OB=3, OQ J二冶 PE,二P (m,-23),则 PE= ( - |111，+加-3) - (一 |m+3) = -i z 3 713 . i 7 i i-y=3(-产* = - 1m一严 一 im-2) 2+gZ0m0 时，当 x=2 时，y = -0时，则-10.a思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时一跳 a1a 2综上所述，当4时，抛物线与线段PQ
6、恰有一个公共点.4、如图，抛物线y=ax?+bx+6与x轴交于点A （6, 0）, B （ - 1, 0）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.（3 ）抛物线上是否存在点P，使二BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P,（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由.57【答案】y= V+5x-6：（2） M （一，-）；存在5个;:条件的P点,尺规作图见解析 22【解析】 解：(1)将 A (6, 0), B ( - 1, 0)代入 y=ax?+bx+6,可得 a= - 1, b=5.(2 )作点C关
7、于对称轴x=-的对称点C,连接BC与对称轴交于点M, 2根据两点之间线段最短，则CM+BM=CWBM=CB最小，ZC (0, 6),二C (5, 6),设直线BC的解析式为产kx+b 将B ( - 1, 0)和C，(5, 6)代入解析式，得0 = -攵 + 6 = 5k+b解得：二直线BC的解析式为y=x+L57将x=一代入，解得尸工2257二M (一,-)2 2（3）存在5个满足条件的P点：尺规作图如下：二若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P,如图1所示，此时点P有两种情况：二若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P.如图2所示，此时点P即为所
8、求：二若BP=CP,则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P,如图3所示，此时点P有两种 情况：故存在5个满足条件的P点.5、在平而直角坐标系中，二次函数丫=乂2+6乂-8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y =kx+三（k翔）经过点A,与抛物线交于另一点R，己知0C=20A, OB = 30A.3（1）求抛物线与直线的解析式：（2）如图1,若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH二AR于点H,过点P做PQ二x轴交抛物线于 点Q，过点P做PHT：x轴于点H，K为直线PH，上一点，且PK=2於PQ,点I为第四象限内一点，且在直 线PQ上方，连接IP、IQ、IK,记1
9、=当PH ：PQ, m=IP+IQ+IK,当1取得最大值时，求出点P的坐标， 并求出此时m的最小值.（3 ）如图2,将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M,过点M做MN：x轴，交抛物线于点N, 动点D为x轴上一点，连接MD、DN,再将二MDN沿直线NID翻折为匚MDN，（点M、N、D、N，在同一平 而内），连接AN、AN NN;当匚ANN为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标.J，八图1图2【答案】y=/2-：x-8, y=3x+：;(2) P (5, 一争，m的最小值为2旧；(3) D1 (卡/，0),D2 ( -4, 0), D3 0), D4 (W, 0). 32【解析】解(1)二y
10、=ax斗bx-8与y轴的交点为C,令x=0, y= - 8,二点 C (0. -8),二 OC = 8,二OC=2OA, OB = 30A,ZOA=4, 0B = 12,二A ( -4, 0) B (12, 0),将点A代入直线解析式可得0= - 4h支解得k=*一 55-y=谈勺将点A和点B代入抛物线中，(0 = 16a 4b 8to = 144a + 12b-8 解得 a=- b= - 63一 1 24。-y=-x- - rx - 8； o o（2）设点P的坐标为（p,箓、p-8）, -=4,二抛物线的对称轴为直线x=4,二点 Q 8-p, p2-p-8）,二 PQ=2p-8,二 PK=2
11、同Q,ZPK=4V3p - 16技如图1所示，延长PK交直线AR于点M,则M（p,融+|）,ZPM=-P+ - 42Q-8) = 12 33尸12 二 3ZZPHM=ZMHrA,二HMP=：AMH,二二 HPM=：MAH,二直线解析式为丫=3+|,令x=0. y=二 oeT 3二 OA=4,根据勾股定理得二ae=.二 cos 二 EAO崂12- -TTf PH PH 12_COS_HPM= = 7T7-F =PM - ip2 - p+13匚PH版母喏,ZI=PH-ipQ,二I=U(-42-43)- (2p-8) = - (p-5) 2+g5, 213r 13r 134r二当P=5时，I取最大值
12、此时点P (5,-生，二PQ=2, PK=4技如图2所示，连接QK,以PQ为边向下做等边三角形PQD,连接KD,在KD取I,使二PID=60。，以PI为边做等边三角形IPF,连接IQ,二IP=PF, PQ=PD,二IPQ=：FPD,二二IPQ二二FPD (SAS),ZDF=IQ,二IP+IQ-IK=IF-FDTK=DK.此时 m 最小，过点D作DN垂直于KP,二二 KPD =二 KPQ+二 QPD = 150。，二二 PDN=30。，二 DP=PQ=2,二DN=1,根据勾股定理得PN =百，在二KDN中，KN=5V3, DN=1,根据勾股定理得KD=2g,二m的最小值为2g：(3)设NM与x轴
13、交于点J,12二AM=13, cosZMAJ=.二AJ=12,根据勾股定理得MJ=5,二 OA=4,二 OJ=8二M (8, 5),当x=8时，代入抛物线中，可得y=-8,ZN (8, -8), MN=13,在二AJN中，根据勾股定理得AN=4g,二点D为x轴上的动点，根据翻折，MN，=13,所以点N，在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动,如图3所示，V图3二当N，落在AN的垂直平分线上时,tan 二 NINA=孑， 82ZtaiiZMGJ=t 2二 MJ=5.二JG=?根据勾股定理得卜出=孚 二MD1为二GMJ的角平分线,一 MG GDZD10),2二MD4也为角平分线,ZZD1MD
14、4=9O,根据射影定理得MJ2=JD1JD4,ZJD4 =ZD4 (31+57320)：二当 AN=AN时,D2与点A重合，ZD2 ( -4, 0),二MD3为角平分线，-也=血一 MNQ - D3Nf9二 JD3=2 3二D3 (- 0).2326、如图，在平面直角坐标系xQy中，经过。(1, 1)的抛物线y=62+bx+c (Q0)顶点为与x轴正半轴交于三3两点.(1)如图1,连接OC,将线段。绕点。逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的而积：(2)如图2,延长线段。至M 使得。N=&OC,若二。M4 = OOBN且tan二反,求抛物 2线的解析式：(3)如图3,已知以直线x=
15、：为对称轴的抛物线jkaf+brl。交y轴于(0, 5),交直线/： y=kx+?n (k0 )于C,。两点，若在X轴上有且仅有一点P,使口。尸。=90。，求上的值.【答案】(I) -： (2) y=2r2-9x+8； (3)仁空二2.43【思路引导】45jr(1)线段OC过的面积=一、。(72)2=-：36074(2)二ONA二二OBN,则。#08=0产=4,即加=4二，则抛物线的表达式为：y=a (x-m)r in + nm + na(m-n)2 山 m + n一 力门,MH 1- a ( - w) ( - )= , AH= - m. tan_A!A/= a (n2242AH 2/T7-泄
16、)=，化简得:a (n - m) = Jl7二，将(I, 1)代入尸a (x - m) (x -)并化简得：a (52-7M-H)=1二，联立匚即可求解；(3)抛物线的表达式为：y=x2 - 5x4-5：设点D(nt, n), n=tn2 - 5m+5,而点C(l, 1),则上=网上_Iin -1=加-4,若在x轴上有且仅有一点尸，使二C尸Q=90。，则过CZ)中点的圆R与x轴相切，即可求解.【解析】45jr(1)线段。过的而积=而、*(/2)2=-：(2) OV=JJOC=4,设点工、B的坐标分别为：(加，0)、5, 0),二ONA = ：OBN,则二ON4二二OBN,则。4O3=OAR=4
17、,即加=4二， 则抛物线的表达式为：y=a (x-w)过点3/作,磔二四交48于点H 函数的对称轴为：x=-（冽+）, 2m + n则 MH=m= - a (ni)2tan二A1M= = a (，- 7) AH 2化简得：a (n - m) =JT7 二,将(1, 1)代入y= (x - m) (x - w)并化简得:联立.二二二并解得：m=纪叵，Y则抛物线的表达式为y=a (x - /ri) (x-)=a (x2 - z?x - nxmn) =2x2 - 9x+8：a+b+c=（3）由题意得：b 5,工=一丁 =大，解得:2a 2c = 5故抛物线的表达式为：丁=胃-5/5：设点。（7”，）
18、，n=m2 - 5m+5,而点 C. 5/n + 5 1则 k=m - 4,？一1b = -5, c = 5(1, 1),若在x轴上有且仅有一点P使二CPQ=90。，则过8中点的圆R与x轴相切，设切点为尸,r , j / 6 + 1 fl + 则点H（，），则月产=C,22即（空1-1）2+（匕1-）2=（丝1222化简得：3/-18川+19=0,解得：m = 3+还（不合题意的值已舍去）,3. 26-3k=m - 4=-.3【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等， 综合性很强，数据处理技巧多，难度大.7、如图1,抛物线），=；
19、/+三工+ 3与y轴交于点C，与x轴交于点H、8 （点d在点3左边），。为坐 标原点.点。是直线3C上方抛物线上的一个动点，过点。作DE二x轴交直线8C于点瓦点尸为二C,4B 角平分线上的一动点，过点尸作尸。二于点H,交x轴于点0：点尸是直线3C上的一个动点.（1）当线段DE的长度最大时，求。尸+产屐!尸。的最小值.（2）如图2,将二30C沿3c边所在直线翻折，得到二80C,点”为直线8。，上一动点，将二1OC绕点。 顺时针旋转a度（0。（1/3, X- = 3/3 . 1 ，二 4-后0), 3(3/0),。(0,3)1，2c 勺 cr +。+ 3)二，C二BC,且二dSC=30. ,4。=
20、26，旦yBc=*x + 3设。(a, 一2_/+2 + 3),则E (正24一 333二DE=a-二当a3+2时，DE最大.此时Q (她24二平分二C43,ZZP=-ZC1B=3O% 2二 PQ 二 BC, 二二产。3=60。Z ZP= ZPOB -二用5=60。- 30。= 30。=二以及二 PQ 二 BC,二尸08=60。，ZAO=PO,二 df+fq+-pq = df+fq+-aq ,12 z min x2 J min将射线.抗绕，蚓中 5转30。得到直线，试点。作RM的垂我,点时，交x轴于点。，则142=。.2当 Q 运动到。时，有 DF + FQ + -AQ =DM, I2 )mi
21、n过。作DN二x轴于点M可得二与二。0N相似,dn=d、= J 尔=空 42二。w=越,DO=晅，A(y=AN - ON=苑424二 DM=DO-OM=8DF+FQ+AQ=DM= 25c )min8（2）第一种情况:如图2,33NH=r= , QH- yj3r = 7?, OO=2r=39QN=QHNH=6-, QB=3+3G QP=QB = - + -yf32222 2PN=PO - 0N=6. Si = 18.第二种情况，如图3,0H= /3r = |/3 , HN=r= |,9PN=PO-OHHN=3, S.=-；，2第三种情况,如图%ON=OB = 2, OM=CON =）日 2229
22、 l 3MO = OM-r=-”, 22S3=gMQ2 =171 275/2 8第四种情况,如图5,05= 3，OM=2, ON=s/2r = -yf2, MN=OM-QN=-2222c 1 ” 炉 99 27 尻 S4 = MN =yj2 .284第五种情况，如图6,0N= OBcos 15=的x3/3 4 一om=2ob = 2, on=G = 0mn=om-on，_X,22222S6=*2=S：综上所述，国成的三角形面积为：S,=18; S,=2; S、=l三E； s4= - -V2. 1- 284848、如图，抛物线y=-?2+bx+c与x轴交于A、B (A左B右)，与y轴交于C,直线
23、y= - x+5经过点B、 c.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m,点P到直线BC的距离为d,求d与m的函数解 析式：(3)在(2)的条件下，若二PCB+二POB = 180。，求d的值.【答案】(1) y= - (2) d=m2 - -m ( -2mZPFZAB,二点F的纵坐标为-=m2+%+5, 22则有-31121+5= - x+5,二 x=M m二PF=%2 - -m - m=-in2 - -m. 2222ZOB=OC,二BOC=90。，二二EFPUOBC=45。，二PE二EF,二二PEF是等腰直角三角形，：d=PE=9PF=m2 -(- 2m0
24、)：(3 )如图2中，取BC的中点H,连接PH.二二 PCB+二 POB = 180。，二0、B、C、P四点共圆，二二 CPBCOB = 90。，二 ph=Lbc=% 22ZP (m, -112+4+5)，H (-,-), 2222二(m-) 2+ ( - m2An+5 - -) 2=空, 22222整理得：m (m-5) (in2-m-2) =0,解得m=0或5或-1或2,二P在第二象限，Zm= - 1,29、在平面直角坐标系X。中，对“隔离直线”给出如下定义：点尸（X/2）是图形G1上的任意一点，点。（x,）是图形a上的任意一点，若存在直线/： 丁=履+双女工0）满足?6+。且之乙+，则称
25、直线/：4），=云+仇女#0）是图形G1与G?的“隔离直线 如图1，直线/：），= 一工一2是函数y = （xvO）的图像与 x正方形OABC的一条“隔离直线二4(1)在直线匚X =一工一1, 口力=3工+ 1,匚%=一工+ 4,二以=-2x中，是图1函数y = (x0)的图 x像与正方形。48c的“隔离直线”的为(2)如图2,第一象限的等腰直角三角形EOF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点。的坐标是(2,1),二。 的半径为6,是否存在AEOE与匚。的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请 说明理由；(3)正方形45GA的一边在轴上，其它三边都在)轴的左侧，点是此正方形
26、的中心，若存 在直线y = -2x + b是函数y = x2+ 2x-3(-4 W x K 0)的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写 出/的取值范围.【答案】(1)二二;(2)y = -2x+5：(3之2或，K8【解析】4根据的隔离直线”的定义可知乂 = - 2x，是图1函数y = -(x 0)的图W川E方形OABC的“隔离直线”： x4直线X = 一“- 1也是图1函数.V = (x v 0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而% = 3*+1与x”=一1+ 4不而足图1函数y = (xv0)的佟|象：方形OABC的“隔座线、的条：x故答案为:二匚；(2)存在,理由如下：/5 二二0的
27、半径为，二点D在二O上.过点D作DHJOD交y轴于点H,二直线DH是二0的切线，也是二EDF与二0的“隔离直线设直线0D的解析式为丁 =履，将点D(2, 1)的坐标代入得l = 2k,解得：2二DH二0D,二设直线DH的解析式为y = -2a-+ n,将点D(2, 1)的坐标代入得1 = 2x2 + ，解得: =5,二直线DH的解析式为y = -2x+5 ,二“隔;.【广的表达式为y = -2x + 5； (3)如图:由题意点F的坐标为(-4,5),当直线y = -2x+经过点F时，5 = -2x(Y)+,二 b = 3二直线y = -2x 3,即图中直线EF,二正方形ABC。的中心M(L t
28、),过点M作M0二y轴于点G,二点M是正方形的中心，且MG = i.二BQ = 2Mfi = 2, B、G = 1,二正方形AiBiCiDi的边长为2, 当 x = -2时，y = _2x_3 =-2x(-2)-3 = 1,二点Ci的坐标是(一2,1),此时直线EF是函数丁 = /+2工-3(-4%0)的图象。正方形人11(：1功的“隔离直线”，二点的坐标是(-1, 2),此时1 = 2：当宜线y = -2x+b j y = f + 2x 3只有一个交点时。，y = -2x+2 _ 消去 y 得到 W+4*一3一。=。，y =+ 2x - 3由=(),可得 4?一4(一3一)=。，解得：b=7
29、,同理，此时点M的坐标为：(1,-8),二/ = 一8,根据图象可知：当C2或/-8时,直线y = -2x+b是函数y = x2 + 2x-3(0x4)的图象与正方形AiBiCiD*的“隔离直线10、如图，已知直角坐标平而上的ABC，AC = CB,乙ACB = 90。,且4(一1, 0),C(3, 0).若抛物线 =。/ +取一3经过力、C两点.(1)求a、b的值：(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点8,求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当OQ与x轴和 直线8c都相切时，联结PQ、BQ,求四边形A
30、BQP的面积.【答案】(1)= ：；(2)新抛物线的解析式为y = / 2x + l;(3)5lb = Z【解析】(1)二抛物线尸=。/ +及一3经过4(一1,0)、C(3, 0),-(a b 3 = 0一(9。+ 3b - 3 = 0解得：= I ； 3 = -2(2)设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点8,则新抛物线的解析式为y = x2-2x-3 + k,二月(一1, 0)、C(3, 0),二。8=力。=3 (-1) = 4,二乙4c8 = 90。，：:点8的坐标为(3, 4).二点8(3, 4)在抛物线y = / - 2% - 3 + 上，二 9 6 3+2=4,解得：k
31、 = 4,二新抛物线的解析式为y = / 一 2x + 1 ：(3)设0Q与4轴相切于点D,与直线BC相切于点E,连接Q。、QE,如图所示,则有QDJ.OC，QE 1 BC. QD = QE,二乙 QDC = LDCE =4 QEC = 90,二四边形QECD是矩形.二QD = QE.二矩形QECD是正方形，二QD = DC.设点Q的横坐标为3则有。=t, QD = DC = OC-OD = 3-t,二点Q的坐标为(t, 3-t).二点Q在抛物线y = %? 一 2x + 1上，二产 2t+ 1 = 3-3解得：t = 2,笈=1二Q为抛物线y = x2-2x + 1 P点至B点之间的一点,二t = 2,点Q的坐标为(2,1),二OD = 2, QD = CD= 1.由y = / - 2x + 1 = (% - 1产得顶点P的坐标为(1, 0)，二OP = 1, PD = OD -OP = 2- 1 = 1,一 S 四边形谡 QP = SdACB - SDQ - S 梯形dqbc=-AC - BC - PD - QD _ (QD + BC) - DC222=-X 4 X 4X 1 X 1-1X(1 + 4)X1=5,二四边形H8QP的面积为5.
