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1、全等三角形全章复习与巩固（提高）学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明 .知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质找夹角 SAS已知两边 找直角 HL找另一边 SSS边为角的对边已知一边一角边为角的邻边找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS 找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS一般三角形直角三角形判定边角边（ SAS） 角边角（ ASA） 角角
2、边（ AAS） 边边边（ SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（ HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点二、全等三角形的证明思路已知两角 找夹边 ASA找任一边 AAS要点三、角平分线的性质1. 角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2.2. 角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 .3. 三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等 .4. 与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点
3、向角的两边作垂线段 .要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点 . 运用全等 三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、 两直线位置关系等常见的几何 问题 .可以适当总结证明方法 .1 证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等 .(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等 .(3) 等式性质 .2 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明 .(2) 证明两个角所在的两个三角形全等 .(3) 利用角平
4、分线的判定进行证明 .(4) 同角(等角)的余角(补角)相等 .(5) 对顶角相等 .3 证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明 .4 辅助线的添加 :(1) 作公共边可构造全等三角形；(2) 倍长中线法；(3) 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4) 利用截长 (或补短 )法作旋转变换的全等三角形 .5. 证明三角形全等的思维方法 :( 1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件 .( 2)如果要证明相等的两条线段或
5、两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件 .( 3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质 .【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1) 倍长中线法1、已知，如图， ABC 中，D是 BC中点， DEDF,试判断 BECF与 EF的大小关系， 并证明你的结论 .【思路点拨】 因为 D 是 BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使 DGDF,证明EDG EDF，FDC GDB，这样就把 BE、CF与 EF线段转化到了 BEG中，
6、利用两边之 和大于第三边可证 .【答案与解析】 BE CFEF；证明：延长 FD 到 G，使 DGDF,连接 BG、 EGD是 BC 中点BD CD 又DEDF 在 EDG和 EDF中ED EDEDG EDFDG DF EDG EDF( SAS) EG EF 在FDC与GDB中CD BD12DF DGFDCGDB(SAS)CF BGBG BE EGBE CF EF总结升华】 有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段)举一反三：变式】已知：如图所示， CE、CB 分别是 ABC与 ADC的中线，且 ACB ABC 求证： CD2CE【答案】 证明： 延长 CE至 F 使 EFCE
7、，连接 BF EC 为中线， AE BEAE BE, 在 AEC与 BEF中，AEC BEF ,CE EF, AEC BEF（SAS） AC BF， A FBE（全等三角形对应边、角相等） 又 ACB ABC， DBC ACB A， FBC ABC A AC AB， DBC FBC AB BF 又 BC 为 ADC的中线， AB BD即 BF BDBF BD,在 FCB与 DCB中，FBC DBC,BC BC, FCB DCB（SAS） CF CD即 CD 2CE（2） 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在 ABC中， C2B，1 2求证： AB AC CD【答案
8、与解析】证明：在 AB上截取 AE ACAE AC（已作 ），在 AED与 ACD中，12（已知 ），AD AD （公用边 ）， AED ACD（SAS） ED CD AED C（全等三角形对应边、角相等 ） 又 C2B AED2 B由图可知： AED B EDB， 2 B B EDB B EDB BE ED即 BE CD AB AEBEACCD（等量代换 ） 【总结升华】 本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB AC故用截长补短法在 AB上截取 AEAC这样 AB就变成了 AEBE，而 AEAC只需证 BE CD即可从 而把 ABAC CD转化为证两线段相等的问题举一反三：【
9、变式】如图， AD是 ABC 的角平分线， H，G分别在 AC，AB上，且 HD BD.（1） 求证： B 与 AHD互补；（2） 若 B2DGA180，请探究线段 AG与线段 AH、HD之间满足的等量关系，并加 以证明 .【答案】证明：（ 1）在 AB 上取一点 M, 使得 AMAH, 连接 DM. CAD BAD, AD AD, AHD AMD. HDMD, AHD AMD. HD DB, DB MD.C DMB B. AMD DMB 180 , AHD B 180 .即 B与AHD互补 .（2）由（ 1）AHDAMD, HDMD, AHDB 180 . B 2 DGA 180 , AHD
10、 2 DGA. AMD 2 DGM. AMD DGMGDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MD MG. HD MG. AG AM MG, AG AH HD.3）.利用截长 （或补短 ）法作构造全等三角形3、如图所示，已知 ABC中 AB AC，AD是 BAC的平分线， M是 AD上任意一点，求证： MBMCAC，所以可在 AB上截取线段 AEAC，这时 BE ABAC，如果连接 EM，在 BME中，显然有 MBME AC，则在 AB上截取 AE AC，连接 ME 在 MBE中， MB MEBE（三角形两边之差小于第三边） 在 AMC和 AME中，AC AE（所作 ），CAM
11、EAM （角平分线的定义 ），AM AM （公共边 ）， AMC AME（ SAS） MC ME（全等三角形的对应边相等） 又 BE ABAE， BE AB AC， MBMCAC,求证： AB ACBDDCD【答案】证明：在 AB上截取 AE AC,连结 DE AD是ABC的角平分线， BADCAD 在AED与ACD中AE AC BAD CADAD ADAED ADC（ SAS）DE DC 在BED中， BEBD DC 即 AB AE BD DC AB AC BDDC（4） . 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知 E为正方形 ABCD的边 CD的中点，点 F在 BC上，且
12、 DAE FAE【思路点拨】 四边形 ABCD为正方形，则 D90而 DAE FAE说明 AE为 FAD的平 分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E到 AD的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM即可，由角平分线性质可知 ME DEAEAERtAME与 Rt ADE全等有 AD AM而题中要证 AF AD CF根据图知 AF AMMF故只需证 MFFC 即可从而把证 AF ADCF转化为证两条线段相等的问题【答案与解析】证明： 作 ME AF于 M，连接 EF 四边形 ABCD为正方形， C D EMA90又 DAE FAE， AE 为 FAD 的平分线， ME DEAE
13、 AE（公用边 ），在 Rt AME与 Rt ADE中，DE ME（已证 ）， Rt AME Rt ADE（HL） AD AM（全等三角形对应边相等 ） 又 E 为 CD中点， DE EC ME ECME CE（已证 ），在 Rt EMF与 Rt ECF中，EF EF （公用边 ） ， Rt EMF Rt ECF（HL） MF FC（全等三角形对应边相等 ） 由图可知： AF AMMF， AF AD FC（等量代换 ）【总结升华】 与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在 角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 .、如图所示，在 ABC中， AC=BC， ACB=90
14、， D是 AC上一点，且 AE垂直 BD的延长线于 E，AE 1 BD ，求证： BD是 ABC的平分线 2答案与解析】证明：延长 AE 和 BC，交于点 F， ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等） ， EAD+ ADE=CBD+BDC即 EAD= CBD 在 Rt ACF和 Rt BCD中所以 Rt ACF Rt BCD（ ASA）则 AF=BD（全等三角形对应边相等） AE= BD， AE= AF，即 AE=EF在 Rt BEA和 Rt BEF中，则 Rt BEA RtBEF（SAS）所以 ABE= FBE（全等三角形对应角相等） ， 即 BD是 ABC的平分线总结升华】 如果
15、由题目已知无法直接得到三角形全等， 不妨试着添加辅助线构造出三角形 全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法类型二、全等三角形动态型问题6、在ABC中，ACB90，ACBC，直线 l经过顶点 C，过 A，B两点分别作 l的垂 线 AE， BF，垂足分别为 E， F.（1）如图 1当直线 l不与底边 AB相交时，求证： EFAEBF.（ 2）将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB相交于点 D，请你探究直线 l 在如下位 置时， EF、AE、BF之间的关系， ADBD； AD BD； ADEF.20已知： ABC中，AD平分 BAC交BC于点 D，且 ADC6
16、0问题 1：如图 1，若 ACB90， AC m AB，BD n DC， 则 m的值为 ， n的值为 问题 2：如图 2，若 ACB为钝角，且 AB AC，BDDC （ 1）求证： BDDCEF（三角形两边之和大于第三边） BECF EF.20【解析】1：1，2 ；22：证明： 问题问题1）在 AB上截取 AG，使 AGAC，连接 GD（如图） AD平分 BAC， 1 2 在 AGD和 ACD中，AGAC1 2ADAD AGD ACD DGDC BGD中， BD DGBG， BDDC BGBG AB AG ABAC， BDDCABAC2）由（ 1）知 AGD ACD， GDCD， 4 3 60 5 180 3 4 180 6060 60 5 3 在 BGD和 ECD中，DB DE5 3 ，DG DC BGD ECD B 6 BFC中， BFC180 B7 180 67 3， BFC 60
