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1、 锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、 锐角三角函数定义：在RtABC中，C=900, A、B、C的对边分别为a、b、c，则A的正弦可表示为：sinA= ， A的余弦可表示为cosA= A的正切：tanA= ，它们弦称为A的锐角三角函数【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2、取值范围 sinA cosA 】例1如图所示，在RtABC中，C90第1题图 _，_；_，_；_，_例2. 锐角三角函数求值：在RtABC中，C90，若a9，b12，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，c
2、osB_，tanB_例3已知：如图，RtTNM中，TMN90，MRTN于R点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR典型例题：类型一：直角三角形求值1已知RtABC中，求AC、AB和cosB2已知：如图，O的半径OA16cm，OCAB于C点，求：AB及OC的长3已知：O中，OCAB于C点，AB16cm，(1)求O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cosAOC及tanAOC4. 已知是锐角，求，的值对应训练：（西城北）3在RtABC中， C90，若BC1，AB=，则tanA的值为A B C D2 (房山)5在ABC中，C=90，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.A B
3、. C. D. 类型二. 利用角度转化求值：1已知：如图，RtABC中，C90D是AC边上一点，DEAB于E点DEAE12求：sinB、cosB、tanB2 如图，直径为10的A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cosOBC的值为（ ）A B C D3.（2009孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 4.（2009庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，则这个菱形的面积= cm25.（2009齐齐哈尔中考）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，则的值是（ ）A B C D6. 如图4，沿折叠矩形
4、纸片，使点落在边的点处已知，AB=8,则的值为 ( ) 7. 如图6，在等腰直角三角形中，为上一点，若 ，则的长为( )A B C D 8. 如图6，在RtABC中，C=90，AC=8，A的平分线AD=求 B的度数及边BC、AB的长.图6类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 （2012安徽）如图，在ABC中，A=30，B=45，AC=2，求AB的长例2已知：如图，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求ABC的面积S；(3)求tanB例3已知：如图，在ABC中，BAC120，AB10，AC5求：sinABC的值对应训练1（2012重庆）如图，在RtABC中，BA
5、C=90，点D在BC边上，且ABD是等边三角形若AB=2，求ABC的周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC中，AB9，BC6，ABC的面积等于9，求sinB3. ABC中，A=60，AB=6 cm，AC=4 cm，则ABC的面积是 cm2 cm2 cm2 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012内江）如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A B C D对应练习：1如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_.2如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为A. B. C. D. 3正方形网格中，如图放置，则ta
6、n的值是（ ） A B. C. D. 2 特殊角的三角函数值锐角a304560sinacosatana当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例1求下列各式的值（昌平）1）.计算：（朝阳）2）计算：. （2009黄石中考）计算：31+(21)0tan30tan45 (石景山)4计算：(通县)5计算： ；例2求适合下列条件的锐角a (1)(2)(3)(4)（5）已知a 为锐角，且，求的值（6）在中，若，都是锐角，求的度数.例3. 三角函数的增减性1已知A为锐角，且sin A ，那么A的取值范围是A. 0 A 30 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A
7、902. 已知A为锐角，且，则 （ ）A. 0 A 60 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 90例4. 三角函数在几何中的应用1已知：如图，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周长2已知：如图，RtABC中，C90，作DAC30，AD交CB于D点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD3. 已知：如图ABC中，D为BC中点，且BAD90，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD4. 如图，在RtABC中，C=90，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan BAD的值5.（本小题5分）如图，ABC中，A=30，求A
8、B的长. 解直角三角形：1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在RtABC中，C90，ACb，BCa，ABc， 三边之间的等量关系：_ 两锐角之间的关系：_ 边与角之间的关系：_；_；_；_ 直角三角形中成比例的线段(如图所示) 在RtABC中，C90，CDAB于DCD2_；AC2_； BC2_；ACBC_类型一例1在RtABC中，C90(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60，ABC的面积求a、b、c及B例2已知：如图，ABC中，A30，B60，AC10cm求AB及BC的长例3已知
9、：如图，RtABC中，D90，B45，ACD60BC10cm求AD的长例4已知：如图，ABC中，A30，B135，AC10cm求AB及BC的长类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1（2012福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米B200米C220米D100（）米例2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点已知BAC60，DAE45点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC例
10、3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角DCA=60，测得山顶B的仰角DCB=30，求风力发电装置的高AB的长例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为米，求这棵树的高度.例5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30，测得岸边点D的俯角为45，又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)例5（2012泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30，朝物
11、体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60，则物体AB的高度为（）A10米B10米C20米D米例6（2012益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，BAC=75（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75，cos75，tan75，60千米/小时米/秒）类型四. 坡度与坡角例（2012广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡
12、AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A100m B100m C150m D50m 类型五. 方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到海里，)2（2012恩施州）新闻链接，据侨报网讯外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔
13、民免受财产损失和人身伤害某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1如图，四边形ABCD中，BAD=135，BCD=90，AB=BC=2， tanBDC= (1) 求BD的长； (2) 求AD的长（2011东一
14、）18如图，在平行四边形中，过点A分别作AEBC于点E，AFCD于点F（1）求证：BAE=DAF；（2）若AE=4，AF=，求CF的长三角函数与圆：1 如图，直径为10的A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cosOBC的值为（ ）A B C D（延庆）19. 已知：在O中,AB是直径，CB是O的切线，连接AC与O交于点D,(1) 求证：AOD=2C(2) 若AD=8，tanC=，求O 的半径。（2013朝阳期末）21.如图，DE是O的直径，CE与O相切，E为切点.连接CD交O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是O的切线;（2）若, DE=9，
15、求BF的长作业：（昌平）1已知，则锐角A的度数是 A B C D （西城北）2在RtABC中， C90，若BC1，AB=，则tanA的值为A B C D2 (房山)3在ABC中，C=90，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.A B. C. D. (大兴)4. 若，则锐角 . (石景山)1如图，在RtABC中，C90，BC3，AC=2， 则tanB的值是A B C D（丰台）5将放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan的值是A B2 C D(大兴)5. ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是 A. B. C. D. (通县)4如图，在直角三角形中，斜边的长为，则直角边的长是（ ）
16、ABCD （通州期末）1如图，已知P是射线OB上的任意一点，PMOA于M，且OM : OP=4 : 5，则cos的值等于（ ）A B C D（西城）6如图，AB为O的弦，半径OCAB于点D，若OB长为10， ， 则AB的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在RtABC中，C=90，如果cosA=，那么tanA的值是 A B C D11如图，在ABC中，ACB=ADC= 90，若sinA=，则cosBCD的值为 13. 计算：13计算.13计算：14.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为米，求这棵树的高度.15已
17、知在RtABC中，C90，a=，b=.解这个直角三角形20. 如图，在RtABC中，CAB=90，AD是CAB的平分线，tanB=，求的值（延庆）19. 已知：在O中,AB是直径，CB是O的切线，连接AC与O交于点D,(3) 求证：AOD=2C(4) 若AD=8，tanC=，求O 的半径。（延庆期末）19如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端 处的俯角为，荷塘另一端处、在 同一条直线上，已知米，米， 求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）18.（6分）如图，在ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知2A +B = （1）求证：BC是O的切线； （2）若OA=6，BC=
18、8，求BD的长 （1）证明：（2）解：（西城）15如图，在RtABC中，C=90，点D在AC边上若DB=6，AD=CD，sinCBD=，求AD的长和tanA的值18如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由22已知，如图，在中，以DC为直径作半圆，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于
19、点E，（1）求证：BF是的切线；DOACBFE（2）若，求的半径15如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60，求楼AB的高14.（2009眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。15.（2009常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1，求山的高度（不计测角仪的高度，结果保
20、留整数）16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： )18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度 图13（参考数值：tan31，sin31）
