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1、立体几何三大公理-的应用作者： 日期：一、共线问题例1 若AC所在的平面和A11C所在平面相交,并且直线AA1、BB1、C相交于一点O，求证：（1)B和A1B1、B和C1、A和1C1分别在同一平面内;(2）如果AB和1B1、BC和11、A和C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图）.例 点、Q、R分别在三棱锥-BCD的三条侧棱上,且PQBX，CD=Z,RB=Y求证:X、Z三点共线.例3 已知C三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。二、共面问题例4. 直线、分别和平行直线a、b、都相交,交点为A、B、D、，如图,求证：直线a、b、c、m、n共面.例5 证明两两相交而
2、不共点的四条直线在同一平面内.已知:如图,直线l1，l,l3，l4两两相交,且不共点求证：直线l,l2,l3,4在同一平面内例6 已知:A1、1、C1和A2、B2、C分别是两条异面直线1和l2上的任意三点，、N、T分别是1A、B12、BB2、C12的中点求证:M、R、四点共面.例. 在空间四边形ABCD中，、N、P、Q分别是四边上的点，且满足=k.(1)求证：M、P、共面(2)当对角线Ca,D=,且MNQ是正方形时,求A、所成的角及k的值(用a,b表示)三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.1、(1)证明：A1B1O,A1、确定平面BO,A、A
3、1、B、1都在平面ABO内,AB平面ABO;1B平面BO.同理可证，C和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.()分析:欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么,它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明:如图,设ABB1=P;ACAC1=; 面ABC面A1B1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1,且 BC1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直线上.3解析:、C是不在同一直线上的三点过A、C有一个平面又 4解析: 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合证明
4、 ab,过a、b可以确定一个平面.a,a,A,同理Ba.又m，Bm，m.同理可证nbc,过b,c可以确定平面,同理可证m.平面、都经过相交直线b、m,平面和平面重合，即直线a、b、c、m、n共面5、解析:证明几条直线共面的依据是公理及推论和公理1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内.证明:图中，l2=P， l1,l2确定平面.又 l1l,l23C， C,A.故 l同理 l4 l1,l2,l3,l共面图中，l,l2，,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,4共面.所以结论成立.6、证明 如图,连结、，则Ml1,NRl,且、N、R不在同一直线上（否则，根据三线平行公理，知l1l与条件矛盾
5、) 、N可确定平面，连结B1C2,取其中点S连RS、，则Sl2,又N2, N、S三点共线.即有S,又STl1，N1,NST，又， ST. M、N、四点共面 7解析：(1) MQD，且= = MQBD又 =k NBD，且 =从而PBD MQNP,MQ,P共面,从而M、N、P、Q四点共面.(2) =， =, MA,又NPBD. MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. MNPQ是正方形, MN=90 A与D所成的角为90,又C,Db， N又 Q=b,且MQMN，ba,即k=.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面平面a,平面平面=,平面平面=c.求证：a、b、c相交于同一点,或c.证明:=a,ba、a、相交或.(1)、相交时，不妨设abP，即Pa,b而a、，aP，故P为和的公共点又=c由公理2知Pc、b、c都经过点P，即a、c三线共点（2)当ab时且a,aac且aba故a、c两两平行.由此可知a、b、相交于一点或两两平行.
