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1、第29讲平面向量的应用项目一 知识概要1 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角)2 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WF
2、s|F|s|cos (为F与s的夹角)3 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质项目二 例题精讲任务一平面向量在平面几何中的应用问题【例1】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形P
3、FCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.分析正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP(00不等价项目四 冲刺必练A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 已知P是ABC所在平面内一点，若，其中R，则点P一定在()AABC的内部 BAC边所在直线上CAB边所在直线上 DBC边所在直线上答案B解析由题意知：，即，即与共线，点P在AC边所在直线上2 在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0
4、,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形3 已知|a|2|b|，|b|0且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A B C. D.答案D解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|b|cos 0，cos ，又0，.4 已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案D解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6.5 若函数yAsin(x)(A0，0，|0.由于，cos().故tan().B组专项能力提升(时间：20分钟)1 设ABC，P0是边
5、AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC答案D解析设BC中点为M，则2222，同理22，恒成立，|恒成立即P0MAB，取AB的中点N，又P0BAB，则CNAB，ACBC.故选D.2已知点O为ABC所在平面内一点，且222222，则点O一定为ABC的()A外心 B内心 C垂心 D重心答案C解析 由2222，得2()22()2，即，0，点O在AB边的高线上同理可得点O在AC边的高线上，即O为ABC的垂心3 已知在ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，则BAC_.答案150解析0，BAC为钝角，又SABC|a
6、|b|sinBAC.sinBAC，BAC150.4已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案5解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x1)(1x)，x，(1x).3(34x)，|3|222(34x)(34x)2225(34x)2225，|3|的最小值为5.5已知点A(2,0)，B(0,2
7、)，C(cos ，sin )，且0.(1)若|，求与的夹角；(2)若，求tan 的值解(1)因为|，所以(2cos )2sin27，所以cos .又因为(0，)，所以AOC.又因为AOB，所以与的夹角为.(2)(cos 2，sin )，(cos ，sin 2)因为，所以0，所以cos sin ，所以(cos sin )2，所以2sin cos .又因为(0，)，所以(，)因为(cos sin )212sin cos ，cos sin 0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0)5如图所示，已知点F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.已知1，2，求12的值解(1)设点P(x，y)，则Q(1，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得P的轨迹C的方程为y24x.(2)设直线AB的方程为xmy1(m0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(1，)，联立方程消去x，得y24my40，(4m)2160，故由1，2，得y11y1，y22y2，整理，得11，21，所以122()220.
