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1、第七节空间向量的应用(一)平行与垂直高考概览：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 知识梳理1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量2空间位置关系的向量表示辨识巧记1确定平面的法向量的两种方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定(2)待定系数法：取平面的两条相交向量a，b，设平面
2、的法向量为n(x，y，z)，由解方程组求得2方向向量和法向量均不为零向量且不唯一 双基自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则a.()答案(1) (2)(3)(4)2(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不对解析不能确定唯一的实数，使n1n2，所以n1与n2不平行，故与不平行；n1n2632023，故与不垂直所
3、以与相交但不垂直故选C.答案C3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1) B(1，1,1)C. D.解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.故选C.答案C4(2019陕西黄陵模拟)若两点A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19 B C. D.解析A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，|，当|取最小值时，x.故选C.答案C5(2019潍坊摸底)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论： APAB
4、；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误答案考点一证明平行关系【例1】如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD. 证明证法一：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以Qx0，y0，.因为M为
5、AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P0,0，所以x0，y0,0.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.证法二：在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，D的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)，设点F坐标为(x，y,0)，则(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)，x0，y0,0又由证法一知x0，y0,0，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线
6、的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算对点训练已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG平面B1CD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)得E1，0，F，0,0，G1,0，0，0，.设n1(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2(x2
7、，y2，z2)为平面B1CD1的法向量则即令x11，可得y11，z11，同理可得x21，y21，z21.则n1(1，1，1)，n2(1，1，1)由n1n2，得平面EFG平面B1CD1.考点二证明垂直关系【例2】如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.思路引导(1)(2)证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，BC为交线，PO平面PBC，PBC为等边三角形，即POBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直
8、线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO.A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)(2，1,0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M，1，.，0，(1,0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理
9、用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示对点训练如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.证明：A1C平面BB1D1D.证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系因为ABAA1，所以OAOBOA11，所以A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)因为(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，所以0，0，所以A1CBD，A1CBB1.又BDBB1B，BD，BB1平面BB1D
10、1D，所以A1C平面BB1D1D.考点三探究性问题【例3】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直已知BC4，ABAD2.(1)求证：ACBF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解(1)证明：平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF，AF平面ABCD.又AC平面ABCD，AFAC.过A作AHBC于H，则BH1，AH，CH3，AC2，AB2AC2BC2，ACAB，ABAFA，AB，AF平面FAB，AC平面FAB，BF平面FAB，ACBF.(2)存在由(1)知，AF
11、，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(1，2)假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设，则0，P，.设平面PAC的法向量为m(x，y，z)由，(0,2，0)，得即令x1，则z，所以m为平面PAC的一个法向量同理，可求得n为平面BCEF的一个法向量当mn0，即时，平面PAC平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时.向量法解决与垂直、平行有关的探究性问题的思维流程(1)根据题设条件中的垂直、平行关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、向量
12、用坐标表示(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在对点训练(2018桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由解(1)证明：设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos603，AO2A1O2AA
13、，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设平面DA1C1的法向量为n3(x3，y3，z3)，则又(0,2,0)，(，0，
14、)，则取n3(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，则n3，即n30，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.课后跟踪训练(五十一)基础巩固练一、选择题1在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又与没有公共点ABCD.答案B2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析由可知，共面，所以AB平面CDE或AB平面CDE.故选D.答案D3已知平面内有一点M(1，1,2)，平
15、面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析经计算，P(2,3,3)满足n0.答案A4.(2018郑州月考)如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点E是BB1上一点，若D1FDE，则有()AB1EEBBB1E2EBCB1EEBDE与B重合解析以D为原点，DA，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令AB1，则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F0，0，D1(0,0,1)设E(1,1，a)(0a1)，则0，1，(1,1，a)D1FDE，0.a0，得a.故E为BB1中点选A
16、.答案A5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交B平行C垂直DMN在平面BB1C1C内解析建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN，则Ma，N，a，0，.又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.答案B二、填空题6设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k的值为_解析，(2，4，k)(1,2，2)，2，k2，k4.答案47(2018武汉调研)已知平面内的三点
17、A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.答案8(2019西安调研)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_.解析由条件得解得x，y，z4，xy.答案三、解答题9.如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD，且A
18、BCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)证法一：(0,1,0)，(1,2，1)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(1,0,1)为平面EFG的一个法向量，(2,0，2)，n0.n，PB平面EFG，PB平面EFG.证法二：(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，与共面PB平面EFG，P
19、B平面EFG.10.如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO，且FO平面ABCD.(1)求证：AE平面BCF；(2)求证：CF平面AEF.证明取BC中点H，连接OH，则OHBD，又四边形ABCD为正方形，ACBD，OHAC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，F(0,0，)，B(1,2,0)(2，2,0)，(1,0，)，(1，2，)(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则取z1，得n(，1)又四边形BDEF为平行四边形，(1，2，)，(2，2,0)(1，2，)(3，4，
20、)，n340，n，又AE平面BCF，AE平面BCF.(2)(3,0，)，330，330，又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.能力提升练11已知A(1，1,3)，B(0,2,0)，C(1,0,1)，若点D在z轴上，且，则|等于()A1 B. C. D2解析点D在z轴上，可设D点坐标为(0,0，m)，则(1,1，m3)，(1，2,1)，由，得m40，m4，(1,1,1)，|.答案C12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析建立坐标系
21、如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案C13已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)及向量a(x，y,1)，若向量a分别与，垂直，则向量a_.解析(2，1,3)，(1，3,2)，因为向量a分别与，垂直，所以即解得所以a(1,1,1)答案(1,1,1)14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)证明：在线段BC1上存在点D，使得A
22、DA1B，并求的值证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB，AA1AC.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设D(x，y，z)是直线BC1上的一点，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，所以(4，33，4)由0，(0,3，4)，则9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得A
23、DA1B，此时，.拓展延伸练15.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1) B.，1C.，1 D.，1解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标为，1.答案C16.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的长度之和为_解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(x1,0,1)，(1,1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1,1，y)(x1,0,1)0xy1.答案1
