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1、第十五章 整式的乘除与因式分解【知识概念图表】知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）（一）整式的乘法1.同底数幂的乘法式子表示：=(m、n都是正整数)；语言表述：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2.幂的乘方式子表示：=(m、n都是正整数)；语言表述：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；3.积的乘方式子表示：=(n是正整数)；语言表述：积的乘方等于积中各因式乘方的积；4.整式乘法单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示：
2、a(b+c+d)=ab+ac+ad;多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（二）乘法公式1.平方差公式式子表示：(ab)(ab)a2b2；语言表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方之差;2.完全平方公式式子表示：(ab)2a22abb2；语言表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍；3.添括号法则式子表示：a+b+c=a+(b+c)，a-b-c=a-(b+c);语言表述：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都要改变符号。（三）整式的除法1.
3、同底数幂的除法式子表示：=;语言表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；2.零指数幂的意义式子表示：a01(a0)；语言表述：任何非零数的零次幂都等于1；3.单项式除法法则两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，而对于那些只在被除式里出现的字母，连同它们的指数一起直接作为商的因式，对于只在除式里出现的字母，连同它们的指数的相反数一起作为商的因式。4.多项式除以单项式一个多项式除以一个单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。（四）因式分解1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。2.因式分解的方法（1）提取
4、公因式法公因式：多项式各项都含有的因式叫做多项式的公因式。公因式的确定方法：系数部分：取多项式各项系数的最大公约数；字母部分：取多项式各项都含有的相同字母（或多项式因式）的最低次幂的积。用式子表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). m即是公因式。（2）公式法就是逆用乘法公式来分解因式。逆用平方差公式：=（+b）（-b）；逆用完全平方公式：。（3）十字相乘法就是形如型式子的因式分解：。深度理解三个或三个以上同底数幂相乘也适用此法则。当然，=.思维拓展幂的乘方也可逆用：=思维拓展积的乘方也可推广到三个以上：易错警示：要防止“漏乘”问题，尤其是要防漏乘常数项。思维拓展乘法公式中的字母a、b、c可
5、以是数字，也可以是单项式，还可以是多项式。方法指引因式分解口诀：一提二套三分组，叉乘求根也上数。五种方法都不行，拆项添项去重组，对症下药稳又准，连乘结果是基础。【易混易错剖析】1.将同底数幂的乘法与整数加法相混淆，将同底数幂的乘法与幂的乘方相混淆。典型示例：选择：下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. E. 常见错误：选A、B、D或E。解析点评：本题主要考查整式加法与同底数幂的乘法的区别、以及积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法法则的简单应用。A.，显然是左边四个单项式相加，那么只有同类项才可以合并，其他的项要照写下来，因而得，而原选项等于了，可能是，误认为整式加法就是底数不变，指数相加，
6、这是不对的；B. ，左边是同底数幂相乘，根据法则，才是底数不变，指数相加，而原结论是，估计是导致的错误，所以B选项也不对；D. ，左边是同底数幂相除，依据法则应是底数不变，指数相减，而原结论是指数相除，因而，D选项也是错误的；E. 是幂的乘方，根据法则，底数不变，指数相乘，所以应当等于，而这里估计是误认为是指数相加才得：，与幂的乘方相混淆，所以E选项也是错误的；F.显然只有C选项是正确的，先用积的乘方法则得：，再用幂的乘方法则，底数不变指数相乘，得，计算无误，因而C是正确的。本题启示：要将同底数幂乘法与整式加法区别开来，同时也要将同底数幂的乘法与幂的乘方区分开来；解整式乘除法运算题，一定要遵循
7、法则，切不可胡乱使用，当然，前提是要高度熟练各项法则，有顺口溜可以帮助记忆：整式乘除并不难，各项法则要记全，同底幂乘法指数加，同底幂除法指数减，幂的乘方指数乘，积的乘方也好办，先各乘方再求积，运算顺序不会变。2.应用乘法公式时容易出错。乘法公式是中学非常重要的内容，可学生初学乘法公式时，在应用中总会出错。典型示例：计算：；常见错误：解：。解：。解析点评：要让我们计算，能不能使用乘法公式呢？这要看它是否具备了平方差公式的特征。观察平方差公式：(ab)(ab)a2b2；两个二项式相乘，且在这两个二项式中，有一项是相同的，而另一项恰好是相反的，结果是等于相同的那个数（第一个数）的平方减去符号相反的那
8、一个数（第二个数）的平方的差的。本题中，显然是两个二项式的积，且相同的数是“”，符号相反的数是“”，完全符合平方差公式的特征，因而可以使用公式，由于第一数是“”，而第二数才是“”，因而原式应等于本题启示：应用平方差公式时，要找准“第一数”和“第二数”，在两个因式中完全相同的项就是第一数，符号恰好相反的项就是第二数，不可将被减数与减数搞错了位置。要计算，显然可直接用完全平方公式。但是千万要防止出现这样的错误：及或，前二者都是掉了一、二两数积的二倍这一项，且第二个还有符号问题，最后一个是错了最后一项的符号，其实正确的公式是：，就是说一个二项式的和或差的平方，是等于这两个数的平方和再加上或减去这两数
9、的积的二倍的。除了一、二两数的积的二倍这一项的符号是与前面二项式中第二项的符号一致外，其他两平方项的符号始终都是“+”。所以原答案：是套错了公式，是不对的。正确的应该是：.本题启示：要记准记牢乘法公式，抓住这样几个特征：一是项数的特征；二是符号的特征；三是指数的特征。3.分解因式题目中极易出现的错误。一类是未分解到理想的形式。要么未分到不能再分的程度，要么是分解过了头。所谓“不能再分”就是将要出现无理式（根号下含未知数的式子）而又未出现无理式的时候。另一类是没有按照分解因式的思维顺序“一提二套三分组”去思考去操作，导致分不下去或者分解出错。典型示例：分解因式：；。常见错误：；.解析点评：本题错
10、解过程是：显然，最后未分解到位，因为前一个因式还可以提取因数3，正确的答案应当是；过程中，出现了无理式，也是不对的，在实数范围内分解也只能到前一步，正确的过程是：；，问题出在该生没有按照分解因式的思维顺序“一提二套三分组”去思考去操作，导致分不下去或者分解出错。分解因式首先要考虑的就是提取公因式法，如果说有公因式不先提取，变形过程既麻烦结果又容易出错，对于本题：，分解时必须先提取公因式“”得：，再运用公式来分解，可得：。本题的变形中出现了符号错误，本来，并且应始终把这个二项式作为一个整体去处理，那么在这个变形中会产生一个负号，如何去处理这个负号非常关键，正确的过程是：。本题启示：分解因式的思维
11、顺序是：“一提二套三分组”，有公因式必先提取。其实，有人归纳过分解因式的口诀是：“一提二套三分组，十字相乘也上数。四种方法都不行，拆项添项去重组。重组无望试求根，换元或者算余数。多种方法灵活选，连乘结果是基础。同式相乘若出现，乘方表示要记住。”；多项式分解因式要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止；对于互为相反的两个多项式，在分解过程中往往要看作一个整体并且要统一符号，不仅，而且对于指数不是2的情况也能统一，其规律是：。 4.添括号问题也是学生极易出错的地方。要让学生树立一个观念：就是无论是去括号还是添括号，括号总是和它前面的符号密不可分的，密切联系的。前面是负号，括号里面的各项都要变号，前
12、面是正号，括号里面的各项都不变号。（本处不再举例）【考点命题突破】考点分析: 必考点：乘法公式的运用，简单的整式乘、除法运算，用提取公因式法和公式法进行因式分解；常考点：推导乘法公式并进行简单的计算，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，添括号法则，同底数幂除法，零指数幂意义；少考点：乘法公式的几何背景，多项式的除法运算，用十字相乘法、分组分解法、拆项添项法等分解因式。中考热点：除了以定义性运算及拼图、归纳规律等新题型方式考查本章知识外，更多的是将乘法公式及整式乘除法运算、因式分解与分式结合出化简求值题。考查方式：除了以选择、填空题形式来直接考查公式或法则或因式分解的方法外，还出现有许多新题型，
13、如动手操作题，阅读理解题，规律探究题等解答题。考点1 分解因式（2011河北）下列分解因式正确的是（ ）AB2a-4b+2=2（a-2b）C D解题思路：本题选项A中逆用分配律提取了“a”，相当于添加了带负号的括号，所以括在括号内的各项都要变号，而它的第二项仍然为正，错了符号，其实也可用去括号验证的办法来检验正误。选项B漏掉了常数项；选项C不能使用完全平方公式，只能用平方差公式来分解因式。选项D把握公式特征准确，计算无误，是正确的。答案：D考点2 整式运算 （2011山东聊城）下列运算不正确的是（ ） A BC D解题思路：本题中选项A是整式的加法，合并同类项得是正确的；选项C是单项式的乘法，
14、把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，得，也是对的；选项D是多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，得，也没错；只有选项B，要用积的乘方和幂的乘方法则，应该是，而所给的结果是，所以是不对的。答案：B考点3 与整式运算有关的实验探究隆问题（2011浙江衢州）有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图. 如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）.(1)请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.132233 这个长方形的代数意义是 .（2）小明想用类似的
15、方法解释多项式乘法:，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张.解题思路：这是一道动手操作题，根据题目所给量的关系可剪一些类似的小纸片去动手拼图，我们发现拼的结果是不唯一的。如下图。然后根据拼图前后图形的面积相等的数学事实，可以得到结论：。这就启发我们可以用类似的方法去解释多项式乘法中左右成立的道理：，显然由多项式各项的系数知道：需用1号卡片2张，需用2号卡片3张，3号卡片7张。答案：(1)(2)需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张。 难点突破和易错警示难点突破： 可以用排除法解题。易错警示：要分清同底数幂的乘法与整数加法，同底数幂的乘法与幂的乘方等运算的不同。方法探究：解图象信息题和实验操作题的
16、方法是：认真观察图形，仔细理解题意，勤于动手操作，善于联想推理，从中受到启发，找准解题思路。【中考典题回顾】例1 （2011浙江省）定义新运算“”如下：当ab时，ab=ab+b,当ab时，ab=ab-a；若(2x-1)(x+2)=0,则x= 答案：1或例2（2011四川凉山州）分解因式： 。答案：例3（2011安徽芜湖）如图，从边长为（a4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.A BC D答案：D例4（2011四川凉山州）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：
17、两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。1112113311（a+b）1（a+b）2（a+b）3(1)根据上面的规律，写出的展开式。(2)利用上面的规律计算：答案： 原式= = =1 注：不用以上规律计算不给分.要点提示：例1解定义性运算题，要注意所定义运算法则的前提条件，分类讨论也要注意前提条件。附本题过程如下：例2 先提取“”再用完全平方公式分解。例3就是要用平方差公式来分解因式：例4“杨辉三角”主要是揭示了二项展开式的各项系数即组合数的性质，其横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系，组合关系以及不同横行数字之间的联系。解答本题关键是要找准这些规律。
