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1、第十五讲 数学专题整式乘除与因式分解综合运用趁火打劫：敌之利害，就势取利，刚决柔也错题攻坚犹如与强大的敌人作战，一旦打开敌方的突破口，必须一鼓作气，追歼到底。当你解决了一道错题，必须乘胜作战，找到试题所有相关的同类题，一举消灭。通过这样的集中练习后，才能高效并熟练地掌握该类题并能举一反三，成功消灭差距。因式分解及其常用方法：1. 提取公因式法：2. 应用公式法：3. 分组分解法：4. 十字相乘法：以上四种方法是因式分解的常用方法，一般而言，把一个多项式分解因式，可按下列步骤进行：多项式各项有公因式时，应先提取公因式；各项没有公因式时，看能否用公式法分解；对于二次三项式可考虑用完全平方公式或十字
2、相乘法；如果运用上述方法不能分解时，再看能否用分组分解法分解。注：因式分解时的注意事项：要在指定数（有理数，实数）的范围内分解到不能分解为止（若没有指定范围，在有理数范围内分解）；分解因式之前，应当认真观察所给的多项式，分析其表达形式的特点，决定采用什么方法分解；因式分解后，应把各因式化简，如果有相同的因式，应当写成幂的形式，并审查每个因式是否还可以继续分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止。5. 换元法：换元法是数学中的一种重要的方法，它可以使不熟悉的问题转化为熟悉的问题；使复杂的问题转化为简单的问题，从而用熟悉或较简单的方法来解决问题。在解题或证明中换元法常常起着桥梁和杠杆的作用。“换元
3、”就是“字母打式”，即用新的“元”去代替原式中的式，使得原式变成含新“元”的式子，然后对含新“元”原式子按要求求出结果，再将其所代替的式子代回，求出原式的结果。换元法又称设辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展。以前在乘法公式的推导、整式化简、提取公因式法及应用公式法等常用方法分解因式时，已包括或应用过这一重要数学思想，只不过那时解题过程比较简单，层次比较清楚，虽然没有将引进的新的变元写出，也不会引起混乱，而对一些比较复杂的问题则必须将引进新变元写出，否组会引起胡乱。6. 配方法；把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，在代数式中添上两个相反项，叫做添项，拆项和添项都是
4、代数式的恒等变形。例如多项式，拆项后可变形为：又例如代数式，添项后变为在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法，叫做配方法。配方主要是配中项，或配一个平方项(或)。如何配方依赖于对题目特点的观察和分析。应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成的形式，使多项式可用平方差公式进行分解为的形式。熟知的十字相乘法实际上一种拆项法，二配方法则是一种特殊的添项法。配方法是数学中的一种重要的思想方法。它在因式分解，等式或不等式的证明、函数、方程以及高中解析几何中都有着广泛的应用。7. 待定系数法因式分解时一种重要的恒等变形，在前几讲中对因
5、式分解的换元法和配方法做了介绍，但有些复杂的多项式因式分解需要借助于待定系数法，其解题步骤如下：第一步：设原多项式分解为含待定系数的因式的积；第二部：采用系数比较法列出含待定系数的方程式方程组，解方程或方程组求出待定系数的值，使问题得到解决。或者，采用数值带入法，列出含待定系数的值，使问题得到解决，或者，采用数值带入法，列出含待定系数的方程或方程组，解这个方程或方程组，求出待定系数的值，使问题获得解决。8. 余数定理及综合除法余数定理和综合除法是研究多项式除法的有力工具，它在中学数学中有着广泛的应用。【余数定理】次多项式除以，其商式为的次多项式，余数记为r，并且有恒等式：在上式中，当时，得，由
6、此可得余数定理。【因式定理】若多项式有一个因式，则；反之，如，则必为多项式的一个因式。利用因式定理和综合除法，可得到因式分解的又一种方法，在介绍这一方法之前，先介绍整除系数多项式性质1：设整数系数多项式的首项系数，且它有因式(为整数)，那么一定是常数项的约数。例如的首项系数是1，它有因式和，和都是常数项的约数。性质2：设整数系数的多项式的多项式的首项系数，且它有因式（为既约分数），那么一定是首项系数的约数，一定是常数项的约数9. 对称多项式的因式分解：对称多项式的因式分解【知识要点】概念：（1）对称代数式：把代数式中任意的两个字母对换后，代数式不变（2）轮换代数式：把代数式所含字母，顺次轮换后
7、，代数式保持不变ss（3） 次齐次多项式：如果一个多项式所有项有相同次数n，称为次齐次多项式性质：（1）对称式一定是轮换式，轮轮式不一定是对称式（2）关于相同字母的对称式或轮换式，它的和差积商仍然是对称式或轮换式（3）如果对称式或轮换式中有某种形式的式子，则必含有这种式子的同型式关于的齐次对称式：关于的齐次对称式：1次：2次：3次：轮换对称式的因式分解：选定主元，利用因式定理确定一个因式，用待定系数法去求其他因式1. 分解因式： 2. 计算下列各式的值： 【例 1】 公式法1）（）答案：2）（）答案：3）（）答案：4）（） 答案：【拓展】（）答案：【例 2】 分组分解法：1）（）两种方法：答案
8、：2）（）答案：【例 3】 配方法：1)答案：2) （）分解因式：的结果是 答案：3）（）若是完全平方式，则 答案：4）（）已知，则 答案：，5）（）已知为正整数，且是一个完全平方数，则的值为 。答案：，6）（）已知，则的值为（ ）A3 B. C. D.答案：B7）（）分解因式的结果是（ ）A. B.C. D.答案：D8）（）设满足，则 A. B. C. D. 答案：，选C9）（）若都是正数，则在以下命题中，错误的是 A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】：A，选项中；B，选项中，因为为正，所以同A选项；C，因为均为正，进而得到选C；D，因为均为正，所以。10）把下列各式分解因式：（
9、） （）【拓展】（） 【例 4】 添项法：1）（）答案：2）（）答案：【例 5】 拆项法：1）（）答案：2）（）3）（）【拓展】（）答案：【例 6】 换元法：（）答案：令2）（）答案：令3）（）答案：设4）（）答案：令则【拓展】（）答案：令，则【例 7】 因式定理：1）若有一个因式是，则 答案：2）如果是整数，且是的因式，那么的值为（ ）A.-2 B.-1 C.0 D.2答案：A因式分解3）（）4）（）【拓展】（）【拓展】令因为，所以和是上式的一个因式， 答案：【例 8】 双十字相乘：1）（）答案：2）（）答案：3）（）答案：4）（）答案：5）（）答案：【拓展】（）答案：6）（）已知多项式可以
10、分解为的形式，那么的值是 答案：7）（）已知关于的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值。答案：，设设，得到，【例 9】 待定系数法（因式定理）1）（）已知是的一个因式，求的值。答案：设 解得：得到2）（）已知是多项式的因式，则 ， 答案：，得3）（）一个二次三项式的完全平方式是，那么，这个二次三项式是 答案：，解得：，即答案为4）（）将因式分解得 A. B.C. D.答案：选D【例 10】 对称式和轮换式：1）（） 答案：2）（） 答案：上式中令，则即为上式中的一个因式，由轮换性知，都是上式的一个因式设待定系数法得3）（）答案：上式中令，则即为上式中的一个因式，由轮换性知，都是上式的一个因
11、式设待定系数法得【拓展】（）答案：法一：法二：分别令，上式都为0，则为上式的因子设分别令解答即【例 11】 应用因式分解进行整式计算：1）已知，那么的值为 答案：2）方程的整数解是 答案：因为取整，所以，得到3）如果，那么的值等于（ ）A1999 B2001 C2003 D.2005答案：4）已知为非负整数，且，则 答案：，因为1997为质数，所以5）求证:能被45整除；证明： 得证。 1）答案：2） 答案：3）答案： 4）答案：5） 答案：令6）答案：7）答案：8）答案： 9）答案：10）答案：令，因为，所以是上式的因子11）答案：，因为，所以和是上式的因子 12）答案： 13）（）答案：因为上式为，同理也是上式的因式则上式含有因式，时，上式,说明上式中也含有因式设令解答，
