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1、第24章解直角三角形培优习题1：直角三角形的性质考点1：直角三角形30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半题型1：直接利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半例1、如图1，在中，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若，则AC的长为（）图 2PBCADEBCA图 1A、 B、3 C、6 D、9【同步练习】1、如图2，中，点P是BC边上的动点，则AP的长可能是（）A、5B、6.2C、7.8D、82、如图3，在中，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若，则BE的长为（）A、2B、C、D、1EDCA图 3BEDC图 4BA3、如图4，在中，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D
2、、E两点，若，则AC的长是（）A、4 B、 C、6 D、题型2：挖掘题中隐含30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半例2、如图5，在中，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（ ）A、12B、C、D、DBC图 5lADBC图 6EADBC图 7EA【同步练习】1、如图6，在中，DE垂直平分AB，垂足是点E，若，则AC的长是（）A、4cmB、5cmC、D、6cm2、如图7，在中，DE垂直平分AB，交BC于点E，则（）A、6cmB、5cmC、4cmD、3cm题型3：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与角平分线综合应用例3、如图8，P是角平分线上的点，于点M，交OA于点N，若，则.
3、DFBCE图 10ADPOAAC图 9BAMPOBN图 8【同步练习】1、如图9，若，则PC的长为 ；2、如图10，在中，点D在BC上，垂足分别为E，F，且，则DE的长为 .题型4：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与等边三角形综合应用例4、如图11，BD是等边的角平分线，垂足为点E，线段BC的垂直平分线交BD于点P，垂足为F，若，则DE的长为（ ）EADCPB图 11EADCB图 12EADCB图 13FA、2B、C、3D、4【同步练习】1、如图12，在等边中，BD平分交AC于点D，过点D作于点E，且，则AB的长为（）A、8B、4C、6D、7.52、如图13，在等边中，AD平分，若，则B
4、E的长是（）A、4cmB、5cmC、6cm D、7cm3、如图14，与都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若，则DE的长为（）A、3B、4C、5D、6EADCB图 14EADCB图 15EADCB图 164、如图15，在等边中，D是AB的中点，过点D作于点E，则EC的长是（）A、2.5cmB、5cmC、7cm D、7.5cm5、如图16，在等边中，BD平分交AC于点D，过点D作于点E，且，则EC的长为（）A、3B、4.5C、1.5D、7.5题型5：综合创新题例5、如图1，已知直线，且EF和GH之间的距离为1，小明同学制作了一个直角三角形硬纸板ACB，其中，小明利用这块三角板进行了如下
5、的操作探究：（1）如图1，若点C在直线EF上，且，求1的度数；（2）若点A在直线EF上，点C在EF和GH之间（不含EF、GH上），边BC、AB与直线GH分别交于点D和点K；如图2，、的平分线交于点O，在绕着点A旋转的过程中，的度数是否变化？若不变，求出的度数：若变化，请说明理由；DFGH图 3EACBK1FGH图 1EACBCKFGH图 2EABOD如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，求m的取值范围。【同步练习】1、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，过点E作，交BC的延长线于点F.（1）求的度数；EACDFB（2）若，求EF的长。2、请阅读下列材料：如图甲，在矩形ABC
6、D中，对角线AC、BD相交于O、由矩形的性质得，.于是我们得到定理1：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。前面的条件不变，若，由矩形的性质得，所以为等边三角形，所以.于是我们得到定理2：直角三角形中，30的直角边等于斜边的一半。请你运用以上两个定理，解答下面两题：（1）如图乙，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分交AC于点E，交BC于点F，则度；（2）如图丙，在中，P为边BC上一动点，于E，于F，D为EF的中点，求AD的最小值。OF图 乙EACDBO图 甲ACDBFP图 丙EACDB3、如图，在中，延长CB至点D，使（1）求的度数；（2）求的值。ACDB考点2：直角三角形斜边上的中线等
7、于斜边的一半例6、若直角三角形的两直角边a，b满足，则斜边c上中线的长为 .【同步练习】已知直角三角形的两直角边a、b满足，则斜边c上中线的长为 .例7、如图，在中，垂足为E，点D是边AB的中点，则DE的长度是（）DE例题7图BCAFADE同步练习2BCDE同步练习1BCAA、6B、8C、D、9【同步练习】1、如图，在中，AD平分，点E为AC的中点，连接DE，若的周长为21，则BC的长为（）A、6B、9C、10D、122、在中，中线CE交AD于点F，则BC长为（）A、12B、14C、16D、183、如图，在中，BD平分，P点是BD的中点，若，则CP的长为（ ）A、3 B、3.5 C、4 D、4
8、.5PD同步练习3BCAFME同步练习4BCA4、如图，在中，于F，于E，M为BC的中点，则的面积是（）A、6 B、8 C、12 D、30DEBCA例8、如图，在中，点D为BC上一点且，点E是BD的中点，连结AE.（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的周长。【同步练习】1、如图，中，D是BC上一点，且，点E是BD的中点，连结AE.（1）求证：；P同步练习2DEBCAF同步练习3DEBCADEBCA同步练习1（2）若，求的周长。2、如图，在中，AD是的高线，CE是的角平分线，它们相交于点P.（1）若，求证：；（2）若，AP为边EC上中线，求的度数。3、如图，在中，CD是斜边AB上的中线，过点
9、A作于点F，交CB于点E，且.（1）求的度数；（2）求证：例9、如图，中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点。（1）求证：；（2）连结DM，ME，猜想与之间的关系，并写出推理过程；MDEBCANMDEBCAN（3）若将锐角变为钝角，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由。【同步练习】1、如图，四边形ABCD中，点M，N分别为BC，AD中点。（1）求证：；（2）若，求BC的长。同步练习1AMDBCNF同步练习2AMEBCNE同步练习3AMDBCN2、如图：BE、CF是锐角的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若，.（1）证明：；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长。3、如图，已知在中，于D，于E，M，N分别是BC，DE的中点。（1）求证：；（2）若，求的面积。
