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1、专题八立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积创新篇守正出奇创新一数学文化下的立体几何问题L（2022届江西五校11月联考,4I设问创新）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术曰:置积尺数，以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.其意思是给出了一个已知球的体积V,求这个球的直径1的近似公式,若“3,利用我们已经学过的球的体积公式,下列所算球的直径的近似公式中,最精确的一个是（）C.dy3VD.dV4Vr答案B设球的半径为R,则2R=d,由球的体积公式得VvnRWd得小侬.因为F.909,y1.778,21所以五与2最为接近,故选B.2. （2021兰州一模,7I素材创新）九章箕术卷五
2、商功中有如下问题：“今有委粟平地,下周一十二丈，高四丈.”意思是:今将粟放在平地,谷堆下周长12丈,高1丈.将该谷堆模型看作一个圆锥，取近似值3,则该圆锥夕楔球的表面积约为（）A.55平方丈B.75平方丈CUO平方丈D.150平方丈答案B设外接球球心为0,底面圆心为0,底面圆的半径为r丈,因为该谷堆模型看作一个圆锥，兀取近似值3.谷堆下周长12丈,所以2又r=12,则r-2,设夕楔球的半径为R丈,又高4丈,所以00,=4-R,根据勾股定理可得，（4-R）WE解得1号所以该圆锥夕楔球的表面积为1nR-2575平方丈.故选B.3. （2021安徽名校联盟联考,8I素材创新）蹴鞠（如图所示），又名“
3、蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.C101202B. cm-已知某“鞠”表面上的四个点A,B,C,D满足AB=CD=Mcm,BD=AC=8cmAD=BC=12cm,则该“鞠”的表面积为（）D.c?A.202cm2C.101202cm答案A因为AB=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把A,B,&D四点放到长方体的四个对角顶点上,则该长方体的体对角线长就是“鞠”的直径
4、.设长方体的长、宽、高分别为Xcm,ycm,zcm,“鞠”的半径为Rcm,则（2R）2=x2+yz+z2,由题意可取x2+y2=142,x2+z2=12所以R2号,所以“鞠”的表面积S=4丸R2=202cm,故选A.方法点拨求一个对棱相等的四面体的夕楔球的表面积或体积,可把四面体的四个顶点放到某个长方体的对角顶点上,转化为求长方体的外接球的表面积或体积.4. （2022届长沙长郡中学第一次月考,5）公元前3世纪,古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（Y）与它的直径（D）的立方成正比“，即V=kD,欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解,他们将体积公式V=kD中
5、的常数k称为“立圆率”或“玉积率”.类1以地,对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式V=kD求体积（在等边圆柱中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a）,等边圆柱（底面圆的直径为a）,正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为kL、,那么k,：k2：k3=（）A.328.64./CW：1D.77:13264432答案D由题意得球的体积*呢）/ak;等边圆柱的体积V产需）a=%n端;正方体的体积V3=as=k3=l,所以k1：k2：k=?：；：L故选D.64创新二圆锥曲线与立体几何的综合L（2021上海嘉定一中测试,15I题型创新）如图所示
6、,在正方体ABCD-ABCD中,点P是平面ADD4上一点,且满足AADP为正三角形.点M为平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为如图所示,点P在线段AD上的射影Q为AD的中点,在底面内分别以AD,DC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则呜,0),C(0,1),设M(x,y),则mp=MQy(x-02 + y2 + (X-O)2 + (y-l)2,化简后得,X=2y,所以点M在平面ABCD内的轨迹是一条线段该 线段与AB的交点为AB的中点故选A. （2021山东青岛二模,7）已知正方体ABCD-A1B1C1I）;的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域（
7、包含边界）内运动,且NPBD=45 ,则动点P的轨迹长度为（）A. B.2 C. 2 D. 22 +PQ2=J(X-1)2+y2MC=(X-O)2+(y-l)2,因为mp=mc,所以答案B因为PBDF5,所以P在以B为顶点,BD所在直线为轴,母线与轴夹角为45的圆锥的侧面上，由于轴BD_1_对角面ACClbNABD=NCBD=45,因此田叵形CCl,区域（含边界）内P点的轨迹是以AC为直径的半圆弧,又AC=2因此动点P的轨迹长度为2=2兀.故选B.3. （2022届北京市八一学校开学考试，10）如图,在棱长为I的正方体BCD-A,BCD中,ExF分别是AD、AD的中点,长为2的线段MX的一个端
8、点M在线段EF上运动,另一个端点在底面A*BCD上运动,则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A-A*DB所围成的几何体的体积为（）答案C连接NF,FP,易证EFLFN,从而可知IFPl=IlM=1,因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的*于是所求的体积房XQ13）=.雌Q4. （2022届广东深圳七中10月月考,M）如图,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为3,点H在棱AA1上,且HA1=I,P是侧面BeGB内一动点,HP=1W,则CP的最小值为.答案13-2解析如图,作HG_LBBi交BBl于点G1连接GP.因为1IP=13,HG=3,所以GP=2,所以点P的轨迹是以G为圆心,2
9、为半径的圆弧,所以CP的最小值为CG-2=32+22-2=13-2.创新三生活中的立体几何问题1. （2021安徽四校适应性测试,7I素材创新）沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时10分钟,那么经过5分钟后,沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（）A.1：2B.（2+l）：1c.1:2D.1:（V2-1）答案D由于时间刚好是5分钟,是总时间的一半,而沙子漏
10、下来的速度是恒定的,所以漏下来的沙子是全V/h3h部沙子的一半,下方圆锥的空白部分就是上方圆锥的沙子部分,所以不=（黄），所以亡;表，所以卜2. （2021北京,8,4分I实际生活）某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量（单位:nun）.24h降雨量的等级划分如下：等级小雨O.19.9中雨10.024.9大雨25.049.9暴雨50.099.9在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是（）A
11、.小雨B.中雨C.大雨 D.暴雨200答案B根据相似可得,小圆锥的底面半径r=子=50Gnm）,故V0锥WX502150=50j（W）,则积水“小圆推深度h=-:大圆锥底O得端=12.5（Inm）,属于中雨,故选B.3. （2022届安徽蚌埠9月调研，16I素材创新）“敕勒川,阴山下.天似穹庐,笼盖四野.”诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥,为了烘托节日气氛,计划在屋顶安装灯光带,某个这种屋顶的圆锥底面直径长8米,母线长6米,其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始,沿侧面经过与该母线在同一轴截面相对的另一母线的中点,环绕一圈回到起点,则这条灯光带的最短长度是米.答案67解析将圆锥侧面沿
12、母线S剪开,A点对应Al点,设轴截面中与SA相对的另f母线为SB,SB的中点为C,连接AC,AC则AC+A.C为灯光带的最短长度,如图所示,SA=6,圆锥底面直径为8,则半径为4,所以？Ul的长z-s4n2n=2nX4=8n,则4B的长为4,所以NASB=r+7,在ASAC中,SC=3,由余弦定理得AC=SASC-2SAXSCcos63人=6j+32-263(-i)=63,所以AC=37,所以AC=AC=37,所以这条灯光带的最短长度是67米.4. (2022届长春调研，15I素材创新)某公园供游人休息的石凳如图所示,它可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的,如果被截正方体的棱长为4
13、0cm,则石凳所对应几何体的表面积为答案(4800+16003)解析该石凳可以看成是由正方体截去八个相等的正三棱锥得到的,且每个正三棱锥的底面是边长为202Cm的正三角形,所以该石凳所对应几何体的表面积为6(202)28y(202)2=(4800l6003)cm5. (2022届贵阳五校联考，16I素材创新)某高中学生到工厂参加劳动实践,用薄铁皮制作一个圆柱体,圆柱体的表面积为8cm则该圆柱体的夕横球的表面积的最小值是答案8(5-l)cm2解析设圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,外接球的半径为Rcm,则圆柱的表面积S=2r2+2rh=8,r2+rh=4,h=-(0r2),R=J=M+*2.*击2川盘=25,当且仅当Ir-=/,即r=E(0,2)时取等号,R25-2.二S球=4R=4(25-2)=8(5-l),即夕械球的表面积的最小值为8(5-1)cm2.
