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1、专题九平面解析几何9. 1直线与圆应用篇知行合应用一构建直线、圆模型解决运动实践问题1. (2021四川大学附中模拟，15)如图,在直角梯形ABCD中,ABLAD,AD=DC=2,AB=6,动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动,设4P=A0+nA8(m,nR),则m+n的取值范围是答案解析以A为坐标原点,直线AB为X轴,直线AD为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),C(2,2), B(6, 0),为(-2)2+(y-2) 2=| 设 P(x, y),则而=(x, y),又而=(0, 2), AB= (6,0),AP=mADnAB(m,nR),所以(x,y)
2、=(6n,2m),则x=6n,y=2m,所以n1,m=t所以m+n=,因为P在圆上,2所以(-2)(y-2)气.设直线I则圆心C(2,2)到直线淳b=0的距离为5%V55解得1b-,则IWZWM,所以imn-.5oZo52. (2022届北京市中关村中学开学测试,MI数学探究)已知方程(X-I)(X-2)(-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法：该曲线关于y轴对称:该曲线关于原点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数其中不正确的是.答案解析以-X代替X,得到(x+l)(x+2)(x+3)=Xy,方程改变，曲线不关于y轴对称,故中说法错误;以-X代替x,-y代
3、替V,得到(x+D(x+2)(x+3)xy,方程改变，.曲线不关于原点对称,故中说法错误;当x0,y0时，(xT)(x-2)(-3)O,显然方程不成立，,曲线不经过第三象限,故中说法正确;令x=T,得y=24,即(T,24)符合题意,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也符合题意,曲线上不止三个点的横、纵坐标都是整数,故中说法错误.3. (2021北京定位考试,15I数学探究)已知曲线%W+y2诡学4+yw,其中m0.当m=1时,曲线W与此有4个公共点；当0mQ时,曲线W：围成的区域面积大于曲线h围成的区域面积：三m1,曲线W1围成的区域面积等于H围成的区域面积；Vm0,曲线殖围成的区域
4、内整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数不少于曲线汇围成的区域内整点个数其中,所有正确结论的序号是.答案(DCS)解析首先需知道W1.W.都关于X轴,y轴对称,关于原点中心对称.对于,曲线用4+户1,此:x+yJl,跖过轴上4个点，(0,1),(1,0),当X(XWO)相同时,W的y更大,曲线凡相对于曲线凸出,正确;对于，当=0时,纵坐标相同,当x#0时,1L的IyI更大,当y=0时,限的IX更大.所以曲线W围成的区域面积小于曲线工围成的区域面积,错误;对于,当In=I时,曲线凡围成的区域面积小于W.围成的区域面积,当m无穷大时,曲线汇完全在曲线W；里.曲线W1围成的区域面积大于W.围成的区域面
5、积,即随着m的增加,一定有T时刻使两曲线围成的面积相等,正确;对于,当0m1时，若X相同,则身光,即M中整点个数大于肌中整点个数正确.故答案为.应用二构建直线、圆模型解决生活实践问题1 .(2012北京,8,5分I实际生活)某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为()dH456791011nA.5B.7C.9D.11答案C前m年的年平均产量为*由各选项知只需求争智的最大值,问题可转化为求图中4个点A(5,S5),B(7,SJ,C(9,S9),D(l1,S”)与原点连线的斜率的最大值.由图可知L=?最大,即前9年的年平均产量最高.故选Q
6、2 .(2017北京,14,5分I实际生活)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A；的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B，的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=l,2,3.记Ql为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q”Q2,Q中最大的是；记Pl为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则P,P；中最大的是.零件数(件).44小力Ad工作时间(r小时)答案Ql6解析设线段AB的中点为C1(x,yJ.由题意知Q.=2yl,i=l,2,3,由题图知y1最大,所以Q1,Q“Q，中最大的是Q.由题意知P=歙=i=l,2,
7、3.打的几何意义为点&(x,y.)与原点。连线的斜率.比较Ou0C,0C，的斜率,由题图可知OC-的斜率最大,即d最大.创新篇寸正出奇创新存在性问题1.(2022届内蒙古包头调研,20I设问创新)已知过原点的动直线I与圆Cr2+y6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆心G的坐标：求线段AB的中点M的轨迹C的方程：(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(X-I)与曲线C只有一个交点？若存在,求出k的取值范围:若不存在,请说明理由.解析(1)由x2+y2-6x+5=0得(-3)斗y2=4,所以圆心G的坐标为(3,0).设M的坐标为(x,y),因为点M为弦AB的中点连接CM则C1MlAB,
8、所以M*kM=T,即为(=T,y23(- z 理 整Q当直线1与圆相切时，易得切点的横坐标为5,当点M与圆心G重合，即直线过圆心G时,点M的横坐标取得最大值H又直线1与圆G交于不同的两点,所以点M的横坐标的取值范围为*xW3.故轨迹C的方程为伍?1、GVX3)存在.由知点M的轨迹是以c(,0)为圆心,I为半径的部分圆弧IT(如图,不包括EJ两端点),且E(涔)Fl525又直线L:y=k(-4)过定点D(4,0)f当直线L与圆C相切时,由24L,得k=22(-d224又必.k行绰=写,结合图形可知,当k1,43UI-苧,苧1时,直线L:y=k (-4)与曲线C只有一个交点2.(2021江西顶级名
9、校四模,21I设问创新)已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C在X轴正半轴上,与直线3xly+7=0相切,且截y轴所得的弦长为23,圆C的面积小于13.求圆C的标准方程；(2)设过点M(0,3)的直线1与圆C交于不同的两点,B,以0A,OB为邻边作平行四边形ODB.是否存在这样的直线1,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出I的方程;如果不存在,请说明理由.产ZL=R解析设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=Ra0,R0),由题意知(p2+(-4)2l2+3=R,13解得a=l或a=又.S=Rj0,解彳导kl卜竽.C.6k-2,八2k+6又.xi+x?=_+2,.y+y3=k(x+x2)+2由已知得。0=04+0B(x1+x2,y+y2),Md=(1,-3).假设。OMC,则-3(1+.)=y+y2,.c6k-22k+632-2+M+d解得k*(q,l考)u(l+竽,+8),假设不成立,故不存在这样的直线1.
